COURS-PROBABILITES-VARIABLES ALEATOIRES-BTS-GO-2010-PROBABILITES CONDITIONNELLES

PROBABILITES A. Notion d’expérience aléatoire

1. Définition

Chaque résultat possible et prévisible d'une expérience aléatoire est appelé éventualité liée à l'expérience aléatoire

.

L'ensemble formé par les éventualités liées à une expérience aléatoire est appelé univers de l'expérience;

il est très souvent noté .

Un événement de l'expérience aléatoire est une partie quelconque (un sous-ensemble) de l'univers. Un événement ne comprenant qu'une seule éventualité est qualifié d'événement élémentaire.

Une expérience ayant un nombre fini d’issues possibles est appelé expérience aléatoire s’il est impossible de savoir à l’avance quelle en sera l’issue.

Une expérience aléatoire (on dit aussi: une épreuve) est une expérience dont le résultat dépend du hasard 2. Remarque

Si on note chaque issues possibles e1,…, e_n1;e_n alors  



e e1; ;...;2 e_n1;e_n



et chaque

 

ei est alors un événement élémentaire.

Une expérience aléatoire est déterminée par l’expérience que l’on effectue et donc l’univers aussi, c’est à-dire que si on change d’expérience aléatoire, on change aussi d’univers !

L'événement qui ne contient aucune éventualité est qualifié d'événement impossible, et est noté 

L'événement qui est composé de toutes les éventualités (c'est-à-dire  lui-même) est appelé événement certain. Si A et B sont deux parties disjointes de  ont dit que les événements A et B sont des événements incompatibles.

On dit que l'événement A est réalisé lorsque le résultat de l'expérience appartient à A.

B. Vocabulaire des événements 1. Définition1

Soit E une expérience aléatoire et  l’univers des possibles associé à cette expérience. L’ensemble de toutes les parties de ,^P

 

^ est l’ensemble des événements lié à .

2. Composition d’événements

a) Evénement AB

La loi dans ^P

 

^ correspond à l’emploi du « ou inclusif » entre deux événements.

Définition .2 (A ou B) Soient A et B des événements.

L'événement AB est l'événement « A ou B ». ABest réalisé quand A seul est

réalisé ,ou quand E seul est réalisé, ou quand A et E sont réalisés tous les deux.

b) Evénement

AB

La loi  dans ^P

 

^ correspond à l’emploi du « et » entre deux événements.

Définition .3 (A et B) Soient A et B des événements. L'événement AB est l'événement « A et B » . ABest réalisé uniquement quand A et E sont tous deux réalisés

Dans le cas où A  B ,on dit que les deux événements A et B sont disjoints ou incompatibles.

c) Evénement contraire

Définition 4 Pour tout événement A , il existe un événement noté A, et appelé événement contraire de A, qui est composé des éléments dequi ne sont pas dans A.

A

 A B

B

A B

 A B

A B



Propriétés:

Un événement

➔ A et son événement contraire A sont incompatibles: A  A . Le contraire de l'événement

➔ A est A A lui-même.

Le contraire de l'événement impossible est l'événement certain:

➔    .

Exemples : A  B A B et A  B A B et



^np

 

^{ np}



^.

C. Probabilité

Probabilité d'un événement.

Définition:5 . Définir une loi de probabilité sur l'univers  



e e e e e1 2 3 4 5; ; ; ; ;...;e_n1;e_n



d'une expérience aléatoire, C'est associer à chaque éventualité e_iun nombre pi

 

^0;1 de telle sorte quep₁p₂p₃...p_n1. Chaque nombre p est appelé probabilité de l'éventualité. La probabilité d’un événement non vide_i



₁; ; ; ;...;_{2 3 4 k}



A e e e e e est la somme des probabilités des éventualités qui lui sont favorables . p A( ) p1p2p3p4...p_k

Définition 6 (Équiprobabilité) On dit des événements A et B qu'ils sont équiprobables lorsque ^{p A}

 

^{p B}

 

. Pour une expérience aléatoire donnée, on dira qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires sont équiprobables.

