TPN°2 BTS G2O PROBABILITES 2009-2010 Exercice 1 Un moteur é1ectrique possédant trois borneB1, B2 et B3 doit être alimenté en électricité par
trois fils F1, F2 et F3, chaque fil étant relié à une seule borne identifiée.
Lorsque les trois fils sont convenablement branchés (F1avec B1, F2 avec B2et F3 avecB3),
le moteur tourne à 1000 tours par minute. Lorsqu'un seul des trois fils est branché à la bonne borne (les deux autres fils étant inversés), le moteur tourne à 500 tours par minute.
Lorsque aucun des fils n'est branché à la bonne borne, le moteur ne tourne pas.
On a perdu le schéma de montage et les fils sont indiscernables.
1. Déterminer la liste des montages différents possibles et en déduire leur nombre total (exemple F1avec B2, F2 avec B1, F3 avec B3 est l'un des montages possibles).
2. Calculer la probabilité que les trois fils soient convenablement branchés.
3. Calculer la probabilité qu'un seul des trois fils soit branché à la bonne borne (les deux autres fils étant inversés).
4. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque montage, associe la vitesse de rotation du moteur.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Exercice 2 Un dé cubique est truqué. Une partie consiste à lancer le dé et à noter le numéro de la face supérieure.
Soit X la variable aléatoire égale à ce numéro.
Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : La règle du jeu est la suivante: un joueur mise 10 €.
Il reçoit :
w20 euros si le numéro obtenu est 1 ou 6 ; w10 euros si le numéro obtenu est 3 ou 4 ; w 0 euro si le numéro obtenu est 2 ou 5.
Le gain d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il mise (le gain peut donc être soit positif, soit négatif). Soit Y la variable aléatoire égale au gain du joueur au cours d'une partie.
1. Quelles sont les valeurs prises par Y?
2. Déterminer la loi de probabilité de Y.
3. Calculer l'espérance mathématique de Y ?
4. On rappelle qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain est nulle.
Pour le jeu décrit ci-dessus, on se propose de modifier la mise. La nouvelle mise est notre m et exprimée en euros.
Quelle valeur faut-il donner à m pour rendre le jeu équitable ?
Exercice 3 Une boîte contient 10 boules. Sur chacune d'elles on a inscrit un nombre suivant le tableau ci-dessous Un joueur mise10 euros, tire une boule au hasard, et reçoit la somme (en euros) inscrite sur la boule.
Nombre inscrit 5 6 10 11 12 13 14
Nombre de boules 1 2 1 3 1 1 1
1. Le joueur joue une fois . On appelle p1 la probabilité qu’il perde de l’argent (c’est-à-dire
qu’il reçoit moins de 10 euros à l’issue du tirage ) et p2la probabilité qu’il reçoive plus de 10 euros . déterminer p1et p2.
2. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le « gain » du joueur.(une perte est un« gain » négatif). Par exemple: si un joueur tire le nombre 12, son « gain » est +2; s'il tire le 6, son « gain » est 4.
a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ? b) Présenter la loi de probabilité de X dans un tableau.
c) Calculer son espérance mathématique E(X) .Que représente E(X) pour le joueur ? d) Calculer la variance et l'écart- type de X
3. Il s'agit maintenant, en changeant le nombre inscrit sur une boule, de rendre ce jeu équitable (c'est-à-dire que l'espérance mathématique de la variable aléatoire associée doit être nulle). Proposer une solution.
Exercice 4
Une usine fabrique des moteurs électriques. Ces moteurs peuvent présenter deux types de défauts : w défaut M de nature mécanique
w défaut E de nature électrique Un moteur est déclaré en parfait état de marche s'il ne présente aucun des deux défauts.
1. On prélève un lot de 200 moteurs sur la production et on constate que : wle défaut M est observé sur 16 moteurs ;
wle défaut E est observé sur 12 moteurs ;
w180 moteurs sont déclarés en parfait état de marche. Recopier et compléter le tableau ci-dessus.
On admet que la répartition des deux types de défauts, observée dans le tableau, reflète celle de l'ensemble de la production.
i 1 2 3 4 5 6
( )
p X i 1 32
5 32
10 32
10 32
5 32
1 32
Avec le défaut E Sans le défaut E Total
Avec le défaut M 16
Sans le défaut M
Total 200
2. Le coût de fabrication d'un moteur est 600 .La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant selon les tarifs suivants :
w 100 €pour réparer le seul défaut M ; w 130 € pour réparer le seul défaut E;
w 210 € pour réparer les deux défauts M et E.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque moteur choisi au hasard dans la production, associe son prix de revient, c'est-à-dire son coût de production augmenté éventuellement des frais de réparation.
a) Justifier que X prend les valeurs suivantes : 600, 700, 730, 810.
b) Montrer que la probabilité que X prenne la valeur 600 est 0,9.
c) Déterminer la loi de probabilité de X. On pourra présenter les résultats dans un tableau.
d) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) pour l'usine ?
e) On admet que tous les moteurs produits sont vendus. L'usine veut réaliser un bénéfice moyen de 85 € par moteur.
