E317 - Le concours d’arithmétique
Solution
La première chose à faire est de déterminer toutes les combinaisons de trois entiers distincts classés dans un ordre décroissant et dont le produit est égal à 900. Il y a exactement 32 configurations possibles qui sont décrites dans le tableau 1 ci-après :
Avec ces 32 configurations possibles, on comprend pourquoi les deux candidats n’ont pas su donner immédiatement la bonne réponse. Théophile qui a reçu l’une des deux sommes X+Y ou X+Z n’a pas lu sur son papier un nombre tel que 452, 451, 303, 152,… qui apparaissent une seule fois mais un nombre à configurations multiples tel que 65, 61, 37, 29, etc…De la même manière Hippolyte qui a eu entre les mains le nombre Y, n’a eu ni 2 ni 20 ni 25 mais le spectre des nombres à configurations multiples reste large car il a pu recevoir 3 ou 5 ou 6 ou 9 ou 10 etc…
Comme on ne sait pas lequel des deux a été le premier à s’exprimer, on va être amené à considérer les deux cas de figure :
Théophile s’exprime le premier en disant : « Je ne sais pas répondre. »
Théophile peut donc éliminer toutes les configurations dans lesquelles les sommes X+Y et X+Z n’apparaissent qu’une seule fois dans la liste complète. Il a donc le tableau 2 des
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
1 450*2*1 452 451 2
2 300*3*1 303 301 3
3 225*4*1 229 226 4
4 180*5*1 185 181 5
5 150*6*1 156 151 6
6 100*9*1 109 101 9
7 90*10*1 100 91 10
8 75*12*1 87 76 12
9 60*15*1 75 61 15
10 50*18*1 68 51 18
11 45*20*1 65 46 20
12 36*25*1 61 37 25
13 150*3*2 153 152 3
14 90*5*2 95 92 5
15 75*6*2 81 77 6
16 50*9*2 59 52 9
17 45*10*2 55 47 10
18 30*15*2 45 32 15
19 25*18*2 43 27 18
20 75*4*3 79 78 4
21 60*5*3 65 63 5
22 50*6*3 56 53 6
23 30*10*3 40 33 10
24 25*12*3 37 28 12
25 20*15*3 35 23 15
26 45*5*4 50 49 5
27 25*9*4 34 29 9
28 30*6*5 36 35 6
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
31 15*12*5 27 20 12
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 1
configurations possibles dans lequel ont été identifiées par des couleurs identiques les sommes égales entre elles :
C’est au tour d’Hippolyte de s’exprimer. Il a établi comme Théophile le même tableau que lui. Comme lui aussi dit qu’il ne sait pas répondre, on peut donc éliminer de ce tableau toutes les configurations dans lesquelles la nombre Y apparaît une fois et une seule. Il reste alors le tableau 3 dans lequel comme précédemment les configurations dont les nombres Y sont les mêmes sont repérées par la même couleur. Il en reste huit:
C’est maintenant le tour de Théophile. Devant le tableau 3, il est à nouveau placé devant une ambiguïté car il va encore dire « Je ne sais pas répondre. » et ce sera le 3ème d’une série qui aux dires de Diophante en comporte au moins cinq. Le tableau 3 devient le tableau 4 dans lequel on supprime les configurations n° 9 et 31. Il reste encore six configurations possibles:
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
9 60*15*1 75 61 15
11 45*20*1 65 46 20
12 36*25*1 61 37 25
19 25*18*2 43 27 18
21 60*5*3 65 63 5
24 25*12*3 37 28 12
25 20*15*3 35 23 15
27 25*9*4 34 29 9
28 30*6*5 36 35 6
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
31 15*12*5 27 20 12
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 2
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
9 60*15*1 75 61 15
24 25*12*3 37 28 12
25 20*15*3 35 23 15
27 25*9*4 34 29 9
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
31 15*12*5 27 20 12
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 3
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
24 25*12*3 37 28 12
25 20*15*3 35 23 15
27 25*9*4 34 29 9
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 4
C’est le 4ème tour. Hippolyte dit une nouvelle fois : « Je ne sais pas répondre. ». Les deux premières configurations n° 24 et 25 du tableau 4 disparaissent car les nombres 12 et 15 n’y apparaissent qu’une fois. Quatre configurations restent en lice :
Cinquième tour. Théophile est toujours dans l’incapacité de fournir les trois bons nombres X,Y et Z. Il a donc comme sommes possibles devant ses yeux 25,28 ou 29 et la seule configuration à éliminer est la n°30. D’où le tableau 6 avec trois configurations résiduelles :
A ce stade, que se passe-t-il ? Deux cas sont à envisager :
1) Si Hippolyte dit à nouveau « Je ne sais pas répondre. », ce qui est compatible avec les déclarations de Diophante, c’est qu’il a reçu le nombre 9 est qu’il est placé devant les deux configurations du tableau 7 ci-après :
Au tour de Théophile de s’exprimer. Il ne peut pas avoir la somme de 34. Il y a longtemps qu’il se serait exprimé pour annoncer les trois nombres, il n’a pas non plus 25 car il serait en mesure d’annoncer 20, 9 et 5. Or ce n’est pas lui que Diophante a entendu le premier
annoncer les trois nombres. Il a donc une somme de 29 et dit : « Je ne sais pas répondre. ».Et le tableau 7 reste inchangé. On est donc dans une impasse car au tour suivant, Hippolyte va continuer à dire :: « Je ne sais pas répondre. » et l’un et l’autre vont répéter la même phrase une infinité de fois…
C’est donc le deuxième cas qui est à retenir et qui nous donne la solution.
