COURS DE PROBABILITES 1

COURS DE PROBABILITES 1

Licence 2 math´ ematiques Semestre 4

N. CHENAVIER

Table des mati` eres

1 Quelques notions pour les probabilit´ es 5

1.1 Th´ eorie des ensembles, d´ enombrement . . . . 5

1.2 D´ enombrabilit´ e . . . . 7

1.3 S´ eries num´ eriques . . . . 8

2 Ev´ enements 9 2.1 Tribus, ´ ev´ enements, probabilit´ es . . . . 9

2.2 Ev´ enements ind´ ependants . . . . 12

2.3 Probabilit´ es conditionnelles . . . . 13

3 Variables al´ eatoires 15 3.1 Variable al´ eatoire, loi . . . . 15

3.2 Lois usuelles . . . . 17

3.3 Ind´ ependance de variables al´ eatoires . . . . 19

4 Esp´ erance de variables al´ eatoires r´ eelles 21 4.1 Esp´ erance . . . . 21

4.2 Variance et moments d’ordre sup´ erieur . . . . 22

4.3 Fonction g´ en´ eratrice . . . . 24

4.4 In´ egalit´ es classiques . . . . 24

5 Th´ eor` emes limites 27 5.1 Diff´ erents modes de convergence . . . . 27

5.2 Loi faible des grands nombres . . . . 28

5.3 Lemmes de Borel-Cantelli . . . . 28

5.4 Th´ eor` eme central limite . . . . 29

TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 1

Quelques notions pour les probabilit´ es

Sommaire

1.1 Th´ eorie des ensembles, d´ enombrement . . . . 5 1.2 D´ enombrabilit´ e . . . . 7 1.3 S´ eries num´ eriques . . . . 8

1.1 Th´ eorie des ensembles, d´ enombrement

R´ eunion, intersection, produit, compl´ ementaire

D´ efinition 1.1.1. Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E.

• On appelle intersection de A et de B l’ensemble suivant : A ∩ B = {x : x ∈ A et x ∈ B}.

• On appelle r´ eunion de A et de B l’ensemble suivant : A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}.

D´ efinition 1.1.2. Soit (A _i ) _i∈I une famille de sous-ensembles d’un ensemble E.

• On appelle intersection des A _i , i ∈ I, l’ensemble suivant :

\

i∈I

A i = {x ∈ E : ∀i ∈ I, x ∈ A i } .

• On appelle r´ eunion des A _i , i ∈ I, l’ensemble suivant : [

i∈I

A _i = {x ∈ E : ∃i ∈ I, x ∈ A _i } .

D´ efinition 1.1.3. Soient E un ensemble et A un sous-ensemble de E. On appelle compl´ ementaire de A dans E l’ensemble suivant :

A ^c = {x ∈ E : x 6∈ A}.

CHAPITRE 1. QUELQUES NOTIONS POUR LES PROBABILIT ´ ES

D´ efinition 1.1.4. Soient A et B deux ensembles. On appelle produit cart´ esien de A et de B l’ensemble suivant :

A × B = {(x, y) : x ∈ A et y ∈ B}.

Notation. Soit E un ensemble. On d´ esigne par P(E) l’ensemble des parties de E (c’est-` a-dire de ses sous-ensembles). En d’autres termes,

P (E) = {A : A ⊂ E}.

Images directes et r´ eciproques

D´ efinition 1.1.5. Soit f une application de E vers F et A un sous-ensemble de E. On appelle image directe de l’ensemble A par f l’ensemble, not´ e f (A), des images des ´ el´ ements de A par f . En d’autres termes,

f (A) = {f (x) : x ∈ A}.

D´ efinition 1.1.6. Soit f une application de E vers F et B un sous-ensemble de F. On appelle image r´ eciproque de l’ensemble B par f l’ensemble, not´ e f ⁻¹ (B), des ant´ ec´ edants des ´ el´ ements de B par f . En d’autres termes

f ⁻¹ (B) = {x ∈ E : f (x) ∈ B}.

D´ enombrement

D´ efinition 1.1.7. Soit E un ensemble ayant un nombre fini d’´ el´ ements. On appelle cardinal de E le nombre d’´ el´ ements de E. On note ce nombre |E|.

Proposition 1.1.8. (Cardinal d’une r´ eunion, intersection) Soient A et B deux ensembles ayant un nombre fini d’´ el´ ements. Alors |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Proposition 1.1.9. Soit (A _n ) une suite de sous-ensembles deux ` a deux disjoints (cad A _n ∩A m =

∅ d` es lors que n 6= m) d’un ensemble E. Alors

n

G

k=1

A k

=

n

X

k=1

|A k |.

Proposition 1.1.10. (Cardinal d’un produit) Soient A et B deux ensembles ayant un nombre fini d’´ el´ ements. Alors |A × B| = |A| × |B|.

Proposition 1.1.11. (Cardinal du compl´ ementaire) Si E est un ensemble ayant un nombre fini d’´ el´ ements, alors il en est de mˆ eme pour tout sous-ensemble A. De plus, |A ^c | = |E| − |A|.

Proposition 1.1.12. (Cardinal de l’ensemble des parties) Soit E un ensemble ayant un nombre fini d’´ el´ ements. Alors |P(E)| = 2 ^|E| .