Quel sera le prix de vente d'un moteur?
Exercice 5
Une boîte contient 150 boutons de 12 types différents, destinés à la confection de vêtements.
Le tableau suivant donne leur répartition en fonction de leur nombre de trous et de leur diamètre en mm.
1° ) On tire au hasard un bouton de la boîte et on admet que ce tirage est effectué en situation d'équiprobabilité.
Calculer la probabilité d'obtenir a) Un bouton à 2 trous
b) Un bouton de 14mm de diamètre
c) Un bouton à 3 trous de 10mm de diamètre d) Un bouton de diamètre inférieur à 12mm.
2°) On appelle X la variable aléatoire qui à chaque bouton tiré associe son diamètre en mm.
a) Calculer la probabilité de l'évènement ( X = 6 )
b) Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
c) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.
d) Calculer à 10-2 près l'écart type de la variable aléatoire X.
Exercice 6
Un test d'aptitude consiste à poser à chaque candidat une série de quatre questions indépendantes.
Pour chacune d'elles, deux réponses sont proposées dont une et une seule est correcte.
Un candidat répond chaque fois au hasard (on suppose donc l'équiprobabilité des réponses).
1°/ On note V une réponse correcte et F une réponse incorrecte, exemple : VFFV signifie que la première et la quatrième réponses sont correctes et la deuxième et la troisième sont incorrectes.
Etablir la liste des seize résultats possibles (que l'on pourra présenter à l'aide d'un arbre).
2°/ Quelle est la probabilité pour que le candidat donne la bonne réponse :
a) à la première question posée? b) à une seule des quatre questions posées ? c) aux quatre questions posées ?
3°/ Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes données par le candidat.
a) Donner les différentes valeurs prises par X. b) Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer l'espérance mathématique de X.
4°/ Un candidat sera reconnu apte s'il donne au moins trois réponses correctes.
Quelle est la probabilité qu'un candidat répondant au hasard soit reconnu apte ?
Exercice 7 Une partie consiste à lancer trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. Un résultat possible est un triplet, par exemple: (pile, face, pile) que l'on peut noter (P, F, P) ou encore PFP.
1. à l'aide d'un arbre que l’on fera figurer sur la copie, déterminer toutes les éventualités.
2. Un joueur fait une partie , il gagne 3 euros pour une face et pour chaque « pile » , il perd 1 euro.
On désigne par X la variable aléatoire qui , à chaque triplet , associe la somme gagnée ou perdue.
Par exemple, le résultat PFP lui fait gagner 1 euro (1+3 1 = 1).
Etablir la loi de probabilité de X.
3. Calculer l’espérance mathématique E( X), la variance V( X ) et l'écart- type ( )X 4. Calculer la probabilité, noté p X( 1)d’obtenir un résultat inférieur ou égal à 1.
Tracer la courbe représentant la fonction de répartition de X .
Diamètre en mm
Nombre de trous 6 10 14 18
2 21 24 18 0
3 12 15 12 3
4 0 9 27 9
Ex 8
Une roue de loterie est partagée en secteurs identiques verts, blancs ou rouges. Après avoir misé 10 €, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe. Chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant ce repère.
*Si le secteur repéré est vert, le joueur reçoit 40 €, son gain est donc + 30.
*Si le lecteur repéré est blanc, le joueur récupère sa mise, son gain est donc nul.
*Si le secteur repéré est rouge, le joueur perd sa mise, son gain est donc 10
1. Dans cette question, la roue se compose de quinze secteurs : deux verts, cinq blancs, huit rouges.
Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique E(X ).
2. La roue se compose maintenant de deux secteurs verts, cinq blancs et n rouge(s) (n entier naturel non nul).
Soit X n la variable aléatoire égale au gain du joueur.
a) Déterminer la loi de probabilité de Xn
b) On considère que l'organisateur de la loterie rentre dans ses frais si E (Xn)
2 ,déterminer le nombre minimum de cases rouges qu'il doit prévoir pour ne pas être déficitaire.
EXERCICE 9
Une roue de loterie munie d'un index fixe est divisée en secteurs de mêmes dimensions et de différentes
couleurs. Le jeu consiste à miser 20 € , à faire tourner la roue et à noter la couleur du secteur désigné par l'index à l'arrêt de la roue. On admet que chaque secteur a la même probabilité d'apparaître. La roue comporte :
* n secteurs rouges qui font perdre la mise (gain du joueur: 20 € )
*6 bleus où l'on reçoit 20 € (gain du joueur: nul)
* 3 verts où l'on reçoit 80 €
* 1 jaune où l'on reçoit 120 € .
Soit X la variable aléatoire qui représente le gain du joueur . 1) Dans cette question, la roue comporte 14 secteurs rouges (n = 14).
a) Déterminer la loi de probabilité de X .
b) Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.
c) Calculer l'écart type de X à un euro près.
2) Dans cette question, la roue comporte n secteurs rouges et son propriétaire désire gagner en moyenne au moins 15% des sommes misées.
a) Montrer que l'espérance mathématique de Xndoit être inférieure ou égale à 3.
b) Montrer que l'espérance mathématique de X est : n
10 280 20
n
n
c) Déterminer le nombre minimum n de secteurs rouges que doit comporter la roue.
