Un problème de la dynamique expériméntale des corps solides et sa solution

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Un problème de la dynamique expériméntale des corps

solides et sa solution

Ludwig Baumgardt

To cite this version:

UN

PROBLÈME

DE LA

DYNAMIQUE EXPÉRIMÉNTALE

DES CORPS SOLIDES ET SA

SOLUTION

Par LUDWIG

BAUMGARDT,

Berlin.

Sommaire. 2014 On décrit un _{dispositif permettant} de vaincre séparément certaines résistances qui s’opposent à la rotation d’un corps rigide. Dans ce _dispositif, on fait usage de l’effet de l’induction

unipolaire, suivant un principe inédit.

La discussion _{mathématique} est faite pour le cas d’un _cylindre métallique creux, tournant autour de son axe Les forces _s’opposant à sa rotation sont :

a) Les forces de frottement agissant sur l’axe du rotor.

b) La résistance d’inertie du rotor.

c) La résistance due à la viscosité de _{l’air, qui} intervient _pratiquement très peu dans le cas envisagé.

Le dispositif décrit _permettant de fournir _l’énergie de rotation du corps rigide indépendamment de

l’énergie de frottement consommée à la surface de son axe, l’état quasi-stationnaire du mouvement de rotation est atteint après une durée de _{temps pratiquement} aussi longue qu’on le désire (par exemple quelques heures).

La vitesse _angulaire du rotor et l’intensité du courant obtenu par induction unipolaire suivent des lois exponentielles analogues à celles _qui décrivent resp. l’accroissement du courant dans un circuit aveo

self induction et l’allure du courant induit dans un tel circuit.

1, Introduction. - Les différentes résistances

s’opposant

à la rotation d’un corps

rigide

sont vaincues (lans leu)- par

l’énergie

transmise au _corps.

Ceci rend difficile l’examen d’une résistance ou d’un

groupe de résistances déterminées ainsi que l’examen des effets obtenus eu les sdrmontant. Il

_pouvait

être intéressant de vaincre l’une ou l’autre de ces

résis-tances,

indépendamment

de celles résultant de l’inévi-table _{frottement lié à la rotation d’un corps}

_rigide.

Une solution

_générale

de ce

_problème

consiste à

amener le rotor dans un état

_particulier

_{de repos que}

uans

_appellerons

son

équilibre

rotatoire. Dans cet état, le corps subit deux moments

_égaux

et

_opposés,

l’un d’eux

_provoqué

_par un entraînement à

friction,

l’autre par

freinage.

Le corps étant arrivé à cet

_état,

on le

met en rotation en faisant

_agir

sur lui un autre

_moment,

provenant

par

exemple

d’une

_impulsion

d’origine

élec-trique.

Dans ce _cas, il est t

_possible

d’examiner la résistance

_{particulière s’opposant}

à cette rotation

indépendamment

de toute autre résistance. On

_peut

également

observer tous résultats obtenus en

surmon-tant cette résistance

_{particulière.}

Nous allons nous _{occuper du} cas où la rés1.stallce

par-ticulière à la rotation du rotor est sa

résis-tance d’iNertie. Avant

_d’indiquer

un

dispositif

suscep-tible de réaliser cette

_séparation

_{et pour mieux}

comprendre

ses conditions de

fonctionnement,

nous

envisagerons l’expérience imaginaire

suivante :

Un

_cylindre

creux, en

_cuivre,

à surface

_lisse,

_peut

tourner autour de son axe. Nous supposons deux sources

_d’énergie

A et

_B,

chacune d’elles douée d’une

particularité

spécifique :

A,

dont la

_puissance

est

aussi élevée

_qu’on

le

_désire,

ne

_peut

fournir que

l’énergie

de frottement

_dépensée

dans les coussinets et transformée en

_{chaleur ;}

_par

contre,

B ne _{fournit que}

l’énergie

servant à l’accélération du

rotor,

sa

puis-sance étant aussi

petite qu’on

le voudra. Dans ces

con-ditions,

le

cylindre

ne _pourra tourner que si A et B débitent en même

_{temps. Arrangeons-nous}

de

_façon

à

ce _que la

_puissance

de B soit minime. Il s’ensuit

_qu’un

laps

de

_temps

_{important -}

_par

_exemple

_quelques

heures -

_{s’écoulera,}

_jusqu’à

ce que le mouvement du rotor ait atteint un état

_quasi

stationnaire.