D´ efinition 1.1.13. Soit n un entier naturel et 0 ≤ k ≤ n. On appelle coefficient binomial de k parmi n le nombre entier suivant :

n k

= n!

k!(n − k)! .

CHAPITRE 1. QUELQUES NOTIONS POUR LES PROBABILIT ´ ES

La quantit´ e ⁿ _k

est ´ egal au nombre de sous-ensembles ` a k ´ el´ ements dans un ensemble ` a n

´

el´ ements.

Exemple 1.1.14. Prenons un ensemble ` a n = 4 ´ el´ ements, disons E = {a, b, c, d}. Le nombre de sous-ensembles ` a k = 2 ´ el´ ements (cad le nombre de pairs) de E est ´ egal ` a ⁴ ₂

= _2!2! ^4! = ^4×3 ₂ = 6.

Ces sous-ensembles sont {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} et {c, d}.

Le coefficient binomial intervient naturellement dans des probl` emes de d´ enombrement comme en t´ emoigne l’exemple ci-dessous.

Exemple 1.1.15. On pr´ el` eve simultan´ ement trois boules dans une urne contenant quatre boules rouges, trois boules vertes et une boule noire.

• Le nombre de possibilit´ es de tirer trois boules rouges est ´ egal ` a ⁴ ₃

= 4.

• Le nombre de tirages avec deux boules rouges et une boule verte est ´ egale ` a ⁴ ₂

× ³ ₁

= 6 × 3 = 18.

1.2 D´ enombrabilit´ e

D´ efinition 1.2.1. Soit E un ensemble. On dit que E est :

• d´ enombrable s’il est en bijection avec N, cad s’il existe une application bijective φ : N → E ;

• au plus d´ enombrable s’il est fini ou d´ enombrable.

Informellement, un ensemble est d´ enombrable s’il est ”suffisamment petit” pour que l’on puisse ”num´ eroter” ces ´ el´ ements. Plus pr´ ecis´ ement, un ensemble est d´ enombrable s’il peut s’´ ecrire sous la forme E = {x n } _n∈N , o` u les x i sont des ´ el´ ements deux ` a deux diff´ erents.

Proposition 1.2.2. Soit E un ensemble infini. Les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes : (i) E est d´ enombrable ;

(ii) il existe une injection i : E → N ; (iii) il existe une surjection s : N → E.

Remarque 1.2.3. Si E est un ensemble au plus d´ enombrable, et si F s’injecte dans E, alors F est au plus d´ enombrable.

Exemple 1.2.4. Les ensembles N, N ^∗ , Z, N ² , Q sont d´ enombrables.

Contre-exemple 1.2.5. Les ensembles R, R \ Q, {0, 1} ^N , P (N) ne sont pas d´ enombrables.

Proposition 1.2.6. (i) Soient E et F deux ensembles au plus d´ enombrables. Alors l’ensemble E ∪ F est au plus d´ enombrable.

(ii) Plus g´ en´ eralement, soient (E n ) une suite d’ensembles au plus d´ enombrables. Alors S

n≥0 E n

est au plus d´ enombrable.

Proposition 1.2.7. Soient A et B deux ensembles au plus d´ enombrables. Alors E × F est au

plus d´ enombrable.

CHAPITRE 1. QUELQUES NOTIONS POUR LES PROBABILIT ´ ES

1.3 S´ eries num´ eriques

Soit (u n ) une suite de nombres r´ eels ou complexes. On d´ efinit les sommes partielles par S n =

n

X

k=0

u k .

La suite des sommes partielles (S n ) s’appelle la s´ erie de terme g´ en´ eral u n . On la note P

n≥0 u n . D´ efinition 1.3.1. On dit que la s´ erie P

n≥0 u _n est :

• convergente si la limite lim _n→∞ S n existe, et on note alors P ∞

n=0 u n := lim _N→∞ P N n=0 u n

cette limite ;

• divergente si elle n’est pas convergente ;

• absolument convergente si la s´ erie P

n≥0 |u n | est convergente.

Remarque 1.3.2. Si (u _n ) est une suite ` a termes positifs, alors la s´ erie P

n≥0 u _n est convergente si et seulement si elle est major´ ee, cad si et seulement si P

n≥0 u n < ∞.

Th´ eor` eme 1.3.3. (Crit` ere de Cauchy) Si une s´ erie converge absolument, alors elle converge.

La r´ eciproque du r´ esultat ci-dessus n’est pas vraie.

Exemple 1.3.4. 1. Soit (u n ) la suite d´ efinie par u n = a ⁿ . La s´ erie P

n≥0 u n est convergente si et seulement si |x| < 1. La somme de la s´ erie vaut

∞

X

n=0

x ⁿ = 1 1 − x .

On parle de s´ erie g´ eom´ etrique.

2. Soit (u n ) la suite d´ efinie par u n = ^x _n!

. La s´ erie P

n≥0 u n est convergente pour tout x ∈ R.

La somme de la s´ erie vaut

∞

X

n=0

x ⁿ n! = e ^x .

3. Soit (u _n ) la suite d´ efinie par u _n = _n ¹

. La s´ erie P

n≥0 u _n est convergente pour tout x > 1.

