Th´eorie des jeux Universit´e de Nice
L1 MASS Ann´ee 2012-2013
Examen du 14 mai 2013
Exercice 1 - Soit le jeu en forme normale suivant y1 y2
x1 (0,1) (3,4) x2 (2,1) (1,0)
1. Quels sont les ´equilibres de Nash en strat´egies pures de ce jeu ?
2. On joue `a ce jeu plusieurs fois. A chaque fois le joueur X joue la strat´egie x1 avec la fr´equence x∈[0,1] et la strat´egiex2 avec la fr´equence 1−x. De mˆeme le joueur Y joue la strat´egiey1 avec la fr´equencey∈[0,1] et la strat´egie y2 avec la fr´equence 1−y.
(a) Donner les deux fonctions paiement uX(x, y) et uY(x, y) pour les deux joueurs X et Y correpondant `a leurs gains en strat´egies mixtes avec fr´equencesx ety.
(b) D´eterminer les deux “fonctions” de meilleure r´eponse RX(y) et RY(x) et donner leur repr´esentation graphique.
(c) D´eterminer les ´equilibres de Nash en strat´egies mixtes ? Parmi ces ´equilibres, lequel est le plus int´eressant pour X ? pour Y ?
Exercice 2 - On consid`ere le jeu `a deux joueurs et `a somme nulle repr´esent´e par la matrice de paiement suivant :
y1 y2 y3 y4 y5
x1 0 4 3 2 6
x2 4 0 2 5 1
1. Y a-t-il des ´equilibres de Nash en strat´egies pures ? Justifier la r´eponse.
2. Y a-t-il des strat´egies domin´ees ?
3. Si le joueur X joue une strat´egie mixte, quelles sont les deux strat´egies “utiles” pour le joueur Y ?
4. D´eterminer les ´equilibres de Nash en strat´egies mixtes en se ramenant `a un jeu 2×2.
Exercice 3 - Deux joueurs jouent le jeu suivant : `a partir de la valeur 0 chacun des deux joueurs dit
`
a son tour un nombre, obtenu du pr´ec´edent en lui ajoutant 1 ou 2 ou 3. Le premier qui arrive `a 2013 a gagn´e. Est-ce que le premier joueur a une strat´egie gagnante ? Si oui, d´ecrire la strat´egie gagnante.
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