DEUX EXERCICES SUR LES PROBABILITES CONDITIONNELLES.
I. La végétation d’un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes : 40 % de type A, 41% de type B et 19% de type C. On admet qu’au début de chaque année :
chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.
chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.
chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.
La probabilité qu’une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu’elle le soit par une plante de type B est 0,3.
La probabilité qu’une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu’elle le soit par une plante de type A est 0,3.
Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type.
Pour tout entier naturel n non nul, on note :
- A
nl’événement « la plante choisie la n-ième année est de type A », - B
nl’événement « la plante choisie la n-ième année est de type B », - C
nl’événement « la plante choisie la n-ième année est de type C ».
On désigne par p
n, q
net r
nles probabilités respectives des événements A
n, B
net C
n. Compte tenu de la composition initiale de la végétation (année 0), on pose p
0= 0,4, q
0= 0,41 et r
0= 0,19.
1.
a. Montrer que p
1= 0,63 puis calculer q
1et r
1.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul :
11
0,6 0, 3 0, 3 0,6
n n n
n n n
p p q
q p q
.
2. On définit les suites (S
n) et (D
n) sur par : S
n= p
n+ q
net D
n= p
n q
n.
a. Montrer que (S
n) est une suite géométrique dont on précisera la raison. On admet que (D
n) est une suite géométrique de raison 0,3.
b. Exprimer p
n, q
net r
nen fonction de n.
c. Déterminer les limites des suites (p
n), (q
n) et (r
n). Interpréter le résultat.
II. A partir de 2005, une association d’aide à la recherche médicale envoie chaque année à Monsieur X un courrier pour l’inviter à aider financièrement par un don. Monsieur X a répondu favorablement en 2005 en envoyant un don. On admet que, chaque année à partir de 2006, la probabilité pour que Monsieur X fasse un don est égale à 0,9 s’il a fait un don l’année précédente et à 0,4 s’il n’a rien donné l’année précédente.
Dans tout l’exercice, si E est un événement, on note P(E) la probabilité de E, E l’événement contraire de E.
On note P
F(E) la probabilité de E sachant F.
On note pour entier n, E
nl’événement : « Monsieur X est donateur en 2006 + n ».
1.
a. Préciser la valeur de P(E
0).
b. Calculer P(E
1E
0) et P(E
1 E
). (On peut s’aider d’un arbre).
c. En déduire la valeur de P(E
1).
2.
a. Donner pour n 0, les valeurs de P
En(E
n+1) et P
En(E
n+1).
b. Exprimer P(E
n+1E
n) et P(E
n+1 E
n) en fonction de P(E
n).
c. En déduire que pour tout n de , P(E
n+1) = 0,5P(E
n) + 0,4.
d. Quelle est la probabilité que Monsieur X fasse un don en 2009 ?
3. On pose à présent pour tout n de , p
n= P(E
n) (On a donc p
n+1= 0,5p
n+ 0,4) et u
n= p
n 0,8.
a. Montrer que la suite u est géométrique. Préciser sa raison et son 1
erterme.
b. Exprimer u
npuis p
nen fonction de n.
c. Détermine lim
n