Exercice 10
Dans un atelier de réparation un technicien s'occupe des ordinateurs en panne qui lui arrivent.
Les composants à l'origine de la panne peuvent uniquement être:
l'alimentation, la carte graphique ou le processeur.
Une panne simultanée de deux ou trois composants est possible. Le technicien chargé de la détection des pannes établit le diagnostic d'un ordinateur à l'aide d'un triplet utilisant les initiales des composants, surmontées d'une barre en cas de panne. Par exemple: ( ;A CG P; ) signifie que l'alimentation et la carte graphique fonctionnent et que la panne provient du processeur.
1. Établir la liste des sept diagnostics possibles sur un ordinateur en panne.
2. On suppose que les sept diagnostics ont la même probabilité d'être établis.
Quelle est la probabilité pour qu'un seul des composants soit en panne ? 3. le tableau suivant donne le coût des composants à
remplacer :Le coût d'une réparation est celui du
remplacement des pièces auquel il faut ajouter un forfait de main-d'œuvre de 25 € indépendant du nombre de composants à Remplacer.
3.a. Soit X la variable aléatoire qui à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation.
Donner la liste des valeurs possibles de X.
3.b. Donner dans un tableau la loi de probabilité de X.
3.c. Calculer l'espérance mathématique de X. Arrondir le résultat à l'unité.
3.d. Quel devrait être le coût du forfait de la main-d'œuvre, arrondi à l'unité, pour que le prix moyen d'une réparation soit de 200 € ?
Exercice 11
.Pour la fête de l'école, une association propose une loterie selon le principe suivant
composant alimentation carte graphique
processeur
prix en € 80 160 80
- Le joueur mise 10 euros.
- Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arrêtant devant un repère.
Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en euros : 10 ; 0 ; 5 ; 0. Tous les quartiers ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère.
La gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues. Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de 15 €.
1. Étude du gain d'un joueur pour une mise de 10 euros. On nomme G la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.
a) Reproduire et compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléatoire G selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues .
b) Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à sa mise est 50 %.
c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
d) Calculer la probabilité, notée p G
10
, qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise.e) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire G, puis donner son interprétation.
2. Étude du bénéfice de l'association pour une mise de m euros.
On suppose dans cette question que la mise du joueur est m euros.
On note B la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par
l'association, c'est-à-dire la différence entre la mise qu'elle a encaissée et le gain éventuel qu'elle a reversé au joueur.
a) Exprimer en fonction de m l'espérance mathématique de la variable aléatoire B.
b) Déterminer m pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5 €.
Exercice 12
Le Comité des fêtes d'un village organise une loterie à l'aide de deux urnes.
L'urne U1 contient trois boules rouges notées R1, R2, R3 et deux boules jaunes notées J1 et J2.
L'urne U2 contient quatre boules bleues notées B1 , B2 , B3 , B4 et une boule verte V. Pour participer à cette loterie, un joueur doit d'abord miser 3 €. Il tire ensuite au hasard une boule dans U1, puis une boule dans U2. Les boules sont indiscernables au toucher. On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables.
1.À l'aide d'un tableau ou d'un arbre montrer qu'il y a 25 couples de boules possibles.
2.Une boule rouge fait gagner 2 €. Une boule jaune fait gagner 3 €. Une boule bleue fait gagner 1 €.
La boule verte fait gagner 5 €.
À chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire X associe le gain finalement réalisé par le joueur. Ainsi, en
tenant compte de la mise de 3 €, le tirage d'une boule rouge et d'une boule verte occasionne finalement un gain de 4 €.
a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
b. Démontrer que 2
( 5)
p X 25
c. Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
d. Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement 1 € ? 3.a.Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
b. Le Comité s'aperçoit que son jeu est déficitaire. Expliquer quelle est, en nombre entier d'euros, la mise minimale qu'il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité.
Exercice 13
Un jeu de dominos est constitué de 28 dominos distincts. On rappelle qu’un domino est partagé en deux parties, chacune portant un nombre de 0 à 6 représenté par des points. Un double est un domino dont les
0 5
0 10 0
1
0 5 0
Roue1 Roue 2
Roue n° 1
Roue n°2 10 0 5 0
10
0 0 5 0
5 5 5
0 0 5 0
deux parties portent le même nombre. Exemples de dominos :
1°) Ecrire la liste des 28 dominos distincts .
2°) Un joueur tire un domino au hasard dans la boite du jeu.
a. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un double?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino dont la somme des nombres situés sur les deux parties soit divisible par 3 ? (On rappelle que 0 est divisible par tout entier non nul.)
c. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino dont la somme des deux numéros est inférieure ou égale à 6 ? 3° ) Soit X la variable aléatoire qui `a chaque domino tiré associe la différence entre le plus grand
et le plus petit nombre. Par exemple, si le domino tiré porte le nombre 1 et le nombre 4, X prend la valeur 4 1= 3.
a. Déterminer les valeurs prises par X, puis la loi de probabilité de X b. En déduire l’espérance mathématique de X.
