A516 – Des sommes bien encadrées
Démontrer que la somme des n premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, etc...) est comprise entre n² et n³ pour tout n≥1 et celle de leurs carrés entre n³ et n⁴ pour tout n ≥2.
Pour les plus courageux : pour tout entier k > 0 fixé à l’avance, est-il vrai qu’à partir d’un certain rang nk, pour tout n > nk, la somme des puissances d’ordre k des n premiers nombres premiers est comprise entre nk1 et nk2 ?
Solution par Patrick Gordon
Notons pn le nombre premier d'ordre n (p1 = 2, p2 = 3, etc.) et Sn la somme des n premiers nombres premiers (S1 = 2, S2 = 5, etc.)
encadrement de pn
Que Sn > n² va de soi, car n² est la somme des n premiers nombres impairs et, comme il y a moins de nombres premiers que de nombres impairs, pn est plus grand que le nombre impair d'ordre n, à partir de n = 5.
Pour montrer que Sn < n3, on rappellera tout d'abord que la somme des carrés des n premiers nombres entiers vaut: n (n+1(2n+1)/6, ce qui reste < n3 quel que soit n.
La question se ramène donc à montrer que pn < n². C'est vrai au moins jusqu'à n = 20 (pour fixer les idées).
Supposons la propriété vraie jusqu'à n. Pour qu'elle ne soit plus vraie pour (n+1), il faudrait que l'on ait :
pn < n² pn+1 > (n+1)², soit :
pn+1 – pn > 2n + 1.
On sait que l'écart entre deux nombres premiers consécutifs de rangs n et n+1 peut être aussi grand qu'on veut, mais peut-il être supérieur à 2n+1 ?
On sait que cet écart est de l'ordre de Ln(n). Ce n'est certes qu'un ordre de grandeur mais, comme le logarithme croît bien moins vite qu'une fonction linéaire, la disproportion entre ces deux valeurs devient vite astronomique (le ratio est de près de 3000 pour n = 1.000, de près de 150.000 pour n = 1.000.000).
On peut donc tenir pour établi que pn < n² et que, par conséquent, n² < Sn < n3.
encadrement de pn²
Notons Qn la somme des carrés des n premiers nombres premiers (Q1 = 4, Q2 = 13, etc.). En partant de la formule rappelée plus haut pour S2, on montre aisément que la somme Qn des
carrés des n premiers nombres impairs [1 + 9 +… (2n–1)²] est n (4n²– 1) / 3, qui est supérieur à n3 pour tout n≥2. Par le même raisonnement qui consiste à remarquer qu'il y a moins de nombres premiers que de nombres impairs, il est établi que Qn > n3 pour tout n≥2.
Quant à n4, il évoque la somme des cubes des n premiers nombres entiers.
On rappelle, en effet, que cette dernière somme vaut n²(n+1)² / 4 soit le carré de la somme des n premiers nombres entiers.
Cette somme est minorée par n4 / 4. Il suffit donc de montrer que pn², carré du nième nombre premier, est inférieur à 4n3. Un tableur nous indique que c'est bien le cas pour n≥2 et suggère que le rapport pn² / 4n3 tend vers 0.
Si l'on en croit la formule de Dusart1 : pn < n [Ln(n) + LnLn(n) – 1/2]
qui implique a fortiori (car LnLn(n) est positif et < 0,5 Ln(n) dès n=3) 2: pn < 1,5n Ln(n),
on a :
pn² < 2,25n² Ln(n)².
Cette dernière expression est inférieure à 4n3, si 0,565 Ln(n)² < n
soit encore :
Ln(n)² / n < 1 / 0,565 = 1,77
Or la fonction Ln(x)² / x, dont la dérivée est [2Ln(x) – Ln(x)²] / x², présente un maximum pour Ln(x) = 2 , soit x = e² et ce maximum vaut 4 / e² = 0,5413.
Pour tout n > 2 donc, Ln(n)² / n < 1,77.
Il est donc établi que la somme des carrés des n premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, etc...) est comprise entre n³ et n⁴ pour tout n ≥2.
généralisation "pour les plus courageux" : encadrement de pnk
- borne inférieure
1 http://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers
2 On peut même minorer plus strictement encore. En effet, la fonction LnLnx / Lnx présente un
maximum égal à 1/e = 0,3679. Quant au cas de n=2, il peut être traité directement : la somme des carrés des deux premiers nombres premiers est 4 + 9 = 13 et n4 = 16.
La somme des puissances d’ordre k des n premiers nombres premiers, c’est-à-dire : 2k + 3k +…+ pnk
est, comme nous l'avons fait remarquer maintes fois, plus grande que la somme des
puissances d’ordre k des n premiers nombres impairs, soit de 1 à (2n– 1), (car le nième nombre premier est supérieur au nième nombre impair), laquelle somme est à son tour plus grande que la moitié de la somme des puissances d’ordre k des entiers jusqu'à (2n– 1).
Or, d'après la formule de Faulhaber, la somme des puissances d’ordre k des entiers jusqu'à m est supérieure à mk+1 / (k+1).
Reste donc à déterminer si :
½ (2n-1)k+1 / (k+1) > nk+1 C’est-à-dire si :
[(2n-1)/n]k+1 > 2 (k+1)
Ce qui est évidemment le cas pour n et k suffisamment grands, car (2n-1)/n se comporte comme 2 et l'exponentielle 2k+1 croît bien plus vite que la fonction affine 2 (k+1).
Plus précisément, un tableur nous indique que c'est le cas : - pour k = 3, à partir de n = 4
- pour k = 4 ou 5, à partir de n = 3 - pour k ≥ 6, à partir de n = 2.
Comme la propriété a été établie ci-dessus pour k = 1 et k = 2, il est ainsi établi que, pour tout entier k > 0 fixé à l’avance, à partir d’un certain rang nk, pour tout n > nk, la somme des puissances d’ordre k des n premiers nombres premiers est supérieure à nk+1.
- borne supérieure
De même que ci-dessus, nk+2 évoque la somme des puissances k+1 des n premiers nombres entiers.
On rappelle que, d'après la formule de Faulhaber, cette somme est minorée par nk+2 / (k+2). Il suffit donc de montrer que pnk, est inférieur à (k+2) nk+1.
Or, nous avons vu que, selon la formule de Dusart (pour n≥3) : pn < 1,5n Ln(n),
On a donc :
pnk < 1,5k nk Ln(n)k.
Cette dernière expression est inférieure à (k+2) nk+1, si
1,5k Ln(n)k < (k+2) n, soit encore :
Ln(n)k / n < (k+2) / 1,5k
Or la fonction Ln(x)k / x, dont la dérivée est [kLn(x)k-1 – Ln(x)k] / x², présente un maximum pour Ln(x) = k , soit x = ek et ce maximum vaut k² / ek.
Reste à voir donc pour quelles valeurs de k, on a : (k+2) / 1,5k > k² / ek.
C’est-à-dire :
(k+2) / k² > (1,5/e)k
Le bon sens (aidé d'un tableur) indique que les puissances de (1,5/e) = 0,5518, nombre inférieur à 1 décroissent très vite, bien plus vite que la fraction rationnelle du 1er membre.
Dès k=3, le ratio est < 0,3; dès k=12, il est < 0,001.
Reste le cas de n < 3
Pour n=1, le premier nombre premier est 2 et 2k n'est pas < 1k+1.
Pour n=2, les deux premiers nombres premiers sont 2 et 3 et 2k + 3k n'est < 2k+2 que pour k = 1 et 2.
La somme des puissances d’ordre k des n premiers nombres premiers n'est donc inférieure à nk+2 que pour n≥3.
