G10015. Loto queue-leu-leu

G10015. Loto queue-leu-leu

Un tirage du Loto est constitu´e par un ensemble de 6 entiers distincts, entre 1 et 49. Il arrive qu’un tirage contienne deux entiers cons´ecutifs.

Avec quelle fr´equence ?

Solution

Appelons d^k_n le nombre de tirages non ordonn´es de k nombres distincts parmi les entiers de 1 `an, qui ne comportent pas deux nombres cons´ecutifs.

Il est imm´ediat de voir qued^k_n= 0 pourn <2k−1, d¹_n=netd^k_2k−1 = 1.

Mais l’on obtient aussi facilement une formule de r´ecurrence permettant de calculer de proche en proche tous les d^k_nen remarquant que les d^k_n tirages sans nombres cons´ecutifs sont constitu´es :

– des tirages comportant le nombre net compl´et´es par tous les tirages de k−1 nombres distincts et non cons´ecutifs parmi lesn−2 nombres allant de 1 `a n−2 , soit d^k−1_n−2 tirages,

– et des tirages sans nombres cons´ecutifs ne comportant pas le nombren, soitd^k_n−1 tirages.

Ainsi donc d^k_n=d^k_n−1+d^k−1_n−2. On peut alors ´etablir un triangle des valeurs d^k_n analogue au triangle de Pascal pour les combinaisons de p objets pris parmi n, et la surprise est que l’on retrouve les valeurs C_n^k du triangle de Pascal. Il est alors facile de faire l’hypoth`ese que d<sup>k</sup><sub>n</sub> = C<sub>n−k+1</sub><sup>k</sup> et de le v´erifier tant au niveau des conditions initiales d<sup>1</sup><sub>n</sub> = n = C<sub>n</sub><sup>1</sup> et d<sup>k</sup><sub>2k−1</sub> = 1 =C<sub>k</sub><sup>k</sup>que de la condition de r´ecurrence qui conduit `a la relation connueC_n−k+1^k =C_n−k^k +C_n−k^k−1.

Ce r´esultat remarquablement simple peut se trouver directement en

´

etablissant la correspondance biunivoque suivante entre lesd^k_ntirages dek nombres non cons´ecutifs parmi lesnpremiers entiers et lesC_n−k+1^k tirages de k nombres parmi les n−k+ 1 premiers entiers : Il suffit pour passer d’un tirage de nombres non cons´ecutifs `a un tirage de type combinaison, de ranger les nombres tir´es par ordre croissant, de retirer 1 au deuxi`eme nombre du tirage, puis 2 au 3`eme nombre et ainsi de suite jusqu’`ak−1 au ni`eme nombre pour ´etablir le r´esultat, les nombres obtenus pouvant aller de 1 `a n−k+ 1.

Ainsi donc la probabilit´epd’obtenir une combinaison comportant au moins deux nombres cons´ecutifs par tirage de k nombres parmi les n premiers est-elle de

C_n^k−d^k_n

C_n^k = 1− C_n−k+1^k

C_n^k = 1−C_n−k^k−1 Cn^k−1

,

en simplifiant la fraction parn−k+ 1 pour obtenir la derni`ere ´egalit´e.

Application num´erique aveck= 6 etn= 49 :p= 1−43·42·41·40·39 49·48·47·46·45 = 22483

45402 = 0,4952.

Il y a donc presque autant de chances (22483 contre 22919) d’avoir un tirage au loto sans num´eros cons´ecutifs qu’avec.

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