2) Hippolyte dit : « Je sais répondre et les nombres sont 15,10 et 6 ». On vérifie que Théophile dès qu’il entend Hippolyte affirmer qu’il sait répondre peut de son côté donner les mêmes nombres car toute ambiguïté a disparu pour lui aussi.
Hippolyte s’exprime le premier en disant : « Je ne sais pas répondre. »
Hippolyte peut donc éliminer toutes les configurations dans lesquelles le nombre Y n’apparaît qu’une seule fois dans la liste complète. On obtient ainsi le tableau 8 des configurations possibles dans lequel ont été identifiées par des couleurs identiques les configurations qui ont le même Y :
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
27 25*9*4 34 29 9
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 5
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
27 25*9*4 34 29 9
29 20*9*5 29 25 9
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 6
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
27 25*9*4 34 29 9
29 20*9*5 29 25 9
TABLEAU 7
On procède comme précédemment aux éliminations successives des configurations chaque fois que l’un des deux candidats dit qu’il ne sait pas répondre. On aura donc les tableaux 9,10,11 et 12 qui correspondent aux déclarations successives de Théophile et d’Hippolyte.
Théophile a dit : « Je ne sais par répondre. ». D’où le tableau 9 :
Hippolyte confirme en disant : « Je ne sais pas répondre. ». D’où le tableau 10 :
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
2 300*3*1 303 301 3
3 225*4*1 229 226 4
4 180*5*1 185 181 5
5 150*6*1 156 151 6
6 100*9*1 109 101 9
7 90*10*1 100 91 10
8 75*12*1 87 76 12
9 60*15*1 75 61 15
10 50*18*1 68 51 18
13 150*3*2 153 152 3
14 90*5*2 95 92 5
15 75*6*2 81 77 6
16 50*9*2 59 52 9
17 45*10*2 55 47 10
18 30*15*2 45 32 15
19 25*18*2 43 27 18
20 75*4*3 79 78 4
21 60*5*3 65 63 5
22 50*6*3 56 53 6
23 30*10*3 40 33 10
24 25*12*3 37 28 12
25 20*15*3 35 23 15
26 45*5*4 50 49 5
27 25*9*4 34 29 9
28 30*6*5 36 35 6
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
31 15*12*5 27 20 12
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 8
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
19 25*18*2 43 27 18
24 25*12*3 37 28 12
25 20*15*3 35 23 15
27 25*9*4 34 29 9
28 30*6*5 36 35 6
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
31 15*12*5 27 20 12
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 9
A Théophile de poursuivre par : « Je ne sais pas répondre. ». D’où le tableau 11 :
On en est au 5ème tour et Hippolyte dit une nouvelle fois : « Je ne sais pas répondre ». D’où le tableau 12 :
C’est au tour de Théophile de d’exprimer et comme ce n’est pas lui qui a annoncé le premier les trois bons nombres, il a dit nécessairement qu’il ne savait pas répondre. D’où le tableau 13 dans lequel la configuration n° 30 a été supprimée car les sommes 23 et 28 n’apparaissent qu’une fois dans le tableau. Trois configurations seulement restent en lice :
Le tableau 13 est rigoureusement identique au tableau 6. On est dans la même situation qu’à la fin du tableau 6 et la seule issue possible est la déclaration d’Hippolyte au tour suivant qui affirme avoir trouvé les nombres 15, 10 et 6.
Dans les deux cas de figure, on aboutit donc à la même solution trouvée par Hyppolite : 15, 10 et 6.
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
24 25*12*3 37 28 12
27 25*9*4 34 29 9
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
31 15*12*5 27 20 12
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 10
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
24 25*12*3 37 28 12
27 25*9*4 34 29 9
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 11
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
27 25*9*4 34 29 9
29 20*9*5 29 25 9
30 18*10*5 28 23 10
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 12
N° de la
configuration Factorisations X+ Y X+ Z Y
27 25*9*4 34 29 9
29 20*9*5 29 25 9
32 15*10*6 25 21 10
TABLEAU 13
