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PROBABILITES CONDITIONNELLES – LOI BINOMIALE EXERCICES SUPPLEMENTAIRES (1).
EXERCICE 1 :
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure.
1. 𝛀 = {𝟏 ; 𝟐 ; 𝟑 ; 𝟒 ; 𝟓 𝟔}
2. Ecrire sous forme de partie de Ω les évènements : A : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 » 𝑨 = {𝟏 ; 𝟐}
B : « Obtenir un nombre impair » 𝑩 = {𝟏 ; 𝟑 ; 𝟓}
C : « Obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » 𝑪 = {𝟓 ; 𝟔}
3. Ecrire sous forme de partie de Ω les évènements :
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟏 ; 𝟐 ; 𝟑 ; 𝟓} ; 𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟏} ; 𝑨 ∪ 𝑪 = {𝟏 ; 𝟐 ; 𝟓 ; 𝟔} ; 𝑨 ∩ 𝑪 = ∅ ; 𝑩 ∪ 𝑪 = {𝟏 ; 𝟑 ; 𝟓 ; 𝟔} ; 𝑩 ∩ 𝑪 = {𝟓} ; 𝑨̅ = {𝟑 ; 𝟒 ; 𝟓 ; 𝟔} ; 𝑨 ̅ ∪ 𝑪 = {𝟑 ; 𝟒 ; 𝟓 ; 𝟔} ; 𝑨̅ ∩ 𝑪 = {𝟓 ; 𝟔} .
Donner pour chacun d’eux une phrase qui le caractérise.
4. Parmi les évènements utilisés précédemment, citer deux évènements incompatibles qui ne sont pas contraires l’un de l’autre. 𝑨 et 𝑪 sont incompatibles.
EXERCICE 2 :
1. 𝑝(𝐴) = 𝟏
𝟑𝟐 2. 𝑝(𝐵) = 4 32=𝟏
𝟖 3. 𝑝(𝐶) =16 32=𝟏
𝟐 4. 𝑝(𝐷) = 𝑝(𝐵) + 𝑝(𝐶) − 𝑝(𝐵 ∩ 𝐶) = 4
32+16 32− 2
32=18 32= 𝟗
𝟏𝟔
EXERCICE 3 :
1. 𝑝(𝐴) = 8
8 + 6 + 4 + 2= 8 20=𝟐
𝟓 2. 𝑝(𝐵) = 𝑝(𝑅) + 𝑝(𝑉) = 6 20+ 4
20=10 20=𝟏
𝟐 3. 𝑝(𝐶) = 𝟏
EXERCICE 4 :
1. 𝑝(𝐴) = 3 15=𝟏
𝟓 ; 𝑝(𝐵) = 1 −1 5=𝟒
𝟓 ; 𝑝(𝐶) = 5 15=𝟏
𝟑 𝑝(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝟏
𝟏𝟓 ; 𝑝(𝐴 ∪ 𝐶) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐶) − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝟕 𝟏𝟓 2.
𝟑. 𝑬(𝑿) = 10 × 4
15+ 30 × 2
15+ 100 × 2 15=8
3+ 4 +40 3 = 20 En moyenne, un joueur peut espérer gagner 20 euros.
Il faut donc miser 20 euros pour que le jeu soit équitable.
𝑿 = 𝒙𝒊 0 10 30 100
𝒑(𝑿 = 𝒙𝒊) 𝟕 𝟏𝟓
𝟒 𝟏𝟓
𝟐 𝟏𝟓
𝟐 𝟏𝟓
2 EXERCICE 5 :
On jette simultanément deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir un double 6 ? 𝒑𝟏 = 𝟏 𝟑𝟔
2. Quelle est la probabilité d’obtenir deux numéros dont la somme est 4 ? 𝒑𝟐 = 𝟑 𝟑𝟔
=
𝟏𝟏𝟐 3. On appelle S la somme des deux numéros obtenus.
Donner la loi de probabilité de S. Calculer l’espérance mathématique de S.
𝐸(𝑋) =252 36 =20
3 ≈ 6,67 4. En utilisant une calculatrice, déterminer l’écart-type de S. 𝜎(𝑋) ≈ 2,41
𝑿 = 𝒙𝒊 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝒑(𝑿 = 𝒙𝒊) 𝟏 𝟑𝟔
𝟐 𝟑𝟔
𝟑 𝟑𝟔
𝟒 𝟑𝟔
𝟓 𝟑𝟔
𝟔 𝟑𝟔
𝟓 𝟑𝟔
𝟒 𝟑𝟔
𝟑 𝟑𝟔
𝟐 𝟑𝟔
𝟏 𝟑𝟔