La somme de la s´ erie n’a pas d’expression analytique et est conne sous le nom de fonction zˆ eta, cad ζ(x) = P ∞

n=0 1

n

, pour tout x > 1. On parle de s´ erie de Riemann.

4. Soit (u n ) la suite d´ efinie par u n = ⁽⁻¹⁾ _n

. La s´ erie P

n≥0 u n est convergente mais pas absolument convergente. Il s’agit d’un cas particulier de s´ erie altern´ ee.

Proposition 1.3.5. Soit (u n ) une suite. Si la s´ erie P

n≥0 u n converge, alors la suite (u n ) tend vers 0.

La r´ eciproque de la proposition ci-dessus n’est pas vraie : par exemple, la s´ erie P

n≥1 1

n diverge et pourtant _n ¹ −→

n→∞ 0.

L’essentiel

• calculer des intersections, r´ eunions, produits, compl´ ementaires, images directes et r´ eciproques d’ensembles ;

• savoir d´ enombrer ;

• d´ eterminer si un ensemble est d´ enombrable ou non ;

• d´ eterminer si une s´ erie converge et, le cas ´ ech´ eant, calculer la somme.

Chapitre 2

Ev´ enements

Sommaire

2.1 Tribus, ´ ev´ enements, probabilit´ es . . . . 9 2.2 Ev´ enements ind´ ependants . . . . 12 2.3 Probabilit´ es conditionnelles . . . . 13

2.1 Tribus, ´ ev´ enements, probabilit´ es

D´ efinition 2.1.1. Soit Ω un ensemble non vide non vide. On appelle tribu sur Ω toute partie de P (Ω) satisfaisant les trois propri´ et´ es suivantes :

(i) Ω ∈ A et ∅ ∈ A ;

(ii) A est stable par passage au compl´ ementaire : pour tout A ∈ A, on a A ^c ∈ A ; (iii) A est stable par r´ eunion d´ enombrable : pour toute suite (A _n ) d’´ el´ ements de A, on a

[

n≥0

A _n ∈ Ω;

(iv) A est stable par intersection d´ enombrable : pour toute suite (A n ) d’´ el´ ements de A, on a

\

n≥0

A n ∈ Ω.

Exemple 2.1.2. 1. Soit Ω un ensemble. Les familles A = P(Ω) et A ⁰ = {∅, Ω} sont des tribus sur Ω.

2. Prenons Ω = R et A = {∅, [0, 1], R \ [0, 1], R}. Alors A est une tribu.

3. Prenons Ω = {1, 2} et A = {∅, {1}, {1, 2}}. Alors A n’est pas une tribu.

Remarque 2.1.3. Pour montrer qu’une famille est une tribu, il suffit de v´ erifier que : (i’) Ω ∈ A ou ∅ ∈ A ; (ii’) A est stable par passage au compl´ ementaire ; (iii’) A est stable par r´ eunion ou intersection d´ enombrable.

En L2, nous ne travaillerons que sur des univers Ω finis ou d´ enombrables. En pratique, la tribu

que nous consid´ ererons sera toujours P(Ω). En L3, des univers plus g´ en´ eraux seront consid´ er´ es

et les tribus ne seront plus n´ ecessairement P(Ω).

CHAPITRE 2. EV ´ ENEMENTS

D´ efinition 2.1.4. Soient Ω un ensemble et A une tribu sur Ω :

• l’ensemble Ω s’appelle l’univers (on l’appelle aussi l’ensemble de tous les possibles) ;

• le couple (Ω, A) s’appelle un espace probabilisable ;

• les ´ el´ ements ω de Ω s’appellent des ´ eventualit´ es ;

• les ´ el´ ements A de A s’appellent des ´ ev´ enements ;

• on dit que deux ´ ev´ enements A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅ ;

Exemple 2.1.5. 1. On lance un d´ e au hasard num´ erot´ e de 1 ` a 6 et on regarde la valeur obtenue. L’univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Les ´ ev´ enements

A = {le d´ e est pair} = {2, 4, 6} et B = {5}

sont incompatibles. Le nombre 5 est une ´ eventualit´ e.

2. On lance deux d´ es (l’un apr` es l’autre par exemple) au hasard num´ erot´ es de 1 ` a 6. L’univers est

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ² = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (6, 5), (6, 6)}.

La premi` ere coordonn´ ee d’un couple indique la valeur du premier d´ e, et la seconde du second d´ e. Les ´ ev´ enements

A = {la valeur du 1 ^er d´ e est le double de celle du second} = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}

et

B = {la somme des valeurs obtenues par les deux d´ es est 3} = {(1, 2), (2, 1)}

ne sont pas incompatibles : l’´ eventualit´ e (2, 1) est commune ` a ces deux ´ ev´ enements.

D´ efinition 2.1.6. Soit (Ω, A) un espace probabilis´ e. On appelle (mesure de) probabilit´ e sur (Ω, A) toute application P : A → [0, 1] telle que :

(i) P (Ω) = 1 ;

(ii) pour toute suite d’´ ev´ enements (A n ) deux ` a deux disjoints (cad tels que A n ∩ A m = ∅ pour tous n 6= m),

P

∞

G

n=0

A _n

!

=

∞

X

n=0

P (A _n ) .