Une situation d’équiprobabilité est une situation dans laquelle à chaque éventualité de l’univers on a associé la même probabilité ; dans ce cas : _{1 2} 1

... _n

p p p

   n. p e^{( )}i ^{1 1}

nombre de cas possibles n

 

On dit alors : qu’il ya équiprobabilité sur l’univers  Remarque :

cette situation d’équiprobabilité est sous-entendue implicitement dans des textes ou apparaissent des formulations du type : « on lance un dé équilibré » . «on tire au hasard une carte dans un jeu des cartes » .

« on interroge au hasard un élève dans une classe ».

Ensemble des éventualités réalisant A , A étant un sous-ensemble de . A={e_i,..,e_k}, A  .

Lorsqu’il y a équiprobabilité sur l’univers La probabilité d’un événement composé de k éventualités est donnée par

la formule '

( ) '

nombre d élément de A nombre de cas favorables k p A nombre d élément de E  nombre de cas possibles n.

Définition .7 Une probabilité P sur  associe à chaque événement une valeur numérique qui mesure la chance qu'a cet événement d'être réalisé. P vérifie toujours toutes les conditions suivantes :

1. Pour tout événement A de  0P A( ) 1 . 2. ( ) 1P   . 3. ( ) 0P   . 4. Si A et B sont deux événements incompatibles, alors : (P AB)P A( )P B( ).

5. Soit

 

^A_{n nN}une suite d'événements deux à deux incompatibles (A_iA_j   pour i # j), alors,

0

n ( )n

n n

P A ^P A

 

  

 

 _ 



Théorème 1 :

Soit E l’univers lié à une expérience aléatoire et A et B deux événements de cet univers.

( ) ( ) ( ) ( )

p AB  p A  p B p AB . Si A et B sont incompatibles alorsp A( B) p A( ) p B( ). Démonstration :

1 . Si A et B sont incompatibles, alors ABest composée de tous les éléments de A et de tous les éléments de B. ABest réalisé avec les éléments de A ou les éléments de B.

la probabilité de ABest la somme des probabilités qui le composent. Donc p A B(  ) p A( ) p B( ).

2. Soit Al’événement tel que^{A A }



^AB



^{et A}



^AB



^{ .}

Ainsi, A^{et (AB}) forment une partition de A donc ( )p A  p A( )p A( B)[1].

A A



A A B  B

A'=A B'= B

A  B A B et A  B , donc (p AB) p A( B) p A( ) p B( ) [2].

De [1] , on a ( )p A  p A( )p A( B). En remplaçant dans [2],p A( B) p A( ) p B( )p A( B). Théorème 2 : Soit A un événement de E et A son événement contraire. ^{p A}

 

^{p A}

^{ }

^1.

Démonstration : Soit A un événement et Ason contraire. Alors A  A et A  A . donc ^{p A}



^A



^{ p A}

^{ }

^{ p A}

 

^{ p}

^{ }

^{ 1}) . ^{p A}

 

^{p A}

^{ }

^1.

Propriétés : Soit

^A

un événement de probabilité non nulle, on a :

© Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 :

0P A( ) 1 .

La probabilité d’un événement certain est 1 :

( ) 1P   .

La probabilité d’un événement impossible est 0 :

( ) 0P   .

©

^{p A}

 

^{ 1 p A}

^{  ;}

© Si A et B sont des événements incompatibles, alors

^{p A}



^B



^{ p A}

 

^{ p B}

  ;

©

^{p A}



^B

 

^{ p AB}



^{ 1 p A}

^

^B

^{ et}

^{p A}



^B

 

^{ p AB}



^{ 1 p A}

^

^B

^

Exemple

On lance un dé truqué. La loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le numéro de la face obtenue est

xi 1 2 3 4 5 6

p(X = xi) = pi 1 8

1 8

1 4

1 8

1 4

1 8

1/On a : A = « obtenir un nombre pair »et B =

 

