PROBABILITES CONDITIONNELLES.
EXERCICES.
Exercice 1.
Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties. La probabilité que le joueur perde la première partie est 0,2. Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :
* s’il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;
* s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.
Les questions A et B sont indépendantes.
A. On appelle :
E1 l’événement « le joueur perd la première partie » ; E2 l’événement « le joueur perd la deuxième partie » ;
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des deux premières parties. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
1. Déterminer PE1(E2).
2. Déterminer P(E2).
3. Sachant que le joueur a gagné la 2ème partie, quelle est la probabilité qu’il ait perdu la 1ère ? 4. Déterminer la loi de probabilité de X.
5. Calculer l’espérance de X. Interpréter par une phrase.
B. Pour tout entier naturel n non nul, on note En l’événement « le joueur perd la n-ième partie »,
En l’événement contraire, et on note pn la probabilité de l’événement En.
1. Justifier que pn+1 = 0,05pn + 0,05 pour tout entier naturel n non nul. On pourra faire un arbre.
2. On considère la suite u définie pour tout entier naturel n non nul par : un = pn 1 19. a. Montrer que u est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. En déduire un puis pn en fonction de n.
c. Calculer la limite de pn quand n tend vers . Interpréter.
Exercice 2.
A. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs afin de crever un ballon. A chaque tir, la probabilité qu’il atteigne le ballon est 0,2. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les tirs sont indépendants.
1. Quelle est la probabilité qu’au bout de 2 tirs, le ballon soit intact ? 2. Quelle est la probabilité que 2 tirs suffisent pour crever le ballon ? 3. Quelle est la probabilité pn que n tirs suffisent pour crever le ballon ? 4. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn >0,99 ?
B. Ce tireur participe alors au jeu suivant : dans un 1er temps, il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4. On note k le n° de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k essais pour crever le ballon.
Montrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité que le tireur crève le ballon est 0,4096.
Exercice 3.