4°) Le joueur tire un domino au hasard , note la somme des deux numéros , puis il remet dans la boite ; il répète cette Expérience sept fois de suite .quelle est la probabilité qu’il ait obtenu exactement trois fois un double ?.
Exercice1
1. On peut déterminer la liste des montages différents possibles en choisissant en premier le fil à brancher sur la borne B
l, on a alors trois choix possibles, puis le fil à brancher sur la borne B
2, il reste deux choixpossibles et enfin le fil à brancher sur la borne B3, et il n'y a plus qu'un seul choix.
On peut représenter ces différents montages en faisant l'arbre ci-dessous :
On en déduit la liste des montages différents possibles que l'on peut donner dans le tableau suivant :
Borne 1 F1 F1 F2 F2 F3 F3
Borne 2 F2 F3 F1 F3 F1 F2
Borne 3 F3 F2 F3 F1 F2 F1
Il y a donc 6 montages différents possibles .
2. On suppose que tous les branchements possibles sont équiprobables. Pour tout événement A, on a alors
p A( ) nombre d éléments de A'' nombre d éléments de A' 8nombre d éléments de E
.
On sait qu'il y a un seul branchement convenable.
La probabilité que les trois fils soient convenablement branchés est donc
( ) 1p A 6
.
3. Il y a 3 branchements pour lesquels un seul des trois fils branché à la bonne borne, ce sont les branchements F
lF
3F
2; F
2F
lF
3et F
3F
2F
l.
La probabilité qu'un seul des trois des trois fils branché à la bonne borne est donc
( ) 3p B 6
4. La variable aléatoire X peut prendre les Valeurs 1000, 500 et 0
On sait que le moteur tourne à 1000 tours par minute lorsque les trois fils sont bien branchés On a donc
( 1000) 1p X 6
On sait que le moteur tourne à 500 tours par minute lorsqu'un seul des trois fils branché à la bonne borne.
On a donc
p X( 1000) 36 12Dans les autres cas, c'est-à-dire lorsque aucun des fils n'est bien branchés la variable aléatoire X prend la valeur 0. On a donc
( 0) 1 1 1 16 2 3 p X
La loi de probabilité de X est donc donnée par :
Exercice21. Le gain d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il mise. On sait qu'il mise 10 euros.
s S'il reçoit 20 euros son gain est de 10 euros . s S'il reçoit 10 euros son gain est nul
F1 F3
F2 F1
F3 F2 F3 F1 F2
F3 F3
F1 F2
F1 F2
xi 1000 500 0
( i) p X x 1
6
3 6
2 6
s S'il reçoit 0 euro son gain est de 10 euros . On a donc:
Y 10 ;0 ;10
2. L'événement
Y 10 est l'événement { numéro obtenu est 2 ou 5}.On a donc
2 5 2 2 2 5
5 5 10 5
10 ( ) ( ) ( )
32 32 32 16 p Y p F F p F p F p p
L'événement
Y0 est l’événement « le numéro obtenu est 3 ou 4 ».On a donc
3 4 3 4 3 4
10 10 20 5
0 ( ) ( ) ( )
32 32 32 8 p Y p F F p F p F p p
L'événement Y 10 est l'événement { le numéro obtenues 1 ou 6 }.
On a donc
1 6 1 6 1 61 1 2 1
10 ( ) ( ) ( )
32 32 32 16 p Y p F F p F p F p p
La loi de probabilité de Y est donc donnée par:
3. L'espérance mathématique de Y est :
E Y( ) 10 p Y( 10) 0 p Y( 0) 10 p Y( 10)5 5 1 40 5
( ) 10 0 10 2,5
16 8 16 16 2
E Y
, on a donc
E Y( ) 2,54. La nouvelle mise est notée m est exprimée en euros. On a alors
Y
m;10m;20m . L'espérance mathématique de Y est :
E Y( ) m p Y( 10)
10m
p Y( 0)
20m
p Y( 10)( ) 5
10
5
20
116 8 16
E Y m m m
, on a donc
( ) 5 10(10 ) 2016
m m m
E Y
E Y( )5m100 1016 m20m16m16120
. Le jeu est équitable lorsque
E Y( ) 0équivaut à
16 120 0 16 m
c’est-à-dire 16
m120 0
120 7,5m 16
. Le jeu est équitable lorsque la mise m est de 7, 5 euros .
Exercice 31. Il y a dix boules dans l'urne, donc dix tirages possibles. On suppose que ces dix tirages sont équiprobables.
Pour tout événement A, on a alors '
( ) '
nombre d élément de A p A nombre d élément de E .
Le joueur perd de l'argent lorsqu'il tire une boule portant le numéro 5 ou une boule portant le numéro 6.