^{5 alors p A B(  ) p A( )p B( )  }_{8 4}^{3 1 5}₈^{. p A( ) 1 p A( ) 1  }₈^{3 5}₈

2/avec A= {obtenir un nombre pair }et B={obtenir un multiple de3} . On a : ( ) ³

p A 8 ; ^{( ) (3) (6) 1 1 3} 4 8 8 p B p p    ; ( ) (6) 1/ 8

p A B  p  , alors p A B⁽  ⁾ p A^{( )} p B^{( )}p A B⁽  ) 3 / 8 3 / 8 1/ 8 5 / 8    .

D-Variables aléatoires

1. Introduction

Définition : Soit un univers fini à N éventualités,  



  1; 2; 3;_i_N



NN , on appelle variable aléatoire toute application X de  dans R. :

k i

X

 x

 



Roù ^k



^1;2;3^N



.

xiest appelé valeur de la variable aléatoire X .



X xi

 

 k^{/ (}X k⁾xi



L’ensemble des antécédents des valeurs deX inférieures ou égale à un réel x se note :



X x







k^{/ (}X k⁾x



. Conséquences : les n événements



^{X x}_{i i}



_1...nforment un système complet d’événement de 

Définition : l’ensemble des couples ( ; (x P X_i x_i)constitue la loi de probabilité de la variable aléatoire X Définir la loi de probabilité d’une expérience aléatoire, c’est :

 faire une partition de l’univers  avec les évènements constitué par les différentes issues possibles de l’expérience :  



  1; 2; 3;_i_N



; X( ) 



x x x1; 2; ;3x_ix_n



 déterminer les probabilités de chacun de ces évènements : p1, p2, … ,p_n,



consigner ces résultats dans un tableau tel que celui-ci :

X xi x1 x2 … x_n

( _i)

P X x p1 p2 … p_n

Remarque : soit p(

X

= x

i

) = p

i

. De plus,

1 2 3 1 1

1 ...

i p

i p p

i

p p p p p p



 

      



2. Espérance et variance

Dans ce paragraphe, on considère une épreuve dont les issues sont les nombres x1, x2, …, x_n. Ces nombres sont les valeurs d’une grandeur que l’on peut noter X.

La loi de probabilité de X est alors :

valeurs possibles x1 x2 … x_n

probabilité p1 p2 … p_n

Définition 1: On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre réel, noté ( )E X définie par : E X( ) x₁ p₁x₂p₂...x_np_n ;

1

( ) ^{i n} _{i i}

i

E X ^ x p







Remarque : lorsque ( ) 0E X  pour une situation de jeu on dit que le jeu est équitable

( )E X représente la moyenne des gains obtenus si on répète l’épreuve un grand nombre de fois . ( ) 0E X  signifie une perte si on répète l’épreuve un grand nombre de fois

( ) 0E X  signifie un gain si on répète l’épreuve un grand nombre de fois

Définition 2 : On appelle variance de la variable aléatoireX le nombre réel positif, noté V X( )définie par : V X( )E X( E X( ))² ;

 

^{2 2 2}

1

( ) ⁿ _i ( ) _i ( ) ( ( ))

i

V X x E X p E X E X







  

2 2 2

1 1 2 2

( ) ( ( )) ( ( )) ... ( _n ( )) _n

V X  x E X p  x E X p   x E X p

La variance est également donnée par la formule : V X( )x₁²p₁x₂²p₂...x_n²p_nE X( )²

Démonstration :

 

^{2 2 2}

1 1 1 1

( ) ⁿ _i ( ) _i ⁿ _{i i} 2 ⁿ _{i i} ( ) ⁿ _i( ( ))

i i i i

V X x E X p x p x p E X p E X

   





 







 



V X( )E X( ²) 2 ( ( ))  E X ²( ( ))E X ² et V X( )E X( ²) - ( ( ))E X ²

Définition 3 : L’écart -type de cette loi, noté , est la racine carrée de la variance : ( ) X  V X( ). Remarques : la variance et l’écart-type permettent d’estimer la dispersion des valeurs de X autour de l’espérance mathématique

 On a toujours ^{V X( ) 0}

; on peut donc calculer

^{V X( )}

, c’est à dire

^

. De plus on a toujours

^{ 0}

.

