Enonc´e noH118 (Diophante) Des carr´es `a la queue leu leu
Le r´esultat k (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) du lancer d’un d´e suppos´e parfait est ´ecrit au tableau. Zig et Puce chacun `a son tour ´ecrivent sur une mˆeme ligne un nombre choisi parmi l’ensemble des 24 premiers nombres naturels 1 `a 24, distinct de tous ceux qui ont d´ej`a ´et´e ´ecrits, y compris k, tel que la somme des deux derniers nombres inscrits est un carr´e parfait. La partie s’arrˆete quand l’un des deux joueurs est bloqu´e faute d’obtenir un carr´e ou parce que les 24 entiers ont tous ´et´e ´ecrits. Le gagnant est donc celui ou celle qui
´ecrit le dernier nombre. Zig commence. Quelle est la probabilit´e de gain de Puce ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Puce (joueur en second) n’a strictement aucune chance de gagner, quel que soit le r´esultat du lancer de d´e.
En effet, Zig (joueur en premier) dispose d’une strat´egie gagnante : ´ecrire le compl´ement `a 25 du dernier nombre ´ecrit.
Puce ne peut en faire autant : le compl´ement `a 25 du nombre que Zig vient d’´ecrire est pr´ecis´ement l’avant-dernier nombre ´ecrit. Le nombre que va ´ecrire Puce a pour compl´ement `a 25 un nombre non encore ´ecrit, et que Zig va pouvoir ´ecrire. Zig ne peut pas ˆetre bloqu´e, et comme le jeu est limit´e `a 24 nombres, c’est Puce qui sera bloqu´e et qui perdra.
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