Correction des exercices de bac (probabilités conditionnelles)
I Inversion d’un arbre de probabilités ,
Une société effectue auprès de 10 000 personnes une étude de marché concernant un nouveau produit. Dans cet échantillon, 40 % sont des jeunes (moins de 20 ans) et 20
% de ceux-ci se déclarent intéressés par le produit.
En revanche, 10 % seulement des personnes de plus de 20 ans se déclarent intéressés par ce produit.
On choisit au hasard une personne dans l’échantillon.
On note :
— J l’événement « La personne est jeune. »
— I l’événement « La personne est intéressée ».
1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilité ci- dessous.
b b
J 0, 4
b I
0, 2
b I
0, 8
b
0, 6 J
b I
0, 1
b I
0, 9 2. (a) On a :
• p(I∩J)=pJ(I)×p(J)=0, 2×0, 4=0, 08
• De même :p(I∩J)=0, 1×0, 6=0, 06
• p(I∩J)=0, 8×0, 4=0, 32
• p(I∩J)=0, 9×0, 6=0, 54 (b) Calculonsp(I).
I =(I∩J)∪
³ I∩J´
, réunion d’événements in- compatibles.
Donc :p(I)=p(I∩J)+p³ I∩J´
=pJ(I)×p(J)+ pJ(I)×p³
J´
=0, 08+0, 06=0, 14 3. (a) pI(J)=p(I∩J)
p(I) =0, 08 0, 14= 8
14=4 7
(b) Reproduire l’arbre de probabilités ci-dessous.
b b
I 0, 14
b J
4/7
b J
3/7
b
0, 86 I
b J
3/43
b J
40/43
II
Une usine fabrique des microprocesseurs pouvant pré- senter deux défauts A et B. Elle a réalisé une étude statis- tique donnant lesz résultats suivants :
• 9 % des microprocesseurs présentent le défaut A.
• 6 % des microprocesseurs présentent le défaut B.
• 3 % des microprocesseurs présentent les deux défauts.
1. Les événements A : « Le microprocesseur présente le défaut A » et B : « Le ,microprocesseur présente le défaut B » sont-ils indépendants ?
2. Quelle est la probabilité que le microprocesseur ne présente que le défaut A ?
3. Quelle est la probabilité que le microprocesseur ne présente aucun défaut ?
III
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs succes- sifs pour atteindre plusieurs cibles.
• La probabilité que la première cible soit atteinte est1 2.
• Lorsque une cible est atteinte, la probabilité que la sui- vante le soit est3
4.
• Lorsque une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est1
2.
On note, pour tout entier naturelnnon nul :
• Anl’événement « Lan-ième cible est atteinte ».
• anla probabilité deAn
• bnla probabilité deAn
1. (a) Donner les valeurs dea1etb1.
(b) Calculer les valeurs dea2etb2. (on pourra uti- liser un arbre)
2. (a) Montrer que pour toutn∈N∗, an+1=3
4an+1 2bn, puis que
an+1=1 4an+1
2. (b) En déduire que,pour toutn∈N∗,
an=2 3−1
6 µ1
4
¶n−1
. (c) Déterminer la limite dean.
(d) Déterminer (à la calculatrice) le plus petit en- tierntel queanÊ0,666 5.
