E40100. Premier en strat´ egie
Jules et Romain jouent au jeu suivant : chacun `a son tour, on choisit un nombre entier entre 1 et 7, et on l’ajoute au total pr´ec´edent, de fa¸con `a obtenir un nombre premier. Le premier qui produit un total non premier a perdu. Par quel coup faut-il commencer (partant du total 0) pour ˆetre sˆur de gagner ?
Solution
Le joueur en premier a une strat´egie gagnante et doit jouer 5 au premier coup.
Consid´erons en effet la suite des nombres premiers 2, 3, 5, . . ., 89, 97, . . . L’intervalle 89–97 est le premier >7 ; le joueur qui atteint 89 est assur´e de gagner, son adversaire ne pouvant atteindre un nombre premier.
Cela conduit `a marquer 89 comme gagnant, puis 83 comme perdant (car de l`a l’adversaire peut atteindre 89), puis 79 comme gagnant (car de l`a l’adversaire ne peut atteindre que 83 comme nombre premier), etc. : sig est gagnant, on marque comme perdants tous les nombres premiers entreg−7 et g−1 inclus, et comme gagnant le plus grand nombre premier < g−7 car si ce nombre est x, tous les nombres (premiers ou non) entre x+ 1 et x+ 7 inclus sont perdants. De proche en proche tous les nombres premiers inf´erieurs `a 89 peuvent ˆetre marqu´es.
Les nombres gagnants sont ainsi 5, 13, 23, 31, 43, 53, 61, 71, 79, 89. Le joueur en premier qui joue 5 pourra atteindre 13 au coup suivant, que son adversaire ait r´epondu par 7 ou par 11, et ainsi de suite, jusqu’`a ce que son adversaire joue un nombre non premier.
Inversement, si le joueur en premier choisissait 2, 3 ou 7, son adversaire s’assurerait le gain en ripostant par le total 5 ou 13.
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