H118. Des carrés à la queue leu leu
Le résultat k (1,2,3,4,5 ou 6) du lancer d'un dé supposé parfait est écrit au tableau. Zig et Puce chacun à son tour écrivent sur une même ligne un nombre choisi parmi l'ensemble des 24 premiers nombres naturels 1 à 24, distinct de tous ceux qui ont déjà été écrits, y compris k, tel que la somme des deux derniers nombres inscrits est un carré parfait. La partie s'arrête quand l'un des deux joueurs est bloqué faute d'obtenir un carré ou parce que les 24 entiers ont tous été écrits. Le gagnant est donc celui ou celle qui écrit le dernier nombre. Zig commence. Quelle est la probabilité de gain de Puce ?
Solution
Je m’appellerai Puce, je serais pour le moins fâché, qu’un ami me propose de jouer à un jeu où mes chances de gagner sont exactement nulles Un coup à rompre une amitié de trente ans (cela s’est déjà vu). Mais, pour d’autres raisons, personne ne songe à m’appeler Puce !
En effet, la stratégie suivante de Zig, est gagnante : Zig joue le nombre tel que la somme de ce nombre et de celui précédemment joué par Puce (ou de celui sorti par le dé) soit 25.
Démonstration
1) A la hussarde, en tant qu’
Il suffit de suivre le tableau de marche suivant, donné par programme, qui donne les réponses de Zig, en fonction des nombres de Puce : on y constate que la réponse de Zig est toujours le nombre qui donne une somme de 25.
Dé Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig (1) 1 24 12 13 23 2 14 11 5 20 16 9 7 18
(2) 1 24 12 13 23 2 7 18
(3) 1 24 12 13 3 22 14 11 5 20 16 9 7 18 (4) 2 23 13 12 24 1 15 10 6 19 17 8
(5) 2 23 13 12 24 1 3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
(6) 2 23 13 12 24 1 8 17 19 6 10 15 21 4 5 20 16 9 7 18
(7) 2 23 13 12 24 1 8 17 19 6 3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
(8) 2 23 13 12 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24 (9) 3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
(10) 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24 12 13 23 2 14 11 5 20 16 9 7 18
(11) 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24 12 13 23 2 7 18
(12) 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24 12 13 3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
(13) 5 20 16 9 7 18
(14) 6 19 17 8 1 24 12 13 23 2 14 11 5 20 16 9 7 18
(15) 6 19 17 8 1 24 12 13 23 2 7 18
(16) 6 19 17 8 1 24 12 13 3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
2) Avec la tête Remarque 1
Soit ݖାଵ le jeu de Zig suivant le jeu de Puce , et ାଵ le jeu suivant de Puce. On a :
+ ݖାଵ= 25 Et ݖାଵ+ ାଵ= ݇ଶ, Soit ାଵ− = ݇ଶ− 25
devant être différent de ାଵ, ݇ଶ ne peut jamais être égal à 25 et Puce ne peut jamais écrire un nombre dont la somme avec le précédent est 25.
Plus simplement, le complément à 25 du dernier nombre joué par Zig, est le dernier nombre joué par Puce, donc est déjà utilisé.
Remarque 2
Soit ൛݀, ݖଵ, ଵ, ݖଶ, ଶ, … , ିଵ, ݖൟ , une séquence terminée par Zig. La somme des nombres de cette séquence est : ሺ݀ + ݖଵሻ + ሺଵ+ ݖଶሻ + … + ሺ ିଵ+ ݖሻ = 25. ݅
Remarque 3
Les sommes de nombres des séquences sont majorées par la somme des nombres de 1 à 24, soit : ܯ = 25 ∗ 24/2 = 300. Evident après la remarque 2
Remarque 4
Quand Puce joue, on a : ݖ+ = ݇ଶ
Le coup suivant de Zig donne : ݖାଵ+ = 25 , soit ݖାଵ− ݖ= 25 − ݇ଶ, d’où le tableau des valeurs que peut prendre la différence de deux nombres consécutifs de Zig, et le dernier de Zig en fonction du nombre de Puce
݇ 1 2 3 4 5 6
݇ଶ 1 4 9 16 25 36
ݖାଵ− ݖ impossible 21 16 9 impossible -11 4 x 5 + 1 3 x 5 + 1 2 x 5 - 1 -2 x 5 - 1
Remarque 5
Zig 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
Puce 4 1
3
9 1 2 3 4 8 7 6 5
16 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12 11 10 9 36 12 13 14 15 16 17
24 23 22 21 20 19
Il n’existe pas de complément, qui ajouté à 18, donne 36 (et a fortiori 4, 9 ou 16). Donc quand Zig joue 18, il gagne.