_Jusqu’ici,

nous n’avons pas tenu

_compte

du frottement causé par l’air. Afin de

_{séparer rigoureusement}

_{la provenance} des

_{énergies cinétique}

et _{de frottement causé par}

_l’air,

il s’avérera nécessaire

_d’opérer

dans le vide. On verra

cependant

que dans le

dispositif

réel que nous allons

décrire

_plus

_{loin, le}

_{frottement de l’air n’influe que très} peu sur la durée d’établissement de l’état

quasi-sta-tionnaire du mouvement.

2.

_{Montage. -}

La source

_{d’énergie électrique}

B de

l’expérience

imaginaire

est _{réalisé par} un électro-moteur à courant continu construit t suivant un

prin-cipe

inédit. En

effet,

son rotor fait

_{intégralement}

_partie

de

_{l’électro-génératrice}

_qui

l’alimente. Cet ensemble «

génératrice-moteur

o diffère par son

_principe

très sensiblement de la

_{génératrice}

à induction

_unipolaire

de

_Farad,iy,

_{génératrice}

dont la réalisation la

_plus

simple

est la suivante : un bâton aimanté tourne

a,utour de son axe

_{longitudinal.}

Si nous _{pressons les}

deux bouts d’un conducteur contre le milieu et un des deux

_pôles

de

_l’aimant,

au _{moyen de}

_balais,

un cou-rant d’induction _{continu passe dans} ce conducteur. L’intensité de ce courant est

_{proportionnelle}

à la section de

l’aimant,

à l’induction

_magnétique

maximum dans l’aimant et à sa vitesses

_{angulaire ;}

elle est t inversement t

proportionnale

à la résistance du circuit.

Nous

_indiquerons

maintenant le

_principe

de l’eu-semble

_{génératrice-moteur qui}

_remplace

la source

d’énergie

B de

_{l’expérience imaginaire.}

Un tube court en fer

_porte

deux

bobinages

d’ai-mantation. Leurs bouts

_passent

dans l’axe du tube et sont fixés sur deux anneaux de côntact

_disposés

à l’un des deux bouts du tube. Le courant d’aimantation arrive aux anneaux _{de contact par l’intermédiaire de} deux balais. Par

_contre,

les deux balais du

_montage

de

1,’ar(id,riy

sont

_remplacés

_{par deux} anneaux

_glissants,

dout l’un est

_disposé

au

_milieu,

l’autre sur l’axe du

tube,

près

du bout encore libre de celui-ci. Le

conduc-teur du

_montage

de est

_remplacé

_par un

cylindre

en cuivre dont les bases sont fixées dans la

masse des deux anneanx

_glissants,

sa surface étant rattachée à ceux-ci

_{postérieurement.}

En

_opposition

de

principe

avec le modèle de

_Faraday,

dans notre

mon-tage,

le conducteur n’est pas en _{repos, mais il}

_peut

504

tourner autour du tube. Ce

_systèmes

mobile est ce _que nous

_appelons

le « rotor ». Pour que le rotor ne

_puisse

pas

glisser

le

_long

du

_tube,

ses deux bases tournent

chacune entre deux anneaux

_métalliques

fixés sur le tube. On

_s’arrange

de

façon

à ce _{que les} anneaux

/

s B

extérieurs exercent une

_légère

_pression

_(1;)

à 20

g 9)

,

cm-sur les bases du rotor

_qui,

_par

_conséquent,

se serrent

contre les anneaux extérieurs

_(1).

Le

_montage

est

com-plété

par un frein à frottement

_agissant

en deux

_points

diamétralement

_opposés

d’un des deux anneaux

glis-sants

_qui,

l’électro-aimant mis en rotation uniforme

au _{moyen d’un} moteur

_quelconque,

_permet

de

_régler

la vitesse

_angulaire

du rotor _par

_rapport

à l’électro-aimant.

:i. Fonctionnement. - Mettons lentement l’électro-aimant en rotation uniforme

_(z)

sans laisser circuler

de courant dans le

_bobinage

d’aimantation. Dans ce cas, le rotor se mettra

_également

en marche. Faisons maintenant

_agir

les freins. Au fur et à mesure de leur

action,

la vitesse

_angulaire

du rotor diminuera

_jusqu’à

ce

_{que celui-ci}

soit arrivé

_juste

à l’état de

_repos().

A ce

moment,

le

_système

est en «

équilibre

rotatoire ». Cet état est caractérisé

_parle

_{fait que la mise} en mouvement

du rotor ne demande

_qu’une

force aussi

_petite

_qu’on

le

voudra. Cette force servira

_uniquement

à vaincre la la résistance d’inertie du rotor et la _{résistance que lui} oppose l’air. Cette dernière résistance n’influe d’ail-leurs que très peu sur l’allure du mouvement comme

nous le verrons

_plus

loin.