Il y a une boule portant le numéro 5 et deux boules portant le numéro 6, donc trois tirages pour lesquels le joueur perd de l’argent. On a donc 1 3
p 10
Le joueur gagne de l'argent lorsqu’il tire une boule portant un des numéros 11, 12, 13 ou 14. Il y a six boules portant un de ces numéros, donc six tirages pour lesquels le joueur perd de l'argent. On a donc 2
6 3 10 5 p 2. X est la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le gain du joueur .
a) Les boules portent les numéros { 5; 6; 10; 11; 12; 13; 14}
Sachant que le joueur mise 10 euros, les valeurs prises par la variable aléatoire X sont les éléments de l'ensemble E
5 ; 4 ;0 ; 1 ; 2 ;3 ;4
b) La loi de probabilité de X est alors donnée dans le tableau suivant :
On a donc: E X( ) 5 p X( 5) 4 p X( 4) 0 p X( 0) 1 p X( 1) 2 p X( 2) 3 p X( 3) 4 p X( 4)
1 2 1 3 1 1 1 5 8 0 3 2 3 4 1
( ) 5 4 0 1 2 3 4 0,1
10 10 10 10 10 10 10 10 10
E X ; E(X) représente l'espérance de gain, c’est-à-dire le gain moyen du joueur sur une partie
Un joueur perd donc en moyenne 0,1euros par partie.
d) La variance de X est donnée par : V X( )
xiE X( )
2 p X( xi)
xi0,1
2 p X( xi)( )
4,9
2 1 ( 4)2 2 (0,1)2 1 (1,1)2 3 (2,1)2 1 (3,1)2 1 (4,1)2 1 8,8910 10 10 10 10 10 10
V X ,
donc on obtient V X( ) 8,89 . L'écart- type est donné par: ( )X V X( ) 8,89 2,98 . 3. En remplaçant le numéro 14 par un numéro 15, on rajoutera 1
10à l'espérance mathématique et celle-ci deviendra alors nulle. Pour que le jeu soit équitable, il suffit, par exemple, de remplacer le numéro 14 par un numéro 15 .
xi
( i) p X x 5
16 5 8
1 16
i -5 -4 0 1 2 3 4
( )
p X i 1 10
2 10
1 10
3 10
1 10
1 10
1 10
Exercice 4 1-
2. a)
Un moteur n’ayant aucun des deux défauts revient à 600 €.
. Un moteur ayant le seul défaut M revient à 600 + 100 = 700 €.
.Un moteur ayant le seul défaut E revient à 600 + 130 = 730 €
.Un moteur ayant les deux défauts M et E revient à 600 + 210=810 € . X prend donc les valeurs 600, 700, 730, 810 . b) Le moteur étant choisi au hasard dans la production. Tous les choix sont équiprobables.
alors pour tout événement, on a: p A( ) nombre d élément de A'' nombre d élément de E
X prend la valeur 600 lorsque le moteur n'a aucun des deux défauts. On sait que sur les 200 moteurs, 180 n'ont aucun des deux défauts. Comme la répartition du tableau reflète celle de l'ensemble de la production, on a ( 600) 180
p X 200. Donc (p X 600) 0,9
c) De même on a : ( 700) 8 0,04
p X 200 ; ( 730) 4 0,02 p X 200 et ( 810) 8 0,04
p X 200
d ) L'espérance mathématique ( ) 0,9E X p X( 600) 0,04 p X( 700) 0,02 p X( 730) 0,04 p X( 810) : ( ) 0,9 600 0,04 700 0,02 730 0,04 810E X , on obtient : E X( ) 615
e) Le prix de revient moyen d'un moteur étant de 615, pour que l'usine réalise un bénéfice moyen de 85 € par moteur, il faut que chaque moteur soit vendu: 615 + 85 = 700. "
Le prix de vente d'un moteur sera de 700 €.
Exercice 5-solution 1.
a) soit A l’événement « obtenir un bouton à 2 trous » , donc 21 24 18 63 21
( ) 0, 42
150 150 50
P A
b) soit B l’événement « obtenir Un bouton de 14mm de diamètre» 18 12 27 57 19
( ) 0,38
150 150 50
P B
c) soit C l’événement « obtenir Un bouton à 3 trous de 10mm de diamètre» 15 1
( ) 0,1
150 10 P C d) soit D l’événement « obtenir Un bouton de diamètre inférieur à 12mm »
21 24 12 15 9 81 27
( ) 0,54
150 150 50
P D
2.
a)
X 6 correspond à l’événement « Un bouton de 6mm de diamètre », donc 33 11
( 6) 0, 22
150 50 P X b) soit X la variable aléatoire qui à chaque bouton tiré associe son diamètre en mm ,donc :X
6 ;10 ;14 ;18
4 1
33 48 57 12 33 48 57 12 150
( ) 1
150 150 150 150 150 150
i
i i
P X x
, donc X définie bien une loi de probabilitéc) 6 33 10 48 14 57 18 12 1692
( ) 11, 26
150 150
E X
d)
36 33 100 48 196 57 324 12
2 21048 1692 2( ) ( ) 140,32 127, 24 13,08
150 150 150
E X E X
d’où
X 13,08 3,6à
102près.