E- Fonction de répartition

La fonction de répartition F d’une variable aléatoire X est l’application qui, à tout réel x, associe la probabilité

^{P X( x)}

:

^{F x( )P X( x)}

PROPRIÉTÉS



F est une fonction définie sur

R

prenant ses valeurs dans

^[0;1]



F est une fonction en escalier.



Pour tout réel x,

^{F x( )}

est la somme des réels

p X⁽ xi⁾

tels que

xix

.

 P X( x) 1 P X( x) 1 F x( ) ;  P a X(  b)P X( b)P X( a)F b( )F a( )avec (a b ).

La fonction F est croissante :

Si x x ₁ , F x( ) 0 ; si x x _n , ( ) 1F x 

Démonstration : (P X x)P X( x) 1 P X( x) 1 P X( x) 1 F x( )

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (1 ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P X a P a X b P X b P a X b P X a P X b

P a X b P X b P X a F b F a

              

       

Pour tous réel a et b : si a b alors ( )F b F a( ) 0 , donc F est croissante sur R^.

2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2

p1+p2 1-pn1

0 1

p1

x y

Exemple

xi ^{2 3 4 5 6}

2 3 4 5 6 7 8

-1 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1

0 1

0,125

( _i) P X x ¹

8 1 4

1 4

1 4

1 4

1

F - Probabilités conditionnelles- événements indépendants 1. Exemple 1

Une urne contient 3 boules rouges 2 boules vertes et 2 boule bleu. On tire successivement deux boules sans remise.

on s’intéresse à la probabilité de l’événement « On obtient exactement une boule rouge » 2. Arbre pondéré :Notre expérience aléatoire peut être modélisée par un arbre pondéré :

Sur chaque branche on indique les probabilités : Sur la branche R₁on place la probabilité ₁ 3

( ) 7

P R 

Sur la branche R₁R₂ on place la probabilité d’avoir une boule rouge au

deuxième tirage sachant qu’on a déjà eu une rouge au premier ( l’urne est différente) Calcul de : P R_R1( 2) :

1 2 2 1

( )

6 3

P RR  

Le chemin  R₁R₂ correspond à l’événement R1 et R2 c’est à dire R1∩R2

Calcul deP R( ₁R₂) :

1 2 1 1 2 3 1 1

( ) ( ) ( )

7 3 7 P R R P R P RR    Exemple 2

Dans une classe de 36 élèves , 23 élèves ont 18 ans , 29 élèves sont des filles et 17 filles ont 18 ans On choisit au hasard un élève de la classe . on s’intéresse aux événement suivants :

A = « l’élève est une fille » , B = « l’élève a 18 ans », AB : l’élève est une fille de 18 ans.

( ) 29

P A 36 ; 23 ( ) 36

P B  ; 17

( )

P AB 36

Mais si on sait que l’élève est une fille , l’ensemble de référence change : la probabilité que l’élève ait 18 ans sachant que c’est une fille , est alors : 18 17

29 nombre de filles de ans

nombretotal de filles  . on remarque alors que : ( ) 17 /36 17

( ) ( ) 29/ 36 29

A P A B

P B P A

   

Définition

Si ( ) 0p A  respectivement ( ) 0p B  , la probabilité conditionnelle de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé, notée p B_A( ) ou ( / )p B A , est définie par : ( )

( ) ( / )

A ( )

p A B p B p B A

p A

   .

La probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé, notée p A_B( ) ou p A B( / )_,

est définie par : ( )

( ) ( )

B

p A B

p A p B

  ou p A B(  ) p A_B( )p B( ) p B_A( )p A( )

R₁

R₂

V₂

B₂ R₂ V₂

B₂ V₁

B₁

R₂ V₂ B₂

A

A

B

B B

B

A B

A B A B

A B

Attention pA(B) est différent de p(B) en général 1-Arbre de probabilité conditionnelle

On traduit souvent la situation sous la forme d’un arbre de probabilité conditionnelle . La première branche est pondérée par ( )P A et ( )P A La deuxième branche est pondérée par les probabilités conditionnelles Règles de construction et d'utilisation des arbres pondérés

 racine ( départ)

 nœud

 branche ( segment reliant 2 nœuds consécutifs )

 chemin ( suite de branches )

Le cheminement sur un arbre se fait de gauche à droite.

Les lettres placées aux nœuds de l'arbre représentent des événements

La racine de l'arbre correspond à l'univers .

Chaque branche reliant 2 nœuds successifs A  B est affectée de la probabilité de passer de A à B

c’est à dire p B_A( ) la probabilité conditionnelle de B sachant A.

 " Loi des nœuds": La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

A chaque nœud N correspond l'intersection des événements associés aux nœuds du chemin reliant le nœud N à la racine.

 La probabilité d'un événement qui correspond à plusieurs chemins de l'arbre à partir de la racine est la somme des probabilités correspondant à chacun de ces chemins.

2-

Représentation par un tableau croisé 3-

Propriétés

1. probabilité de l’intersection des événement A et B :

AB

Des deux égalités précédentes, on déduit :

^ P A⁽ B⁾P AB^{( )}P B^{( )}

si

^{P B( ) 0}

^ P A⁽ B⁾P BA^{( )}P A^{( )}

si

^{P A( ) 0}

. 4.Probabilité de l’événement contraire

 P A_B( )P A_B( ) 1

ou encore

_{P AB( ) 1 P AB( )}



De même ,

P B_A( )P B_A( ) 1

ou encore

P B_A( ) 1 P B_A( )



De même ,

P B_A( )P B_A( ) 1

ou encore

P B_A( ) 1 P B_A( )

5.Arbre de probabilité : Il permet de visualiser les données et de calculer des probabilités.

Propriétés

R A C IN E

N O E U D B R A N C H E P R IM A IR E

B R A N C H E S E C O N D A IR E TRAJET

A A

B P B_A( ) P B_A( ) B P B_A( ) P B_A( )

Total

1 1

A A

Total

B P A_B( ) P A_B( ) 1 B P A_B( ) P A_B( ) 1



Représentation par un tableau croisé

A A

Total

B ^{P A( B)} _{P A( B)} P B( ) B ^{P A( B) P A( B)} P B( )

Total

^{P A( )} _{P A( )}

1

B

B

A

A P( B )

P ( A )

A A

P( B )

B

P ( A )B

P ( A )

P ( A ) B

B

...

...

...

...

Chemin

A B

Probabilité

( ) _B( ) ( )

P AB P A P B A B ^{P A( B)P A}_B^{( )P B( )} A B ^{P A( B)P A}_B^{( )P B( )} A B ^{P A( B)P A}_B^{( )P B( )}

Soit

E

un événement de probabilité non nulle, on a :

© Une probabilité conditionnelle est un nombre compris entre 0 et 1 :

0P A_E( ) 1

© La probabilité conditionnelle d’un événement certain est 1 :

pE

 

 ¹

© La probabilité conditionnelle d’un événement impossible est 0 :

^P_E^{( ) 0 }

©

^pE

 

^{A  1 pE}

^{ }

^A

^;

©

pE



AB



pE

 

A pE

 

B pE



AB

 ;

© Si A et B sont des événements incompatibles, alors

pE



AB



pE

 

A pE

 

B

;

©

^pE



^{A B}



^{ pE}



^AB



^{ 1 pE}

^

^AB

^{ .}

4. Evènements indépendants

Intuitivement: deux événements sont indépendants (en probabilité) si la réalisation de l'un des deux événements n'influence pas les chances que l'autre se réalise.

