La réponse de Zig est le nombre [0, 1 ou 2] d’éléments communs à F et {a, a + 1}

E570 - Des questions bien ciblées [***]

Problème proposé par Michel Lafond Zig et Puce jouent au jeu suivant :

Zig choisit en secret deux nombres consécutifs a, a + 1 dans E = {1, 2, 3, …, 28}.

Puce essaie de les deviner en posant des questions.

Une question de Puce consiste à proposer à Zig un sous-ensemble F de E.

La réponse de Zig est le nombre [0, 1 ou 2] d’éléments communs à F et {a, a + 1}.

Quel est le nombre minimal de questions que Puce doit poser pour trouver à coup sûr a et a + 1 ? Solution de l'auteur

3 questions suffisent.

 Remarquons d’abord que chaque question provoquant 3 réponses possibles : 0, 1 ou 2, en posant trois questions on aura 3³ = 27 réponses possibles.

Or Zig a précisément 27 choix {a, a + 1} dans E = {1, 2, 3, …, 28}.

Si on trouve 3 questions pour lesquelles les 27 réponses sont toutes différentes, on aura une bijection entre ces réponses et les 27 choix de Zig qui résoudra notre problème.

Utilisons un tableau pour noter la stratégie de Puce : Un sous-ensemble F sera codé

Exemple. Avec F₁ = {2, 3, 5, …, 28} F₂ = {1, 4, 8, …, 27, 28} F₃ = {2, 7, 8, …, 27} on aurait :

1 2 3 4 5 6 7 8 … 27 28

F₁ 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1

F₂ 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1

F3 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0

 Remarquons ensuite que si (F₁, F₂, F₃) est une stratégie de Puce en 3 questions seulement, alors le cardinal de chaque Fi doit être exactement 14.

En effet, si les 27 triplets sont présents dans les 27 colonnes du tableau, alors le nombre total de "1" du tableau est 52 (dénombrement facile) et par conséquent, chaque ligne contient Par symétrie 52/3 = 14 éléments.

C’est d’ailleurs intuitif puisque si le cardinal de F est trop petit, la réponse sera trop souvent 0, et si le cardinal de F est trop grand, la réponse sera trop souvent 2. Donc 28/2 = 14 est un bon choix.

 Reste à chercher une stratégie convenable, et en procédant un peu à tâtons, j’arrive à :

On vérifie qu’on a la bijection ci-dessous entre les 27 choix de Zig et ses 27 réponses possibles, bijection qui permet à Puce de remonter des 3 réponses de Zig à son choix {a, a + 1} :

Choix de Zig réponse 1 réponse 2 réponse 3

{a, a + 1}

1 ; 2 0 0 0

2 ; 3 0 1 0

3 ; 4 0 2 0

4 ; 5 1 2 0

5 ; 6 2 2 0

6 ; 7 2 1 0

7 ; 8 2 1 1

8 ; 9 2 1 2

9 ; 10 2 0 2

10 ; 11 2 0 1

11 ; 12 2 0 0

12 ; 13 1 0 0

13 ; 14 1 1 0

14 ; 15 1 1 1

15 ; 16 1 0 2

16 ; 17 1 0 1

17 ; 18 0 0 1

18 ; 19 0 0 2

19 ; 20 0 1 1

20 ; 21 0 2 1

21 ; 22 1 2 1

22 ; 23 2 2 1

23 ; 24 2 2 2

24 ; 25 1 2 2

25 ; 26 0 2 2

26 ; 27 0 1 2

27 ; 28 1 1 2