Exercice 6
2) a) A
( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; )V V V V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F
( ) 8 1/ 2 p A 16Avec le défaut
E Sans le défaut
E Total
Avec le défaut M 12 4 = 8 188 180 = 8 16
Sans le défaut M 184 180 = 4 180 20016 =184
Total 12 20012=188 200
xi 600 700 730 810
( i)
p X x 0,9 0,04 0,02 0,04
xi 6 10 14 18
33 11
15050 48 8
15025 57 19
15050 12 2 15025
b)
B
( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; )V F F F F V F F F F V F F F F V
p B( )164 1/ 4C
( ; ; ; )V V V V
( ) 1p C 16
3) a) X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 ou 4.
b)
p X( 0) 1/16puisque
X 0
( ; ; ; )F F F F
p X( 1) 4 /16 1/ 4puisque
B
X 1
p X( 2) 6 /16 3/ 8
puisque
X 2
( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; )V V F F V F F V F V V F F F V V
X 3
( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; );( ; ; ; )V V V F V V F V V F V V F V V V
p X( 3) 4 /16 1/ 4 p X( 4) 1/16
,puisque
X 4
C
( ; ; ; )V V V V
D'où la loi de probabilité
k 0 1 2 3 4
p X k 1/16 1/ 4
3/8 1/4 1/16 c)
( ) 1
4 2 12 4
32 216 16
E X
4) La probabilité qu'un candidat soit reconnu apte est: ( 3) ( 4) 5 p X p X 16
.
Exercice 7
1. On peut représenter l'épreuve qui consiste à lancer trois fois la pièce par l'arbre ci-dessous.
On observe alors qu'il existe 8 éventualités.
L'univers est: E = {PPP; PPF; PFP; PFF; FPP; FPF; FFP; FFF}
2. On calcu1e pour chaque éventualité la somme gagnée ou perdue, on obtient :
s PPP :
s PPF:
s PFP : , sPFF :
s FPP : = 1 s FPF:
s FFP:
s FFF:
La variable aléatoire X prend donc les valeurs { -3 ; 1 ; 5 ; 9 }.
La pièce étant supposée bien équilibrée, on peut supposer que la probabilité est uniforme.
Pour tout événement A, on a donc
( ) ' '' 8
nombre d éléments de A nombre d éléments de A p A nombre d éléments de E
.
V F
V V
V V V V
V V V V V V V V
F
F F
F F
F F F
F
F F F F
P F
P P F
P P P P
F
F F F F
1 . On a
( 3) 1p X 8
;
( 1) 3 p X 8( 5) 3
p X 8
( 9) 1 p X 8
La loi de probabilité de X est donc donnée par :
3. On a:
E X( ) 3 p X( 3) 1 p X( 1) 5 p X( 5) 9 p X( 9)donc
( ) 3 1 1 3 5 3 9 18 8 8 8
E X
et
( ) 3 3 15 9 24 38 8 8 8 8
E X
( )
3 3
2 1
1 3
2 3
5 3
2 3
9 3
2 1 24 38 8 8 8 8
V X
( ) 36 12 12 36 96 12
8 8 8 8 8
V X
, donc
V X( ) 12. On a: ( )
X V X( )
12 2 3
. 4.
p X(
1)
p X( 3) (
X 1) donc
p X(
1)
p X( 3) (
X 1) p X(
3)
p X(
1)
3) (
X 1) p X(
3)
p X(
1)
(les événements (X = -3) et (X = 1) sont incompatibles )
Donc
( 1) 1 3 4 18 8 8 2
p X
, donc
( 1) 1 p X 2. La fonction de répartition F de la
variable aléatoire X est définie par :
( ) ( )
F x p X x
pour tout réel x.
Pour x
; 3 F x( ) 0
spour
x 3;1 . ( ) ( 3) 1
F x p X 8
sPour
x 1;5 ( ) ( 1) 1
F x p X 2
spour
x 5;9 ( ) ( 5) 7
F x p X 8 spour x
9;
F x( ) p X( 9) 1
On peut alors tracer la courbe
Représentant la fonction de répartition de F :
Exercice 8 Solution1. Comme la roue ne peut s'arrêter que lorsque le repère est face à secteur vert, blanc ou rouge, le gain du joueur est soit + 30, soit 0, soit -10 ( X prend donc les valeurs -10, 0 et + 30).
p (X = -10) est la probabilité pour qu'un secteur rouge s'arrête devant le repère. Il y a huit secteurs rouges sur quinze secteurs, et on suppose qu'il y a équiprobabilité des événements élémentaires (puisque chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant le repère). Donc:
15 ) 8 10
(X
p .
De même, il y a cinq secteurs blancs, et p(X 0)est la probabilité pour qu'un secteur blanc s'arrête
xi 3
1 5 9
( i) p X x 1
8 3 8
3 8
1 8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1 -2 -3
-4 0 1
1
x y
devant le repère, d'où
3 1 15 ) 5 0
(X
p .
Enfin , il y a deux secteurs verts, et p(X 30)est la probabilité pour qu'un secteur vert s'arrête devant le repère, d'où
15 ) 2 30
(X
p , on déduit la loi de probabilité de X L’espérance mathématique de X est :
E ( X ) = 3 ( )
1 i
ixip X x
=
15 30 2 3 0 1 15
10 8
=
3 4 15 20 15
60
80
.