Définition2

Soit A et B deux événements d’un univers , de probabilités non nulles

On dit que les événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre . Autrement dit , A et B sont indépendants si P B_A( )P B( ) et P A_B( )P A( )

Conséquence : Si A et B sont deux événement indépendants, la propriété P B_A( )P B( )ou P A_B( )P A( ) se traduit par ^{P B( ) P A B(}_{P A( )}^{ )}donc par (P AB)P A( )P B( )

Remarques

 Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles.

2 événements A et B sont indépendants si (p AB) p A( )p B( ).

 2 événements A et B sont incompatibles si A  B . et alors (p AB) 0 .

 La notion d’indépendance dépend de la probabilité sur l’univers, celle d’incompatibilité est purement ensembliste.

Deux évènements incompatibles ne sont jamais indépendants

 La somme des probabilité partant d’un même nœud vaut toujours 1

 Un chemin AB correspond à l’évènement A B , sa probabilité se calcul en multipliant les probabilités rencontrées sur le chemin

 Ne pas confondre^p_B

 

^A et ^{p A}



^B



. Formule des probabilités totales

Soit les événements B1,B2, B3 et B4 de l’univers qui vérifient :

 B B ₁B₂B₃B₄.

 B iet Bj incompatibles c’est à dire BiBj   pour i j.

On dit alors que Les événements B1,B2, B3 etB4forment une partition de B . Dans ces conditions p B( )p B( )₁  p B( ₂)p B( )₃  p B( ₄).

b. Formule des probabilités totales admise

Si l’univers Ω est la réunion de trois événements B1,B2, B3 et B4deux à deux incompatibles et A étant un événement . On a : p A( )p A( B₁)p A( B₂) p A( B₃) p A( B₄) ;

p A( ) p A( )p B_A( )₁ p A( )p B_A( ₂) p A( )p B_A( )₃ p A( )p B_A( ₄) cas général ADMIS

 est l’ensemble des évènements élémentaires d’une expérience aléatoireA₁, A₂,… , A_ndésignent des sous- ensembles de . Dire que A₁, A₂,… , A_nforment une partition de  signifie que les Ai sont deux à deux disjoints et queA1A2...A_n  .Avec cette définition, on peut énoncer le théorème suivant.

Propriété : Formule des probabilités totales ( admis ) A1, A2,… , An forment une partition de .

Alors la probabilité d’un événement quelconque A est donné par : p A( )p A( B₁) p A( B₂) ... p A( B_n)

c’est à dire, lorsque P(B

i

)  0 pour tout i :

p A( )p A( )p B_A( )1 p A( )p B_A( ) ....2  p A( )p B_A( _n)

.

B

1 B

2 B 1

B



A 3

4

n =4

Méthode 1: Comment calculer une probabilité conditionnelle ? On considère deux événements A et B.

On traduit en termes de probabilités les données de l'énoncé.

L'énoncé donne (P AB)et ( )P A ou (P AB)et ( )P B .

On calcule la probabilitéP B_A( )ou P A_B( )cherchée en appliquant la formule : A^{( ) (} _{( )} ⁾

P A B P B P A

  ou B^{( ) (} _{( )} ⁾

P A B P A P B

 

Exemple: Dans un lycée, 80 % des élèves partent à la mer en été et 28 % partent à la mer en été et à la montagne en hiver. On interroge un élève au hasard et on appelle E l'événement : « il part à la mer en été » et H l'événement : « il part à la montagne en hiver » . Calculer la probabilité que l'élève interrogé parte en hiver à la montagne, sachant qu'il part en été à la mer.

 L'énoncé donne: (P EH) 0,28 et ( ) 0,80P E  .

 La probabilité que l' élève parte en hiver à la montagne, sachant qu' il part en été à la mer est :

( ) 0,28

( ) 0,35

( ) 0,80

E

P E H

P H P E

    .

Méthode 2: Comment calculer la probabilité de l'intersection de deux événements avec une probabilité conditionnelle ? On considère deux événements A et B.

