Correction PROBABILITES CONDITIONNELLES

1

Correction PROBABILITES CONDITIONNELLES – LOI BINOMIALE EXERCICES SUPPLEMENTAIRES (2).

Exercice 1 :

Dans un schéma de Bernoulli comportant 9 répétitions, la probabilité du succès est 0,65.

On appelle 𝑋 le nombre de succès obtenus.

𝑃(𝑋 = 0) = (9

0) × 0,65⁰× (1 − 0,65)⁹ = 𝟎, 𝟑𝟓^𝟗 ≈ 𝟎, 𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟕 𝟗

𝑃(𝑋 = 3) = (9

3) × 0,65³× (1 − 0,65)⁶ = 𝟖𝟒 × 𝟎, 𝟔𝟓^𝟑× 𝟎, 𝟑𝟓^𝟔 ≈ 𝟎, 𝟎𝟒𝟐 𝟒𝟎𝟔

𝑃(𝑋 = 8) = (9

8) × 0,65⁸× (1 − 0,65)¹ = 𝟗 × 𝟎, 𝟔𝟓^𝟖× 𝟎, 𝟑𝟓 ≈ 𝟎, 𝟏𝟎 𝟎𝟑𝟕 𝟑

𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 𝟎, 𝟑𝟓^𝟗+ 𝟗 × 𝟎, 𝟔𝟓 × 𝟎, 𝟑𝟓^𝟖+ 𝟑𝟔 × 𝟎, 𝟔𝟓^𝟐× 𝟎, 𝟑𝟓^𝟕

𝑃(𝑋 ≤ 2) ≈ 𝟎, 𝟎𝟏 𝟏𝟏𝟖 𝟐

Exercice 2 :

Un QCM (Questionnaire à choix multiples) est composé de 8 questions indépendantes.

Pour chaque question quatre réponses sont proposées et une seule de ces quatre réponses est juste.

Un candidat répond au hasard aux 8 questions de ce QCM.

On appelle 𝑁 le nombre de réponses justes qu’il obtient.

1. Montrer que la loi de probabilité de N est une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

La situation décrite est une épreuve de Bernoulli dont le succès est avoir une bonne réponse.

Chaque question est indépendante et on répond au hasard de manière identique pour les 8 questions. Il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli. La loi est donc une loi Binomiale de paramètres 8 et 0,25 qui correspond à la probabilité de répondre correctement à une question.

2. Donner la loi de probabilité de N. (valeurs arrondies à 10⁻⁶ près)

3. Représenter cette loi de probabilité par un diagramme en bâtons. A faire 4. Calculer l’espérance mathématique de N.

𝑬(𝑿) = 𝟐

5. Comment doit-on noter ce QCM pour qu’un candidat qui répond au hasard ait en moyenne 0 ? 𝑆𝑖 𝐸(𝑋) = 2 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑖𝑙 𝑎 𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑑𝑢 𝑓𝑎𝑢𝑥 à 6 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠.

𝑿 = 𝒙_𝒊 0 1 2 3 4 5 6 7 8

𝒑(𝑿 = 𝒙_𝒊) 𝟎, 𝟏𝟎 𝟎𝟏𝟏 𝟑 𝟎, 𝟐𝟔 𝟔𝟗𝟔 𝟖 𝟎, 𝟑𝟏 𝟏𝟒𝟔 𝟐 𝟎, 𝟐𝟎 𝟕𝟔𝟒 𝟐 𝟎, 𝟎𝟖 𝟔𝟓𝟏 𝟕 𝟎, 𝟎𝟐 𝟑𝟎𝟕 𝟏 𝟎, 𝟎𝟎 𝟑𝟖𝟒 𝟓 𝟎, 𝟎𝟎 𝟎𝟑𝟔 𝟔 𝟎, 𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟏 𝟓

2 6 × 𝑛 = 2 → 𝑛 =1

3 → 𝑛 ≈ 0,5 En enlevant 0,5 par mauvaise réponse les candidats auront en moyenne 0.

Ou 3 pts par bonne réponse et -1 par mauvaise.

Exercice 3 :

On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

L’urne 𝑈₁ contient trois boules rouges et une boule noire.

L’urne 𝑈₂ contient trois boules rouges et deux boules noires.

Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule de l’urne 𝑈₁, sinon il tire une boule de l’urne 𝑈₂.

On considère les évènements suivants :

A : « obtenir 1 en lançant le dé » et B : « obtenir une boule noire ».

1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.

b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est ³ 8.

𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑝(𝐴 ̅ ∩ 𝐵) 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝(𝐵) =1

6×1 4+5

6×2 5= 1

24+1 3= 9

24=3 8

c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé.

𝑝_𝐵(𝐴) =𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑝(𝐵) =

1 24

3 8

= 1 24×8

3= 1 9

3

2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.

b. On a deux issues possibles : boules noires ou rouges, nous sommes dans une épreuve de Bernoulli.

Nous répétons les parties de manières identiques et indépendantes. Nous avons alors un schéma de Bernoulli. C’est donc une loi binomiale de paramètres : B (10 ; ³

8) 𝑝(𝑋 = 3) = (10

3) × (3 8)

3

× (1 −3 8)

7

≈ 0,236

c. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

𝑝(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑝(𝑋 = 0) = 1 − (10 0) × (3

8)

0

× (5 8)

10

≈ 0,991

d. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.

𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 = 10 ×3 8=15

4 = 3,75 d. On donne le tableau suivant :

𝑘 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝑃(𝑋 < 𝑘) 0,009 1 0,063 7 0,211 0 0,446 7 0,694 3 0,872 5 0,961 6 0,992 2 0,999 0 0,999 9 Soit N un entier naturel compris entre 1 et 10.

On considère l’évènement : G : « la personne gagne au moins N parties ».

Pour quelles valeurs de N la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à ¹ 10 ? 𝑝(𝐺) ≤ 1

10 → 𝑝(𝑋 ≥ 𝑁) ≤ 1

10 → 1 − 𝑝(𝑋 < 𝑁) ≤ 1 10

−𝑝(𝑋 < 𝑁) ≤ − 9

10 → 𝒑(𝑿 < 𝑵) ≥ 𝟎, 𝟗 𝟕 ≤ 𝑵 ≤ 𝟏𝟎