2 .a) X n prend les mêmes valeurs qu'au 1., c'est-à-dire + 30, 0 et -10. Le raisonnement est identique à celui du 1., sauf que le nombre total de: secteurs est 2 + 5 + n = n + 7. D'où:
) 7 10
(
n X n
p n , puisqu'il y a n secteurs
rouges.
7 ) 5
0
(
X n
p n , car il y a 5 secteurs blancs.
7 ) 2
30
(
X n
p n car il y a 2 secteurs verts.
On peut résumer la loi de probabilité de Xn: L’espérance mathématique de X est :
3 1
5 2 10 60
( ) ( ) 10 0 30
7 7 7 7
n i n i
i
n n
E X x p X x
n n n n
.L’organisateur de la loterie rentre dans ses frais ssi E X( n) 2 10 60 2 7 n n
10n60 2(n7), car n+7 > 0. 10n602n14 8n 74 soit
74
9, 25
n8
.Donc, le nombre minimum de cases rouges que l'organisateur doit prévoir pour ne pas être déficitaire est n 0 = 10.
Exercice 9 Solution
1. Comme la roue ne peut s'arrêter que lorsque le repère est face à secteur vert, blanc , rouge ,ou jaune le gain du joueur est soit 100, soit 60, soit 0 ou 20 ( X prend donc les valeurs -20, 0 , + 60 et 100).
p (X = -20) est la probabilité pour qu'un secteur rouge s'arrête devant le repère. Il y a quatorze secteurs rouges sur 24 secteurs, et on suppose qu'il y a équiprobabilité des événements élémentaires (puisque chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant le repère). Donc:
12 7 24 ) 14 20
(X
p .
De même, il y a six secteurs bleus, et p(X 0)est la probabilité pour qu'un secteur bleu s'arrête devant le repère, D'où
4 1 24 ) 6 0
(X
p .
il y a trois secteurs verts, et p(X 60)est la probabilité pour qu'un secteur vert s'arrête devant le repère, d'où 8
1 24 ) 3 60
(X
p , Enfin il y a un secteur jaune, et p(X 100) est la probabilité pour qu'un secteur jaune s'arrête devant le repère, d'où
24 ) 1 60
(X
p , on déduit la loi de probabilité de X
L’espérance mathématique de X est : E ( X ) = 4 ( )
1 i
ixip X x
=
24 100 1 8 60 1 4 0 1 12
20 7
E ( X ) = 0
24 0 24
100 180
280
.On déduit que le jeu est équitable 4 2
1
( ) i ( i)
i
V X x p X x
2 14 2 6 2 3 2 1
( ) ( 20) 0 60 (100)
24 24 24 24
V X 1100
24 26400 24
10000 10800
5600 ;
17 , 33 1100 )
(
X
2. a) X n prend les mêmes valeurs qu'au 1., c'est-à-dire + 100, +60 ; 0 et 20. Le raisonnement est identique à celui du 1, sauf que le nombre total de: secteurs est 6 +3 +1+ n = n + 10. D'où :
) 10 20
(
n X n
p n puisqu'il y a n
secteurs
xi -10 0 30 )
(X xi
p
15 8
3 1
15 2
xi -10 0 30
) (X xi
p
7 n
n
7 5
n 7
2
n
xi -20 0 60 100 )
(X xi
p
12 7
4 1
8 1
24 1
rouges
10 ) 6
0
(
X n
p n , car il y a 6 secteurs bleus.
10 ) 3
60
(
X n
p n , car il y a 3 secteurs verts.
10
) 1 100
(
X n
p n , car il y a un secteur jaune. On peut résumer la loi de probabilité de X n
:
xi -20 0 60 100
) (X xi p
10 n
n
10 6
n 10
3
n 10
1
n
L’espérance mathématique de X est : E ( X ) = 4 ( )
1 i
ixip X x
=
10 100 1
10 60 3
10 0 6
20 10
n n n n
n =
E ( X ) =
10 100 180 20
n
n =
10 280 20
n
n .
L’organisateur de la loterie réalise15 % de bénéfices sur chaque mise c’est-à-dire 20 3 100
15 ; donc le joueur perd en moyenne 3 € pour chaque mise d’où E ( X ) 3 ssi E ( Xn ) 3 ssi 3
10 280
20
n
n ;
ssi 20n1803(n10), car n+10 > 0 ; ssi 20n2803n30 . Ssi 17n 310 soit 23
, 17 18 310
n .
Donc, le nombre minimum de cases rouges que l'organisateur doit prévoir pour ne pas être déficitaire est n 0 = 19.
Exercice 10
1-Lorsqu’un ordinateur est en panne , cela peut provenir :
Soit d’un seul composant en panne : il y a dans ce cas trois diagnostics possibles symbolisés par : ( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; )
Soit de deux composants en panne : il y a dans ce cas trois diagnostics possibles symbolisés par :
( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; ) . Soit des trois composants en panne simultanément: c’est le cas ( ;A CG P; ). Donc on a : E =
( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; ) ; ( ;A CG P; )
2- soit B l’événement « un seul composant est en panne » cet événement est formé de trois issues favorables L’univers E est formé de sept issues possibles .Puisqu’on suppose l’équiprobabilité de sept diagnostics On a donc : 3
( ) 7 P B .