Exemple 2.1.7. 1. Soit Ω un ensemble fini. Prenons A = P (Ω). L’application P d´ efinie, pour tout A ∈ P(Ω), par P (A) = ^|A| _|Ω| est une probabilit´ e.

2. Prenons Ω = N, A = P(N). L’application P d´ efinie par P (A) =

( 1 si 5 ∈ A 0 sinon est une probabilit´ e.

D´ efinition 2.1.8. Soit (Ω, A) un espace probabilsable et P une probabilit´ e sur (Ω, A). Le triplet (Ω, A, P) s’appelle un espace probabilis´ e.

Exemple 2.1.9. Prenons Ω = N, A = P (N) et A = {1, 2, 3}. Alors pour toute probabilit´ e P

sur N, on a P (A) = P ({1, 2, 3}) = P ({1}) + P ({2}) + P ({3}).

CHAPITRE 2. EV ´ ENEMENTS

Remarque 2.1.10. Supposons que Ω soit fini ou d´ enombrable et que A = P(Ω). Alors, pour tout ´ ev´ enement A ∈ A, on a

P (A) = P [

ω∈A

{ω}

!

= X

ω∈A

P ({ω}) .

D´ efinition 2.1.11. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e. On dit qu’un ´ ev´ enement A ∈ A est :

• n´ egligeable si P (A) = 0 ;

• presque sˆ ur si P (A) = 1.

Remarque 2.1.12. 1. Si A = ∅, alors A est n´ egligeable. La r´ eciproque n’est pas vraie.

2. Si A = Ω, alors A est presque sˆ ur. La r´ eciproque n’est pas vraie.

D´ efinition 2.1.13. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e. On appelle syst` eme complet d’´ ev´ enements toute suite (finie ou infinie) d’´ ev´ enements (A n ) telle que :

(i) pour tout n, on a P (A _n ) 6= 0 ;

(ii) pour tous m 6= n, on a P (A m ∩ A n ) = 0 ; (iii) P

S

n≥0 A _n

= 1.

Exemple 2.1.14. On consid` ere un jeu classique de 52 cartes (ARDV..., pique, coeur, car- reau, tr` efle). Les ´ ev´ enements A = {la carte est un coeur}, B = {la carte est un carreau} et C = {la carte est de couleur noire (pique, tr` efle)} forment un syst` eme complet d’´ ev´ enements.

Proposition 2.1.15. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e.

(i) Pour tout A ∈ A, on a P (A ^c ) = 1 − P (A).

(ii) Pour tous A, B ∈ A tels que A ⊂ B, on a P (B \ A) = P (B ) − P (A) et P (A) ≤ P (B).

(iii) Pour tous A, B ∈ A, on a

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) .

(iv) Pour tous A ₁ , . . . , A _n ∈ A deux ` a deux disjoints, on a

P

n

G

k=1

A k

!

=

n

X

k=1

P (A k ) .

(v) Pour tous A ₁ , . . . , A _n ∈ A, on a

P

n

[

k=1

A k

!

≤

n

X

k=1

P (A k ) .

(vi) Pour toute suite d’´ ev´ enements (A n ), on a

P

∞

[

n=1

A n

!

≤

∞

X

n=1

P (A n ) .

Proposition 2.1.16. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et (A _n ) une suite d’´ ev´ enements.

CHAPITRE 2. EV ´ ENEMENTS

(i) Si (A n ) est croissante pour l’inclusion, cad si A n ⊂ A n+1 pour tout n, alors la suite (P (A n )) _n≥1 est croissante et sa limite est :

n→∞ lim P (A n ) = P

∞

[

n=1

A n

! .

(ii) Si (A _n ) est d´ ecroissante pour l’inclusion, cad si A _n ⊃ A _n+1 pour tout n, alors la suite (P (A n )) _n≥1 est d´ ecroissante et sa limite est :

n→∞ lim P (A n ) = P

∞

\

n=1

A n

! .

2.2 Ev´ enements ind´ ependants

D´ efinition 2.2.1. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e. On dit que deux ´ ev´ enements A, B ∈ A sont ind´ ependants si P (A ∩ B) = P (A) P (B).

D´ efinition 2.2.2. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et (A i ) i∈I une famille d’´ ev´ enements. On dit que les ´ ev´ enements (A i ) i∈I sont :

• deux ` a deux ind´ ependants si A i et A j sont ind´ ependants pour tous i, j ∈ I, i 6= j ;

• mutuel lement ind´ ependants si pour toute famille finie J ⊂ I,

P \

i∈J

A j

!

= Y

i∈J

P (A i ) .

Exemple 2.2.3. On lance deux pi` eces au hasard et on note P (resp. F) lorsqu’on on obtient pile (resp. face). L’univers est Ω = {(P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F )}. On consid` ere les ´ ev´ enements suivants :

A = {le premier lancer est pile} = {(P, P ), (P, F )};

B = {le second lancer est face} = {(P, F ), (F, F )};

C = {le r´ esultat est le mˆ eme aux deux lancers} = {(P, P ), (F, F )}.

On a P (A) = P (B) = P (C) = ¹ ₂ et P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = ¹ ₄ . Les ´ ev´ enements A, B, C sont donc deux ` a deux ind´ ependants. En revanche, ils ne sont pas mutuellement ind´ ependants puisque P (A ∩ B ∩ C) = 0 6= ¹ ₈ = P (A) P (B) P (C).

