PROBABILITES CONDITIONNELLES EXERCICES
Exercice 1.
Une entreprise familiale fabrique de la confiture de fraises biologiques. Elle achète ses fruits auprès de deux fournisseurs locaux A et B.
➢ 25% des fruits proviennent du fournisseur A et les autres de fournisseur B.
➢ 95% des fruits provenant du fournisseur A sont retenus pour la fabrication de la confiture.
➢ 80% des fruits provenant du fournisseur B sont retenus pour la fabrication de la confiture.
On choisit un pot de confiture au hasard dans la production. On note A, B et C les évènements suivants :
➢ A : « les fruits utilisés proviennent du fournisseur A »
➢ B : « les fruits utilisés proviennent du fournisseur B »
➢ C : « les fruits sont retenus pour la fabrication de la confiture » Dans la suite, les résultats seront arrondis au centième.
1. Construire un arbre de probabilité décrivant la situation.
2.
a. Définir par une phrase l’évènement A C. b. Calculer P(A C).
c. Les évènements A et C sont-ils incompatibles ? Interpréter la réponse dans le contexte de l’exercice.
3.
a. Montrer que la probabilité P(C), arrondie au centième, est égale à 0,84.
b. Les évènements A et C sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
4. Calculer PC(A). Interpréter la réponse dans le contexte de l’exercice.
Exercice 2.
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs. On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note :
• S l’événement « le voyageur fait sonner le portique »;
• M l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».
On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98.
Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
a. À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S)et P
M(S).
b. Traduire la situation par un arbre pondéré.
c. Montrer que : P(S) 0,02192.
d. En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique.
(On arrondira le résultat à 10 3).
Exercice 3.
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.
L’enquête révèle que 70% des élèves sont sensibles au développement durable, et parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80% pratiquent le tri sélectif.
Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10% qui pratiquent le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
➢ S : « L’élève interrogé est sensible au développement durable »
➢ T : « L’élève interrogé pratique le tri sélectif Les résultats seront arrondis à 10 2.
1. Construire un arbre pondéré d’écrivant la situation.
2. Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
3. Montrer que la probabilité P(T) de l’évènement T est 0,59.
4. Calculer PT(S). Interpréter ce résultat.
5. On interroge un élève qui ne pratique le tri sélectif. Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10% ?
6. On interroge successivement et de façon indépendante trois élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement.
a. Calculer la probabilité qu’aucun des trois élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
b. Calculer la probabilité qu’au plus deux des trois élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.
c. Calculer la probabilité qu’au moins deux des trois élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.
Exercice 4. On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 :
➢ 49% des inscrits ont passé un bac général, 20% un bac technologique et les autres ont passé un bac professionnel.
➢ 91,5% des candidats au baccalauréat général ont été reçu ainsi que 90,6% des candidats au baccalauréat technologique.
On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considère les évènements suivants :
➢ G : « le candidat s’est présenté au baccalauréat général »
➢ T : « le candidat s’est présenté au baccalauréat technologique »
➢ S : « le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel »
➢ R : « le candidat a été reçu »
1. Préciser les probabilités P(G), P(T), PT(R) et PG(R).
2. Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite.
3. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l’ait obtenu est égale à 0,1812.
4. Le ministère de l’éducation nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8%
pour l’ensemble des candidats présentant l’un des baccalauréats.
a. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l’ait obtenu est égale à 0,248 45.
b. Sachant que le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu’il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième.
Exercice 5. Une entreprise dispose d’un stock de guirlandes électriques. On sait que 40% des guirlandes proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B. Chaque fournisseur produit des guirlandes vertes et des guirlandes rouges.
Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A sont vertes.
Lors du contrôle du stock de l entreprise, on constate que 78,6% de l ensemble des guirlandes sont rouges.
On choisit au hasard une guirlande et on définit les événements : A : "la guirlande provient du fournisseur A"
V : "la guirlande est verte"
1. Représenter la situation par deux arbres pondérés incomplets.
2. Déterminer P(A V).
3. On choisit une guirlande provenant du fournisseur B. Déterminer la probabilité qu elle soit verte.
Exercice 6.
A. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs afin de crever un ballon. A chaque tir, la probabilité qu’il atteigne le ballon est 0,2. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les tirs sont indépendants.
1. Quelle est la probabilité qu’au bout de 2 tirs, le ballon soit intact ? 2. Quelle est la probabilité que 2 tirs suffisent pour crever le ballon ? 3. Quelle est la probabilité pn que n tirs suffisent pour crever le ballon ? 4. A la calculatrice, déterminer pour quelles valeurs de n on a pn 0,99.
B. Ce tireur participe alors au jeu suivant : dans un 1er temps, il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4. On note k le n° de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k essais pour crever le ballon.
Montrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité que le tireur crève le ballon est 0,4096.