On traduit en termes de probabilités les données de l'énoncé.

L'énoncé donne P B et ( )_A( ) P A ou P A_B( ) et ( )P B .

On calcule la probabilité (P AB)cherchée en appliquant la formule : (P AB)P A_B( )P B( ) ou (P AB)P B_A( )P A( ).

Exemple: Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 60 % des boules sont blanches, et parmi elles, 25 % portent un numéro. On prélève au hasard une boule de l'urne et on appelle B l'événement:

« la boule prélevée est blanche » et N l'événement : « la boule prélevée porte un numéro ».

Calculer la probabilité que la boule prélevée soit blanche et porte un numéro.

L'énoncé donne: ( ) 0,6P B  et P N_B( ) 0,25 .

La probabilité que la boule prélevée soit blanche et porte un numéro est : (P BN)P N_B( )P B( ) 0,6 0,25 0,15   .

Méthode 3 : Comment calculer la probabilité de l'intersection de deux événements indépendants ?

On repère dans l'énoncé une indication permettant de considérer deux événements indépendants A et B.

On calcule la probabilité (P AB)cherchée en appliquant la formule : (P AB)P A( )P B( )

Exemple: Pour atteindre le dernier étage d'une tour, il est nécessaire d'utiliser deux ascenseurs qui fonctionnent indépendamment l'un de l' autre. Chaque jour, les probabilités de tomber en panne sont respectivement de 1 % pour le premier ascenseur et de 0,6 % pour le second.

Calculer la probabilité que les deux ascenseurs tombent en panne une journée donnée.

Le fonctionnement des deux ascenseurs étant indépendant, les événements A: « le 1^er ascenseur tombe en panne » et B : « le 2^e ascenseur tombe en panne », sont indépendants. .La probabilité que le 1^er ascenseur tombe en panne et que le 2^e ascenseur tombe en panne est: (P AB)P A( )P B( ) 0,01 0,006 0,00006   .

Méthode 4 : Comment construire un arbre de probabilité ?

On identifie les événements A, B et C (ou A, A et C) .On traduit en termes de probabilités les données de l'énoncé. puis on représente la situation par un arbre :

du premier nœud de l'arbre part deux branches . À l'extrémité des deux branches on note les deux événements A et B ( ou A et A ) considérés et sur une des branches la probabilité correspondante donnée dans l’énonce ;

des seconds nœuds de l'arbre partent deux branches . À l'extrémité des deux branches de chaque nœud , on note l'événement C, l'événement Ccontraire de C et sur l'une des branches la probabilité conditionnelle donnée dans l'énoncé.

On complète l'arbre, en utilisant la propriété suivante: pour les branches issues d'un même nœud , la somme des probabilités est égale à 1.

Exemple: Un entrepreneur fabrique des pièces détachées grâce à deux machines MA et MB. MA fournit 45%

de la production totale; MA et MB produisent respectivement

2% et 3 % de pièces défectueuses. On prend au hasard une pièce. Soit les événements A: « la pièce provient de MA »,

B : « la pièce provient de MB » et D : « la pièce est défectueuse ».

Représenter cette situation par un arbre.

L'énoncé donne: P(A) = 0,45 et P D_A( ) 0,02 et P D_B( ) 0,03

On représente la situation par un arbre:

du premier nœud de l'arbre part deux branches: à l'extrémité des deux branches on note les deux événements A et B et sur la première branche la probabilité de l' événement A; on en déduit. par soustraction la probabilité de l'événement B : P B( ) 1 P A( ) 1 0,45 0,55  

de chaque second nœud de l' arbre partent deux branches: à l' extrémité des deux branches de chaque nœud , on note les événements D et D et sur la première branche de chaque nœud la probabilité conditionnelle.

P D_A( ) 0,02 et P D_B( ) 0,03 ; on en déduit par sous- traction les probabilités conditionnelles :

( ) 1 ( ) 1 0,02 0,98

A A

P D  P D    et P D_B( ) 1 P D_B( ) 1 0,03 0,97   Méthode 5 : Comment calculer la probabilité d'un événement à l'aide d'un arbre ?