Remarque 2.2.4. 1. Il ne faut pas confondre les notions d’ind´ ependance (A et B sont ind´ ependants si P (A ∩ B) = P (A) P (B)) et d’incompatibilit´ e (A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅) de deux ´ ev´ enements.

2. La notion d’ind´ ependance est relative ` a la probabilit´ e : deux ´ ev´ enements peuvent ˆ etre ind´ ependants relativement ` a une probabilit´ e P mais pas ` a une probabilit´ e P ⁰ .

3. Si (A _i ) _i∈I est une famille d’´ ev´ enements mutuellement ind´ ependants (resp. deux ` a deux ind´ ependants) alors (A ^c _i ) _i∈I est une famille d’´ ev´ enements mutuellement ind´ ependants (resp.

deux ` a deux ind´ ependants).

CHAPITRE 2. EV ´ ENEMENTS

2.3 Probabilit´ es conditionnelles

Proposition 2.3.1. Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et A ∈ A un ´ ev´ enement non n´ egligeable.

L’application P A : A → [0, 1] d´ efinie, pour tout B ∈ A, par : P _A (B) = P (A ∩ B)

P (A) est une probabilit´ e.

D´ efinition 2.3.2. Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e, et A et B deux ´ ev´ enements tels que A n’est pas n´ egligeable. On appelle probabilit´ e de B conditionnel lement ` a A (ou probabilit´ e de B sachant A) la quantit´ e d´ efinie par :

P (B|A) = P A (B) = P (A ∩ B) P (A) .

Proposition 2.3.3. Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e, et A et B deux ´ ev´ enements tels que A n’est pas n´ egligeable. Alors A et B sont ind´ ependants si et seulement si P (B|A) = P (B).

Proposition 2.3.4. Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et (A k ) k≤n une famille d’intersection non n´ egligeable. Alors

P

n

\

k=1

A k

!

= P A n

n−1

\

k=1

A k

!

P A n−1

n−2

\

k=1

A k

!

· · · P (A 2 |A 1 ) P (A 1 ) .

Th´ eor` eme 2.3.5. (Formule des probabilit´ es totales) Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et (A <sub>n</sub> ) un syst` eme complet d’´ ev´ enements non n´ egligeables. Alors, pour tout B ∈ A,

P (B) =

∞

X

n=1

P (B ∩ A n ) =

∞

X

n=1

P (B|A n ) P (A n ) .

Th´ eor` eme 2.3.6. (Formule de Bayes) Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e. Soit B ∈ A un

´

ev´ enement non n´ egligeable.

(i) Pour tout ´ ev´ enement A ∈ A non n´ egligeable, on a

P (A|B ) = P (B|A) P (A) P (B) .

(ii) Pour tout syst` eme complet d’´ ev´ enements (A n ) non n´ egligeables, on a P (A j |B) = P (B|A j ) P (A j )

P

n≥1 P (B|A n ) P (A n ) .

Exemple 2.3.7. Deux op´ erateurs de saisie, A et B, entrent respectivement 100 et 200 tableaux sur informatique. Les tableaux de A comportent des fautes dans 5.2% des cas et ceux de B dans 6,7% des cas. On prend un tableau au hasard. Il comporte des fautes. On souhaite calculer la probabilit´ e pour que A se soit occup´ e de ce tableau. Pour cela, on consid` ere les ´ ev´ enements :

• T _A : ”le tableau est entr´ e par A” ;

• T _B = T _A ^c : ”le tableau est entr´ e par B” ;

• F : ”le tableau comporte des fautes”.

CHAPITRE 2. EV ´ ENEMENTS

D’apr` es la formule de Bayes, on a P (T A |F) = P (F |T A )

P (F|T A ) P (T A ) + P (F |T B ) P (T B )

= 0.052 × 1/3 0.052 × 1/3 + 0.067 × 2/3

= 0.279.

La th´ eorie des probabilit´ es s’´ etend au cas d’un univers Ω non d´ enombrable. La th´ eorie de la mesure (abord´ ee en L3 et M1) donne des outils dans un cadre g´ en´ eral et permet de g´ en´ eraliser la notion de probabilit´ e. Un des premiers r´ esultats est de construire une tribu B(R) (appel´ ee tribu bor´ elienne) ainsi qu’une mesure sur R (appel´ ee mesure de Lebesgue).

L’essentiel

• avoir en tˆ ete le vocabulaire probabiliste (univers, ´ ev´ enements, probabilit´ e, probabilit´ e condi- tionnelle, ind´ ependance) ;

• calculer des probabilit´ es et des probabilit´ es conditionnelles ;

• ´ etudier l’ind´ ependance d’une famille d’´ ev´ enements.

Chapitre 3

Variables al´ eatoires

Sommaire

3.1 Variable al´ eatoire, loi . . . . 15 3.2 Lois usuelles . . . . 17 3.3 Ind´ ependance de variables al´ eatoires . . . . 19

3.1 Variable al´ eatoire, loi

D´ efinition 3.1.1. Soient (Ω, A) un espace probabilisable et E un ensemble. On appelle variable al´ eatoire discr` ete toute fonction X : Ω → E telle que X(Ω) soit finie ou d´ enombrable et telle que :

∀x ∈ X(Ω), X ⁻¹ ({x}) ∈ A.