Vrai dans presque tous les cas (14), sauf 2 :
2 23 13 12 24 1 15 10 6 19 17 8 2 23 13 12 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24
On en déduit le tableau suivant des nombres pouvant être joués par Zig pour obtenir 25, et par Puce, pour obtenir 4, 9, 16 ou 36, en fonction du nombre précédent de l’autre joueur :
Jeu de Puce 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
⟹ jeu de
Zig 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Jeu de Zig 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
⟹ jeu de Puce
3 7 1 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 20 19 17 16 15 14 13 12
8 14 6 12 11 10 9 24 23 22 21
15 13
En partant à rebours, c’est-à-dire du placement gagnant de 18 par Zig, on peut facilement montrer, en 1 heure, que la plupart des jets du dé initial (que l’on peut assimiler à un nombre forcé de 1 à 6, joué par Puce), conduisent au placement, tôt ou tard, de 18 par Zig.
Solutions
calculées n n-1 n-2 n-3 n-4 n-5 n-6 n-7 n-8 n-9 n-10 n-11 n-12 ...
Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig ...
18 7 2 23 13 12 4 21 15 10 6 19 17 ...
(2) 24 1
1 3 22 14 11 5 ...
(15) 8 17 19 6
6 3 ...
10 ...
15 10 6 19 17 ...
9 16 20 5
5 4 21 15 10 6 19 17 ...
... ... ... ... ... ... ... ...
On peut lire ce tableau comme suit :
•
Zig pose 18, donc Puce vient de poser 25-18 soit 7
•
Puce a posé 7, donc Zig vient de poser 2 ou 9 (on regarde dans le tableau des jeux de Zig)
o
Si Zig as posé 2, le jeu précédent de Puce était 25-2=23, lui-même issu d’un 13 de Zig, et d’un 25- 13=12 de Puce. Et quand Puce joue 12, Zig a précédemment joué 4 ou 24.
o
Regardons le cas où Zig a joué 24 : le coup précédent était donc 25-24=1. Ce 1 peut provenir d’un jeu naturel de Puce (en réponse à 3, 8 ou 15), ou être le premier nombre sorti par le dé. Dans ce cas, on obtient la séquence gagnante pour Zig : 1 – 24 – 12 – 13 – 23 – 2 – 7 – 18 qui est la deuxième trouvée par programme.
•
En continuant tous les cas, on obtient le tableau complet suivant :
Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z Puce
18 7 2 23 13 12 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24 12 13 3 22 14 11 5 20=X 23 2=X
(2) 24 1
1 3 22 14 11 5 20 16 9 7=X
(15) 8 17 19 6
6 3 22 14 11 5 20 16 9 7=X 10 15 1 24 12 13=X
(11) 21 4
4 5 20 16 9 7=X
12=X 15 10 6 19 17 8 1 24 12=X (13) 9 16 20 5
5 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24 12 13 3 22 14 11 5=X
(6) 23 2
2 7=X
14 11 5=X 11 14 2 23 13 12 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24 12=X
(1) 24 1
1 3 22 14=X
(14) 8 17 19 6
6 3 22 14 11 5=X 10 15 1=X
(10) 21 4
4 5=X 12=X
15 10 6 19
(9) 22 3
3 1 24 12 13 3 22=X
(5) 23 2
2 7=X 14=X
6 19 17 8 1 24 12 13 3=X
(7) 23 2
2 7=X 14=X
13 12 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24 12=X
(3) 24 1
1 3=X
(16) 8 17 19 6
6 3=X
10 15 1=X
(12) 21 4
4 5=X 12=X
15 10 6 19 17 8 1=X
=X signifie que la séquence est impossible, un nombre précédent devant être le même qu’un nombre qui le suit.
On retrouve toutes les séquences calculées par programme, qui se terminent par 18.
Il reste à montrer que les 2 autres séquences qui divergent par une réponse de Puce, à son troisième coup, conduisent au gain de Zig, ce qui est évident.
Dé Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig (4) 2 23 13 12 24 1 15 10 6 19 17 8
(8) 2 23 13 12 4 21 15 10 6 19 17 8 1 24
Questions
Pourquoi 25 ? 24+1 ? 24=4 ! un rapport ?
Pourquoi existe-t-il toujours, pour Puce, un complément à 25 non déjà utilisé ?
Si on démontre ça, c’est dans la poche : il arrivera un moment où Puce va jouer 18, et gagner.
