A626 – Une partition impossible [*** à la main]
Quel est le plus grand entier naturel qui ne peut pas s’exprimer comme la somme de quatre nombres premiers distincts ? Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Paul Voyer
Les entiers impairs ≥ 19 valent 2 + trois premiers impairs distincts, car d’après A.Schinzel tout nombre supérieur à 17 est égal à la somme de trois nombres premiers impairs distincts.
(http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Goldbach.htm)
Au-delà de 20, la question ne se pose donc que pour les entiers pairs.
La conjecture de Goldbach forte dit :
Tout nombre pair positif (≥6) est la somme de 2 nombres premiers (impairs) On peut donc dire :
Tout multiple de 4 positif ≥ 8 est la somme de 2 nombres premiers distincts.
(Ils ne sauraient être égaux)
On sait que : 24=11+13=5+19=7+17 et 30=11+19=13+17=23+7 Pour tout entier n pair ≥ 38,
soit (n-24) est multiple de 4 ≥ 8 et à ce titre la somme de 2 nombres premiers distincts.
Ces 2 premiers n'interdisent pas simultanément les 3 façons de constituer 24 avec 2 nombres premiers distincts.
n = (n-24)+24 est donc la somme de 4 premiers distincts.
soit (n-30) est multiple de 4 ≥8 et à ce titre la somme de 2 nombres premiers distincts.
Ces 2 premiers n'interdisent pas simultanément les 3 façons de constituer 30 avec 2 nombres premiers distincts.
n = (n-30)+30 est donc la somme de 4 premiers distincts.
36 = 3+5+11+17 34 = 3+5+7+19 32 = 3+5+7+17
Le plus grand entier naturel qui ne peut pas s’exprimer comme la somme de quatre nombres premiers distincts est donc 30.