L’ensemble X(Ω) s’appelle l’espace d’´ etat ou le support de X. Dans ce cours, l’espace Ω est en pratique fini ou d´ enombrable et la tribu sous-jacent est A = P (Ω). En d’autres termes, il faut penser une variable al´ eatoire discr` ete comme ´ etant simplement une fonction d´ efinie sur Ω et ne prenant qu’un nombre fini, ou d´ enombrable, de valeurs. En L3, les variables al´ eatoires (discr` etes ou non discr` etes) seront introduites dans un contexte plus g´ en´ eral.

Exemple 3.1.2. On lance une pi` ece au hasard. Si l’on tombe sur pile (P), on gagne 1 euro, et si c’est sur face (F ) on en gagne 0. Ici, l’univers est Ω = {P, F } et la variable al´ eatoire qui nous int´ eresse est :

X :{P, F } → {0, 1}

P 7→ 1 F 7→ 0.

Proposition 3.1.3. Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e. L’ensemble des variables al´ eatoires d´ efinies sur Ω ` a valeurs dans R est un espace vectoriel.

Proposition 3.1.4. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et X une variable al´ eatoire discr` ete ` a valeurs dans un ensemble E. Soit P X : P(E) → [0, 1] l’application d´ efinie, pour tout A ∈ P(E), par :

P _X (A) = P X ⁻¹ (A)

.

CHAPITRE 3. VARIABLES AL ´ EATOIRES

Alors l’application P X est une probabilit´ e sur l’espace probabilisable (E, P (E)).

Par d´ efinition de P X , on a donc P X (A) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A}). Il est d’usage, en proba- bilit´ es, d’all´ eger les ´ ecritures en prenant la notation suivante :

{X ∈ A} = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A} = X ⁻¹ (A).

Par exemple, si X est ` a valeurs r´ eelles, l’´ ev´ enement {X ≤ x} est ´ egal ` a {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x}.

On ´ ecrit ´ egalement P (X ∈ A) au lieu de P ({X ∈ A}) en omettant les parenth` eses. En d’autres termes, on a

P X (A) = P X ⁻¹ (A)

= P ({ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A})

= P ({X ∈ A})

= P (X ∈ A) .

D´ efinition 3.1.5. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et X une variable al´ eatoire discr` ete ` a valeurs dans un ensemble E. L’application P X d´ efinie ci-dessus s’appelle la loi de X .

La loi d’une variable al´ eatoire est donc, par d´ efinition, une probabilit´ e sur l’ensemble d’arriv´ ee de la variable al´ eatoire.

Proposition 3.1.6. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et X une variable al´ eatoire discr` ete

`

a valeurs dans un ensemble E. La loi de X est caract´ eris´ ee de mani` ere unique par les valeurs P (X = x) pour tout x ∈ X(Ω).

En particulier, on a P

x∈X(Ω) P (X = x) = 1.

Exemple 3.1.7. On jette deux d´ es parfaits au hasard, num´ erot´ es de 1 ` a 6, et on s’int´ eresse

`

a la somme des valeurs obtenues par les deux d´ es. L’univers est Ω = {1, . . . , 6} ² , la tribu est A = P(Ω) et la variable al´ eatoire qui nous int´ eresse est :

X :{1, . . . , 6} ² −→ {2, . . . , 12}

(ω ₁ , ω ₂ ) 7−→ ω ₁ + ω ₂ .

Sa loi P X est une probabilit´ e sur X (Ω) = {2, . . . , 12}. On a par exemple : P _X ({2}) = P (X = 2) = P le 1 ^er d´ e donne 1, le 2 ^nd donne 1

= 1 36 ; P _X ({3}) = P (X = 3)

= P le 1 ^er d´ e donne 1, le 2 ^nd donne 2

+ P le 1 ^er donne 2, le 2 ^nd d´ e donne 1

= 2 36 ;

Plus g´ en´ eralement, on a les r´ esultats suivants :

sommes possibles 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

probabilit´ es 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

CHAPITRE 3. VARIABLES AL ´ EATOIRES

D´ efinition 3.1.8. Soit (Ω, A) un espace probabilisable.

(i) Soient X 1 , . . . , X p des variables al´ eatoires discr` etes, d´ efinies sur Ω, ` a valeurs dans E 1 , . . . , E p

respectivement. On appelle loi jointe de X ₁ , . . . , X _p la loi du p-uplet X = (X ₁ , . . . , X _p ).

On la note P _X .

(ii) Soit X = (X 1 , . . . , X p ) une variable al´ eatoire, d´ efinie sur Ω, ` a valeurs dans E 1 × · · · × E p . Pour tout 1 ≤ k ≤ p, on appelle k-i` eme marginale de X la loi de la variable al´ eatoire X k .

Proposition 3.1.9. Soit X = (X 1 , . . . , X p ) une variable al´ eatoire ` a valeurs dans E 1 × · · · × E p

de loi P X . Alors, pour tout 1 ≤ i ≤ p, la loi de X i est donn´ ee par :

∀A ⊂ E i , P X

(A) = P X (E 1 × E 2 × · · · × E i−1 × A × E i+1 × · · · × E p ).

