PROBABILITÉ
Conditionnelles et indépendance
II. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
Prolongement de l'exercice 2 de feuille:Sachant qu'une personne est intéressée par internet, quelle est la probabilité qu'elle est moins de 25 ans ? On appelle probabilité de B sachant A cette probabilité (conditionnelle) et on la note pA(B). pA(B) = 840/1200 = 0,7
Calculer pA∧B
pA et que peut-on écrire ? 0,28/0,4 = 0,7 car 840/1200 = 840 3000 1200 3000 Définition :
A et B étant deux événements , A étant de probabilité non nulle.
On appelle probabilité de l’événement B sachant que A est réalisé, notée
pA(B) estle réel
pA∧BpA .
Cette probabilité est appelée probabilité conditionnelle.
Représentation à l'aide d'un arbre :
Remarque :
Si A et B sont tous deux de probabilité non nulle, alors on a : p(A ∩ B) = pA(B) x p(A) = pB(A) x p(B)
ex
III. INDÉPENDANCE
1. Événements indépendants Définition :
A et B sont 2 événements de probabilité non nulle.
A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre.
A et B sont indépendants si et seulement si . Propriété:
Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si
p(A ∩ B)= p(A) x p(B) :
remarque: Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si
pA(B) = p (B) ou pB(A) = p(A)1
A
A
B
B
B
B
P( A ) = 0,4
PA( B ) = 0,7
0,6
53/60 7/60 0,3
Remarque :
Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles.
2 événements A et B sont indépendants si p(A ∩ B)= p(A)p(B)
2 événements A et B sont incompatibles si A ∩ B= ∅.
La notion d’indépendance dépend de la probabilité sur l’univers, celle d’incompatibilité est purement ensembliste.
2. Formule des probabilités totales
B = B∩ ( B ∪ A ) = (B ∩ A ) ∪ (B ∩ A ) et les évènements (B ∩ A ) et (B ∩ A ) sont incompatibles donc P(B ) = P ( (B ∩ A ) ∪ (B ∩ A )) = P ( B ∩ A ) + P (B ∩ A ) = P (A ) × pA(B) + p(B) × p
A (B) Cas général :
Définition :
Soient Ω un univers associé à une expérience aléatoire et n un entier supérieur ou égal à 2.
Les événements A
1, A
2, …, A
nforment une partition de Ω si les trois conditions suivantes sont réalisées :
- pour tout i ∈ {1 ; 2 ;… ; n}, A
i≠
∅.
- pour tous i et j (avec i ≠ j) de {1 ;2 ;…n}, A
i∩ A
j≠ ∅.
- A
1∪ A
2∪ … ∪ A
n= E.
Formule des probabilités totales
Soient A
1, A
2, …, A
nune partition de l’univers Ω constituée d’événements de probabilités non nulles et B un événement quelconque contenu dans Ω.
Alors : p(B) = p(B ∩ A
1) + p(B ∩ A
2) + … + p(B ∩ A
n)
Ou p(B) = p
A1( B )
×p ( A
1)
+p
A2( B )
×p ( A
2)
+ +p
An( B )
×p ( A
n)
.Dans notre exemple : P(B) = 0,4 × 0,7 + 0,6 ×
7
60
= 0,28 +0,07 = 0,353. Application aux épreuves indépendantes
Lors de la répétition d’expériences aléatoires indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est égale au produit des probabilités de chacun de ces résultats.
Exemple : On lance une pièce 3 fois, on note le côté trouvé à chaque fois : Pile ou Face.
1 2
×
12 × 1 2 =
1 8
2
Événement noté PPP, p(PPP) = 1/8
P
P
P
P P
P P F
F F
F
F
F
F