Le

système

étant en

_équilibre

_rotatoire,

nous

fer-mons

_{l’interrupteur qui}

commande le courant d’aiman-tation. Pendant la fermeture de cet

_{interrupteur,}

a lieu encore le

_phénomène

_{correspondant}

au

_montage

de

I araday.

Par induction

_unipolaire,

un courant est

produit.

Mais tout de suite

_après,

un

_phénomène

nou-veau intervient : -. Une interaction

_cinétique

s’établit entre le courant induit dans le

_système

rotatoire d’une

part

et l’électro-aimant d’autre

part.

En

effet,

le sys-tème rotatoire parcouru par un

_courant,

subit dans le

champ

magnétique

une

_impulsion

dans le sens de la rotation de l’électro-aimant. Il se met en mouvement.

A cause de ce mouvement une f é.m.

_opposée

à la

agissante

naît dans le

rotor,

ce

_qui

_provoque utte diminution du courant d’induction. L’accélération

Uu _rotor,

_{quoique toujours}

_positive,

aitninue.

Si la résistance de frottelnent de l’air n’existait pas, l’état stationnaire serait atteint dès

_{qne la}

_vitesse angu-laire du rotor

_égalerait

celle

_imposée

à Félectro aimant. L’air

_opposant

une résistance à la rotation du

_cylindre,

il l’état stationnaire du

mouvement,

la vitesse

angu-(1) Ceci permet en outre de réduire à une valeur très basse la ré-istauce de contact entre le rotor et le tube de fer.

e) A cause du _dégagemen de chaleur dans les endroits où un

frottement a lieu, on se cjntefttera d’une rotation lente, ne dépassait pas t 0 tours min par evemple.

(v) En variant plusieurs fois légèrement le réglage, on

cons-tate si l’état de repos est causé pur un _surplus de force de

freinage ce _qu’il faut éviter. Une diminution minime de la

pres-sion des freins, effectuée à titre d’essai doit suffire pour que le

1.otol’ se intte Nn Dl0U’TenJent.

laire du rotor sera _{très peu inférieure à celle de}

l’élec-tro-aimant. Avant de discuter de

_{plus près}

les condi-tions de fonctionnement de l’ensemble

génératrice-moteur a induction

_unipolaire,

_anticipons

_déjà

sur un

résultat de cette discussion. On verra _{que le mode de}

production d’énergie cinétique

décrit ci-dessus

_permet

diopérer

avec des

_puissances

tellement minimes que même pour des

systèmes

tournants de

petite

masse un

temps

très

long

(par exemple

quelques heures)

sera

nécessaire pour atteindre l’état

quasi-stationnaire

du mouvement.

fi. Discussion. - Soit 2 >1 la vitesse

_angulaire

imposée

à l’électro-aimant et 2 TC x celle du rotor

équi-libré.

_Désignons

par I~, la différence de

potentiel

agis-sant oans lc circuit

_{d’induction,}

_{par h la résistance}

ohmique

de celui-ci et _{par I le} courant d’induction résultant. Soit en outre E la

_puissance

_électrique

trans-formée en

_énergie

d’accélération et en

_énergie

de frotte-inent d’air. Nous aurons dans ce cas :

où 7. est une constante de

_{l’appareil,}

et la chaleur de Joule J

_développée

dans le circuit sera

_égale

à

ex. 2

Tl

(n-x)2.

Il s’ensuit que pour

t=o,

c’est-à-dire au

moment ov

_{l’interrupteur}

est

_ouvert,

on aura

On voit que é devient maximum pour

Fig, i .

La

_puissance

totale de la

_{génératrice}

est une

fonc-tion linéaire due la vitesse

_angulaire

du rotor. Comme

./~=n = 0,

nous _pouvons caractériser le fonctionnement

505

Afin de trouver la constante 0153, nous

_désignons

par Il la densité des

_lignes

de force dans la zone neutre de

l’électro-aimant et nous _{considérons que E} =

Bq,

q étant la section de 1 éteetro aimant.