Le r´ esultat ci-dessus implique qu’on peut avoir les lois marginales ` a partir de la loi jointe. La r´ eciproque est en revanche fausse. En d’autres termes, il est possible que l’on ait deux couples de variables al´ eatoires (X 1 , X 2 ) et (Y 1 , Y 2 ) telles que P X

= P Y

et P X

= P Y

mais telles que P (X

,X

) 6= P (Y

,Y

) .

D´ efinition 3.1.10. Une variable al´ eatoire X est dite d´ eterministe si, presque sˆ urement, elle est ´ egale ` a une certaine valeur ; en d’autres termes il existe c tel que P (X = c) = 1.

3.2 Lois usuelles

D´ efinition 3.2.1. Soient E un ensemble fini et X : Ω → E une variable al´ eatoire discr` ete. On dit que X suit la loi uniforme sur E si :

∀x ∈ E, P (X = x) = 1

|E| . On note alors X ∼ U (E).

La loi uniforme apparait naturellement comme la mod´ elisation d’un choix d’un ´ el´ ement au hasard dans un ensemble fini en situation d’´ equiprobabilit´ e. Par exemple, on prend une carte au hasard dans un jeu (classique) de 52 cartes. On 1/52 chance de tirer l’as de pique ; 1/52 chance de tirer le 3 de tr` efle ; 1/52 de chance de tirer le valet de coeur.

D´ efinition 3.2.2. Soient p ∈ [0, 1] et X : Ω → {0, 1} une variable al´ eatoire discr` ete. On dit que X suit la loi de Bernoul li de param` etre p si :

P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 − p.

On note alors X ∼ B(p).

La loi de Bernoulli mod´ elise le succ` es ou l’´ echec d’une exp´ erience.

Exemple 3.2.3. On lance une pi` ece au hasard : si l’on tombe sur pile (avec probabilit´ e p), on consid` ere que l’on a un succ` es et on affecte la valeur 1 ; et dans le cas oppos´ e (cad si on tombe sur face), on consid` ere qu’on a un ´ echec et on affecte la valeur 0. La variable al´ eatoire consid´ er´ ee est :

X :{P, F } → {0, 1}

P 7→ 1 F 7→ 0.

On a X ∼ B(p).

CHAPITRE 3. VARIABLES AL ´ EATOIRES

D´ efinition 3.2.4. Soient p ∈ [0, 1], n ≥ 1 et X : Ω → {0, 1, . . . , n} une variable al´ eatoire discr` ete. On dit que X suit la loi binomiale de param` etres n, p si :

∀0 ≤ k ≤ n, P (X = k) = n

k

p ^k (1 − p) ^n−k . On note alors X ∼ B(n, p).

La loi binomiale intervient dans le comptage du nombre de succ` es d’une exp´ erience al´ eatoire.

Plus pr´ ecis´ ement, la somme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes (on d´ efinira cette notion dans la section suivante) de loi de Bernoulli de param` etre p est une variable al´ eatoire de loi binomiale de param` etres n et p.

Exemple 3.2.5. On lance 10 fois une pi` ece (ind´ ependamment des autres lancers) qui a une probabilit´ e p de tomber sur pile. L’univers est Ω = {P, F } ¹⁰ . On note X la variable al´ eatoire X qui d´ esigne le nombre de fois que l’on tombe sur pile. En d’autres termes

X :{P, F } ¹⁰ −→ {0, . . . , 10}

(ω 1 , . . . , ω 10 ) 7−→ #{1 ≤ i ≤ 10 : ω i = P }.

On a X ∼ B(10, p).

Remarque 3.2.6. La loi binomiale intervient naturellement dans des probl` emes de tirages de boules avec remise. Consid´ erons, par exemple, la situation suivante : on a N boules dans une urne, N B d’entre elles sont blanches et N R = N − N B sont rouges.

• On pr´ el` eve au hasard, et avec remise, n ≤ N boules dans l’urne. On d´ esigne par X le nombre de boules blanches que l’on tire. Alors X suit la loi B(n, p), avec p = ^N _N

, cad pour tout k ≤ n,

P (X = k) = n

k

p ^k (1 − p) ^n−k .

• On pr´ el` eve au hasard, et sans remise, n ≤ N boules dans l’urne. On note Y le nombre de boules blanches que l’on tire. Alors la loi de Y est donn´ ee par :

P (Y = k) =

N

k

N

n−k

N n

,

pour tout k ≤ n. On dit que Y suit une loi hyperg´ eom´ etrique.

D´ efinition 3.2.7. Soit p ∈ [0, 1] et X : Ω → N ^∗ une variable al´ eatoire discr` ete. On dit que X suit la loi g´ eom´ etrique de param` etre p si :

∀k ∈ N ^∗ , P (X = k) = p(1 − p) ^k−1 . On note alors X ∼ G(p).

La loi g´ eom´ etrique apparait comme l’instant du premier succ` es lorsqu’on it` ere ind´ ependamment une mˆ eme exp´ erience al´ eatoire ayant une probabilit´ e p de succ` es et 1 − p d’´ echec.

Exemple 3.2.8. On lance ` a plusieurs reprises une pi` ece qui a une probabilit´ e p ∈]0, 1[ de tomber

sur pile. On d´ esigne par X le num´ ero du lancer o` u on a obtenu pour la premi` ere fois pile. On a

X ∼ G(p).

