E306 – Le grand classique des problèmes impossibles [***** à la main et avec ordinateur]
Solution
On examine toutes les configurations possibles du couple (P,S) en fonction des déclarations successives de Pierre et de Sébastien.
Pierre : « Je ne peux pas les déterminer »
Pierre ne peut pas répondre, car le produit P n’est pas : - un nombre premier,
- le produit de deux nombres premiers (ex : 65 = 5*13), - le cube d’un nombre premier (ex : 27 = 3*9),
- le double du carré d’un nombre premier > 10 (ex : 338 = 2*13*13 = 13*26 ; la décomposition 2*169 est impossible),
- le multiple d’un nombre premier >50 (ex :244 = 4*61),
Les valeurs possibles de P sont donc :12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, etc…….A l’aide d’un programme informatique très simple, on obtient 574 valeurs possibles de P.Nous allons voir que seules les premières valeurs de P sont utiles pour la suite de la démonstration.
Sébastien : « Je le savais »
Dès lors, S n’est pas la somme de deux nombres dont le produit aurait été précédemment exclu par Pierre. On peut donc éliminer toutes les valeurs de S qui sont la somme de deux nombres premiers. Selon la conjecture de Goldbach, tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. S est donc un nombre impair.
Quand S est impair, on peut exclure les cas où S = 2 + nombre premier p car P = 2*p a une décomposition unique. De même, on peut éliminer S = 51 car 51 = 17 + 34 et P = 17*34 n’a pas d’autre décomposition.
Par ailleurs S 53. En effet avec S > 53, S pourrait s’écrire sous la forme 53 + a et dans ce cas Pierre pourrait avoir P=53*a qui serait toujours une décomposition unique enraison de l’inégalité S 100.
Les sommes possibles pour Sébastien se limitent donc à la liste: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53.
Le tableau ci-après donne pour chaque valeur de S les valeurs possibles de P.
S Valeurs possibles de P = a*b avec a + b = S 11 18 24 28 30
17 30 42 52 60 66 70 72
23 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
27 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182 29 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
35 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 304 306 37 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 336 340 342
41 78 114 148 180 210 238 264 288 310 330 348 364 378 390 400 408 414 418 420
47 90 132 172 210 246 280 312 342 370 396 420 442 462 480 496 510 522 532 540 546 550 552
53 102 150 196 240 282 322 360 396 430 462 492 520 546 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696 700 702
Pierre : « Alors je connais les deux nombres. »
Il n’y a plus d’incertitude possible pour Pierre et il en résulte que le produit P apparaît une seule fois dans le tableau ci-dessus. Ainsi 30=5*6=2*15 ne peut pas être une solution car il lui correspond deux sommes 11 et 17. A l’inverse 28 convient car 28 = 4*7 est unique. Les nombres sur fond jaune de ce tableau sont repris ci-après :
Sébastien : « Maintenant, moi aussi. »
Cette réponse ne peut être faite que si pour une somme de S, il y a une seule valeur possible de P. Il y a une seule valeur de S = 17 à laquelle correspond P = 52. (nombres repérés en vert) Les deux nombres de Diophante sont donc 4 et 13.
Nota 1
1) si le seuil S avait été choisi sur l’intervalle plus réduit 3-64, il n’y aurait pas eu de solution.
2) la solution (4,13) est unique pour S appartenant à l’intervalle [65,1684], 3) il y a deux solutions (4,13) et (4,61) sur l’intervalle [1685,1969] , 4) il y a trois solutions (4,13), (4,61) et (16,73) sur l’intervalle [1970,2521]
etc..
Nota 2.
Si au lieu de choisir deux nombres distincts, Diophante avait choisi deux nombres pas nécessairement distincts, nous aurions eu les conclusions suivantes :
1) pas de solution pour S64
2) on retrouve la solution (4,13) qui est unique pour S appartenant à l’intervalle [65,868]
3) il y a deux solutions (4,13) et (4,61) sur l’intervalle [869,1504]
4) il y a trois solutions (4,13), (4,61) et (32,131) sur l’intervalle [1505,1969]
etc...
Sources :The Freudenthal problem and its ramifications (part I) – Axel Born, Cor A.J.
Hurkens, Gerhard J. Woeginger .
S Valeurs possibles de P = a*b avec a + b = S 11 18 24 28
17 52
23 76 112 130
27 50 92 110 140 152 162 170 176 182 29 54 100 138 154 168 190 198 204 208 35 96 124 150 174 216 250 276 294 304 306 37 160 186 232 252 322 336 340
41 114 148 238 288 310 348 364 378 390 400 408 414 418 47 172 246 280 370 442 480 496 510 522 532 546 550 552
53 240 282 360 430 492 520 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696 700 702
