H118. Des carrés à la queue leu leu
Le résultat ݇ (1,2,3,4,5 ou 6) du lancer d'un dé supposé parfait est écrit au tableau. Zig et Puce chacun à son tour écrivent sur une même ligne un nombre choisi parmi l'ensemble des 24 premiers nombres naturels 1 à 24, distinct de tous ceux qui ont déjà été écrits, y compris ݇, tel que la somme des deux derniers nombres inscrits est un carré parfait. La partie s'arrête quand l'un des deux joueurs est bloqué faute d'obtenir un carré ou parce que les 24 entiers ont tous été écrits. Le gagnant est donc celui ou celle qui écrit le dernier nombre. Zig commence. Quelle est la probabilité de gain de Puce ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Il existe toujours une stratégie gagnante pour Zig. Le tableau ci-dessous indique quel nombre il doit écrire pour s’assurer la victoire en fonction de ݇ et des réponses de Puce :
k Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig Puce Zig
1 24 12 13
3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
23 2 7 18
14 11 5 20 16 9 7 18
2 23 13 12
4 21 15 10 6 19 17 8 1 24
24 1
3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
8 17 19 6 3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
10 15 21 4 5 20 16 9 7 18
15 10 6 19 17 8
3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
4 21 15 10 6 19 17 8 1 24 12 13
3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
23 2 7 18
14 11 5 20 16 9 7 18
5 20 16 9 7 18
6 19 17 8 1 24 12 13
3 22 14 11 5 20 16 9 7 18
23 2 7 18
14 11 5 20 16 9 7 18
La probabilité de gain de Puce est donc nulle.