On représente la situation par un arbre (voir méthode 4).

On calcule la probabilité de chaque chemin conduisant à l'événement cherché, en effectuant le produit des probabilités de ses branches

On calcule la probabilité cherchée, en effectuant la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.

Exemple: Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre de probabilité ci-dessous.

Calculer ( )P D .

Il y a deux chemin qui conduisent à l'événement D : A D et BD.

P A( D)P A( )P D_A( ) 0, 45 0,98 0,441   P B( D)P B( )P D_B( ) 0,55 0,97 0,5335  

( )P D P A( D)P B( D) 0,441 0,5335 0,9745   Exercice1

Dans une usine d’automobiles, trois chaînes « a », « b » et « c » fournissent respectivement 25%, 35% et 40%

de la production de moteurs. Certains de ces moteurs sont écartés comme défectueux, dans les proportions suivantes : 5% pour la chaîne « a », 4% pour la chaîne « b » et 1% pour la chaîne « c ».

On prend un moteur au hasard et on définit les évènements suivants :

A : « Le moteur est issu de la chaîne « a » » ; B : « Le moteur est issu de la chaîne « b » » ; C : « Le moteur est issu de la chaîne « c » » ; D : « Le moteur est défectueux ».

Les résultats sont donnés à 10^-4 près.

1. Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités et tracer un arbre pondéré illustrant la situation.

2. Calculer P(D).

3. Quelle est la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « a » sachant qu’il est défectueux ? 4. Calculer la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « c » sachant qu’il n’est pas défectueux ?

A

B

D

D 0,45

0,02

D D

0,55

0,98

0,97

...

...

...

...

0,03

A

B

D

D P( A )=0,45

P ( D )=0,02

D D

P( B)=0,55

A

P ( D )=0,98A

P ( D )=0,03

P ( D )=0,97 B

B

...

...

...

...

Solution :

1. Les renseignements donnés par le texte sont les suivants :

P(A) = 0,25 ; P(B) = 0,35 ; P(C) = 0,4 ; PA(D) = 0,05 ; PB(D) = 0,04 ; PC(D) = 0,01.

2. Utilisons la formule des probabilités totales pour calculer P(D) : P(D) = P(D ∩A) + P(D B) + P(D C)

= P(A) ^ PA(D) + P(B) ^ PB(D) + P(C) ^ PC(D)

= 0,25 ^ 0,05 + 0,35 ^0,04 + 0,4 ^ 0,01 = 0,0125 + 0,014 + 0,0004 . P(D) = 0,0305.

Exercice2 :

Un test d’une maladie est effectué sur la totalité d’une population.

Une étude statistique établit que 70 % de la population réagit négativement au test ( événement N ) , 20 % réagit faiblement au test ( événement F ) et 10 % réagit fortement au test ( événement R ) . La probabilité pour une personne de cette population d’être atteinte de la maladie ( événement M ) est :

 0,9 lorsque le test est fortement positif

 0,6 lorsque le test est faiblement positif

0,05 lorsque le test est négatif

Solution

Par hypothèse, on a donc :

P ( R ) = 0,1 , P ( F ) = 0,2 , P ( N ) = 0,7 , P ( M / R ) = 0,9 , P ( M / F ) = 0,6 et P ( M / N ) = 0,05

Les événements R , F et N constituent une partition de la population.

D’après la formule des probabilités totales, on en déduit que :

P ( M ) = P ( M / R )  P ( R ) + P ( M / F )  P ( F ) + P ( M / N )  P ( N ) = 0,9  0,1 + 0,6  0,2 + 0,05  0,7 = 0,245

La probabilité pour qu’une personne de cette population soit atteinte de la maladie est donc égale à 0,245.

A B C

D D

D D

D 0,35 D

0,25

0,4

0,05

0,04 0,01

R F N

M M

M M M M