D«après (1),

nous trouvons y’2

_{= I~’~2.}

₍₆₎

11 nous reste à

_exprimer

.r en fonction de t. Le mo-ment de rotation

_J/r

résultant de la résistance

qu’op-pose l’air à un

_cylindre

à surface lisse tournant autour

de son axe est donné par

(~l(~I

où 1 et r sont la

_longueur

et _{le rayon du}

_{cylindre, el p}

la viscosité de l’air l.a

_puissance

P

_dépensée

contre

la résistance de

_l’air,

est donc :

P - 2 -r~ X. JI, - J 11 z3 1r2 px2 = ~.1:2,

(8)

fi

n’étant

_qu’une

abbréviation.

Désignons

par

j,Ji

le moment d’inertie du

rotor;

d’a-près (ai),

il vient

et

D’après

( I )

et

_(10),

on trouve

Plus

loin,

il sera démontre

_{que 8}

est

_pratiquement

2

négligeable

r> tD par rappol t à

R’

_Ainsi,

on _{pourra écrire:}

R

et comme == _{Jt CI.,} on a :

le courant obtenu par induction

unipolaire

obéit à la même loi que le courant d’induction

_voltaïque

prenant

naissance dans un circuit de self-induction l~

qu’on

ferme et dont l’intensité se calcule

d’après

la relation

Enappelant

«

_ternps

de î,elaxation » le

_temps

1

_après

lequel

l’intensité d’un courant d’induction est tombée t

à -

de sa valeur

initiale,

nous notons encore _{que dans}

A . ,

-"

le cas de l’induction

_unipolaire

(1) Cette relation m’a été _{indiquée par la Aerodynannsche}

Versuehsanstalt à Côttijnge-n.

LI

.

et dans le cas de l’induction

_voltaïque

T, -

1.

1a . )

Même dans les éleclro-aimants les

_{plus puissants,}

pesant

des milliers de

_{kg, t1}

ne

_dépasse

_que très rarement 40 sec, mais reste _presque

_toujours

loin

au-dessous de cette valeur. Par contre, il est facile de rendre très

_petit

le dénominateur de T,

grandeur

rela-tive à la

_{génératrice-moteur}

à induction

_unipolaire.

De cette

_façon,

on _{arrive - même pour} une masse assez

petite

du rotor

_(10-15

- à obtenir (les valeurs de

environ

10(l fois

_plus

élevées que la valeur de ~,

pré-citée.

_D’après

_{( 1 ~),}

on

_peut

augmenter

encore sensible-ment la

_grandeur

de T.

Suivre l’allure du courant d’induction

_unipolaire

cir-culant dans la

_{génératrice-moteur}

en fonction du

_ternps

présente quelques

difficultés. Par

_conséquent,

au lieu d’observer l’intensité de ce _courant, o0 observe la vitesse

_angulaire

du rotor. Cette fonction

suit,

d’après,

(10)

et

₍₁₁₎

la même loi.

Appliquons

le résultat Je cette discussion à un cas

pratique :

Soit,

toules les

_physiques

rx»ri-mées en unités

°

La

_longueur

du tube

_égale

à

34,

Ses diamètres

_respectifs

extérieur et intérieur

_égaux

à

~;,5

et

_li,,5,

le coefficient de 1 induction

_magnétique

dans la zone neutre

_égal

à

_{1 . 101,}

La vitesse de rotation de l’électro-aimant

_égale

à

100

tours

i00’,

_min

La

_longueur

du rotor

_{(cylindre) égale}

à

23,

son diamètre

égal

à

_32,

L’épaisseur

de la tôle de

_cuivre,

constituant le

_cylindre,

égale

à

_0,2,

Le moment d’inertie du rotor

_complet

_égal

à

Sa masse

_égale

à

t 2. tO~,

₁

La résistance

_ohmique

du circuit d’induction

3 . f 0,

-3 la

_pression

normale de la surface des anneaux étant

g

20 cm 2

et la surface totale de chacun des anneaux cm

étant

_supérieure

à 0

_cm2;

le coefficient de viscosité de l’air étant

_i,83.1.0-~,

on trouve :

(1.2 === BOO.IOï ~ 2 == IR.10:1,

[:~ ===520

Le

_temps

de relaxation T devient dans ce cas

L’état

quasi

stationnaire du mouvement

_(99pour

100 tours de la vitesse

_angulaire

finale

_qui

est

_égale

à

_{9 î}

sera atteint

_{après 4}

heures

_(1).

min

(1) On voit que l’indication donnée plus laut, relativement à

ili.iflu,)i.ee très _petite du frottCmeflt du rotor dans l’air sur son

allure, est confirmée.

malgré que la masse du rotor soit petite. Pour des masses _plus importantes, le quotient ci-dessus tend vers l’unité.