3.a) Si seule l’alimentation est en panne, le coût de la réparation est 80 + 25 = 105 €.
Si seule la carte graphique est en panne, le coût de la réparation est 160 + 25 = 185 €.
Si seul le processeur est en panne, le coût de la réparation est 80 + 25 = 105 €.
Si l’alimentation et la carte graphique sont en panne, le coût de la réparation est 80 +160+ 25 = 265 €.
Si l’alimentation et le processeur sont en panne, le coût de la réparation est 80 +80+ 25 = 185 € Si la carte graphique et le processeur sont en panne, le coût de la réparation est 180 +80+ 25 = 265 €.
Si les trois composants sont en panne, le coût de la réparation est : 80+160+80+25 = 345 €.
Donc la liste des valeurs possibles de X est : X
105 ;185 ; 265 ; 345
3.b) Pour 105 €, on a deux cas favorables : ( ;A CG P; ) et ( ;A CG P; ) , donc ( 105) 2 P X 7. Pour 185 €, on a deux cas favorables : ( ;A CG P; ) et ( ;A CG P; ) , donc ( 185) 2
P X 7 Pour 265 €, on a deux cas favorables : ( ;A CG P; ) et ( ;A CG P; ) , donc ( 265) 2
P X 7 Pour 345 €, on a un seul cas favorable :( ;A CG P; ), donc P X( 345)17.
3.c)
4
( ) ( )
1
E X
xiP X xi , donc E X( ) 105 27 185 27 265 27 34517 210 370 530 345 1455( ) 208€
7 7
E X . le coût moyen de réparation est 208 € .
3.d) le prix moyen d’une réparation est de 208 € pour un forfait de 25 €. Si on diminue ce forfait 8 € le prix moyen de réparation va passer à 200 € . En effet : dans ce cas X prend 97 ; 177 ; 257 ; 337
X xi 105 185 265 345
( )
P X xi 2 7
2 7
2 7
1 7
On a alors : ( ) 97 2 177 2 257 2 337 1
7 7 7 7
E X ; ( ) 194 314 514 337 1399 200€
7 7
E X
2 2 2 1
( ) (80 ) 160 240 320
7 7 7 7
E X c c c c .7 ( ) (80E X c) 2
160 c
2
240 c
2
320c
7 200 160 160 480 320 2 c2c2c c ; 1400 7 c1280 soit 7c1400 1280 120 et 120 17€
c 7 .
Exercice 11
1. a) voir tableau ci-dessous
b) tous les quartiers ont la même probabilité de s’arrêter devant le repère, donc tous les gains du tableau sont équiprobables . dans le tableau , apparaissent en gras les gains supérieurs ou égaux à la mise .
Il y a 8cas possibles sur le 16 existants donc
10
10
15
20
5 1 1 8 116 8 16 16 2 p G p G p G p G c) (p G0) 4 /16 1/ 4 ; (p G5) 4 /16 1/ 4 ; (p G10) 5/16 ; (p G15) 2 /16 1/8 ;
(p G20) 1/16
G 0 5 10 15 20
pi 4 16
4 16
5 16
2 1
16 8 1 16
d)
10
15
20
1 1 38 16 16 p G p G p G .
e)
1 1 5 1 1 5 50 15 20 10 25 15 10 60 15( ) 0 5 10 15 20 7,5
4 4 16 8 16 4 16 8 16 8 8 8 8 8 2
E G
L
e gain moyen est donc de 7,5 € <10 donc le jeu n’est pas équitable et le joueur risque de perdre de l’argent ( mais l’association va en gagner .. L'espérance de gain est donc plus petite que la mise.2. 'G m G ; E G
' E m G
m E G
m 7,5 .
1 1 5 1 1
( ') 5 10 15 20 7,5
4 4 16 8 16
E G m m m m m m
b) ( ') 5E G équivaut à m 7,5 5 soit m 12,5 €. Pour que l’espérance de bénéfice de l’association soit d’au moins 5 euros , il faut donc que la mise soit d'au moins 12,5 € ..
Exercice 12
1.voir l’arbre ci-contre
2.a. Soit X la variable aléatoire égale au gain associé à un tirage de deux boules.
Soit la première boule est rouge et la seconde bleue alors X = 0.
rouge + bleu 2+1 = 3 euros donc gains de 0 euros
Soit la première boule est rouge et la seconde verte alors X = 4.
Roue n° 1 Roue n°2
10 0 5 0
10 20 10 15 10
0 10 0 5 0
5 15 5 10 5
10 10 0 5 0
'
G m m5 m10 m15 m20 pi 4
16 4 16
5 16
2 1
16 8 1
16
R1
R 2
R3
J1 J2
B3 B4 V
B3B4 B1
B1
B1
B2 B3 B 2
B 2
B 2
B1 B4 V
V B3 B4
V B1 B2 B3 B4 V
