N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
É DOUARD M ERLIEUX
Solution du problème 24
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 1
(1842), p. 471-473<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1842_1_1__471_1>
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SOLUTION DU PROBLEME 24 (p. 246);
F A E M . M E E L I E U X ( E D O U A R D ) .
Quelle est la somme des angles solides dans chacun de^
corps réguliers?
La note IX des Éléments de Géométrie de Legendre, ap- prend à trouver, et nous donnons dans le tableau ci-joint les inclinaisons des faces adjacentes dans chacun des cinq polyè- dres réguliers, soit en appliquant la formule
COS a — COS |3 COS 7
cos a = : ' ,
(*) Même genre de solution pour un billard polygonal
— 472 —
a , (3 , 7 étant les angles plans d'un triédre f) auquel appar- tient l'angle dièdre considéré a), soit, plus généralement, en
COS —
employant sin -a = , m étant îe nombre d'angles sin~n
plans qui se réunissent pour former chacun des angles so- lides, et n le nombre de côtés de chaque face (**).
Or ces inclinaisons ne sont autre chose que les angles des polygones équiangles interceptés sur la sphère décrite du sommet comme centre, et conséquemment la mesure de ces
i ™ ma — (w—-2)180°
polygones M = , en prenant ipour unité le triangle tri-rectangle. Tous les angles solides étant égaux dans chaque corps régulier, on a leur somme i , égale à l'un d'eux multiplié par leur nombre, p\ ou 2=pM. Il suffit donc d'appliquer ces formules.
C'est ici l'occasion de rappeler les valeurs des autres par- ties des cinq corpi; réguliers, que donne M. Terquem dans son Manuel de Géométrie (note 19). Désignant le tétraèdre par l'initiale T, l'hexaèdre par H , l'octaèdre par O, le do- décaèdre par D , Ficosaèdre par I , et posant le rayon de la sphère circonscrite R—1 ; a étant toujours un angle dièdre;
M la mesure de l'angle solide ; C le côté d'un quelconque des corps réguliers ; A Faire d'une face ; /- le rayon du cercle circonscrit à cette face; S la solidité du corps ; on peut for- mer le tableau suivant à double entrée •.
(*) Dans le tétraèdre, l'hexaèdre et le dodécaèdre, c'est l'angle solide même cosa
du polyèdre. Alors a = 3 = v e t c o s a = . Dans l'octaèdre et l'icosaèdrer 1-fcosa
Fangle solide est forme par deux faces de ces corps et un plan diagonal donl on calcule l'angle a.
(**) Dans le tétraèdre, w=-=n = 3; sin-—fi = c o t -
— 473 —
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