CHAPITRE 3. VARIABLES AL ´ EATOIRES

D´ efinition 3.2.9. Soit λ > 0 et X : Ω → N une variable al´ eatoire discr` ete. On dit que X suit la loi de Poisson de param` etre λ si :

∀k ∈ N, P (X = k) = e ^−λ · λ ^k k! . On note alors X ∼ P (λ).

La loi de Poisson est souvent utilis´ ee pour mod´ eliser le nombre d’occurrences d’un ph´ enom` ene al´ eatoire extrˆ eme/rare. Le r´ esultat suivant garantit qu’une loi binomiale de param` etres n, p _n , avec np n → λ > 0, est proche d’une loi de Poisson de param` etre λ.

Proposition 3.2.10. Soit λ > 0 et soit (p n ) une suite de nombres r´ eels compris dans [0, 1] telle que np n −→

n→∞ λ. Alors

∀k ∈ N, n

k

p ^k _n (1 − p n ) ^n−k −→

n→∞ e ^−λ · λ ^k k! .

En d’autres termes, si X est une variable al´ eatoire telle que X ∼ P(λ) et si (X n ) est une suite de variables al´ eatoires telles que X n ∼ B(n, p n ) pour tout n ≥ 1, alors

∀k ∈ N, P (X n = k) −→

n→∞ P (X = k) .

On dit qu’une suite de variables al´ eatoires (X n ) qui satisfait l’´ equation ci-dessus converge en loi vers la variable al´ eatoire X . On abordera ce type de notion dans le dernier chapitre.

3.3 Ind´ ependance de variables al´ eatoires

D´ efinition 3.3.1. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e. On dit qu’une famille de variables al´ eatoires discr` etes (X _i ) _i∈I est ind´ ependante si, pour toute partie finie J ⊂ I, et toute famille (A _j ) _j∈J avec A _j ⊂ X _j (Ω) pour tout j ∈ J , on a

P (∀j ∈ J, X j ∈ A j ) = Y

j∈J

P (X j ∈ A j ) .

Proposition 3.3.2. Soitent X et Y deux variables al´ eatoires discr` etes, d´ efinies sur Ω. Les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :

(i) X et Y sont ind´ ependantes ;

(ii) ∀x ∈ X (Ω), ∀y ∈ Y (Ω), P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y).

Proposition 3.3.3. Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e, I un ensemble et (X i ) i∈I des va- riables al´ eatoires discr` etes d´ efinies sur (Ω, A). On suppose que les variables al´ eatoires sont ind´ ependantes.

(i) Pour tout i ∈ I, d´ esignons par f _i une application d´ efinie sur X _i (Ω). Alors les variables al´ eatoires (f _i (X _i )) _i∈I sont ind´ ependantes.

(ii) Soient J, J ⁰ ⊂ I deux sous-ensembles disjoints de I. Alors les deux vecteurs (X _i ) _i∈J et

(X _j ) _j∈J

sont ind´ ependants.

CHAPITRE 3. VARIABLES AL ´ EATOIRES

D´ efinition 3.3.4. Soient X, Y deux variables al´ eatoires discr` etes d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P) et ` a valeurs dans E et F respectivement et B ⊂ F tel que P (Y ∈ B) > 0. La loi conditionnel le de X sachant Y ∈ B est la probabilit´ e conditionnelle P _{{Y ∈B}} sur (E, P(E)) d´ efinie, pour tout A ∈ P(E), par :

P _{{Y ∈B}} = P (A ∩ {Y ∈ B}) P (Y ∈ B) .

On note plus simplement P (A|Y ∈ B) = P _{{Y ∈B}} (A). Le th´ eor` eme suivant, admis, garantit l’existence de familles de variables al´ eatoires ind´ ependantes (la preuve repose sur l’existence d’une mesure produit, telle qu’on l’aborde en M1).

Th´ eor` eme 3.3.5. Soit (E i ) _i∈I une famille d’ensembles finis ou d´ enombrables et (P i ) _i∈I une famille de probabilit´ es sur ces ensembles. Alors il existe un espace probabilis´ e (Ω, A, P) et des variables al´ eatoires X i : (Ω, A) → E i telles que :

• pour tout i ∈ I, la loi de X i est P i ;

• les variables al´ eatoires (X i ) i∈I sont ind´ ependantes.

L’essentiel

• calculer la loi d’une variable al´ eatoire ;

• reconnaitre les lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale, Poisson, g´ eom´ etrique) ;

• ´ etudier l’ind´ ependance d’une famille de variables al´ eatoires.

Chapitre 4

Esp´ erance de variables al´ eatoires r´ eelles

Sommaire

4.1 Esp´ erance . . . . 21

4.2 Variance et moments d’ordre sup´ erieur . . . . 22

4.3 Fonction g´ en´ eratrice . . . . 24

4.4 In´ egalit´ es classiques . . . . 24 Dans ce chapitre, nous nous limitons aux variables al´ eatoires discr` etes r´ eelles (cad ` a valeurs dans un sous-ensemble d´ enombrable de R).

4.1 Esp´ erance

D´ efinition 4.1.1. Soit X une variable al´ eatoire discr` ete ` a valeurs dans R.

• On dit que X admet une esp´ erance si la famille (xP (X = x)) _x∈X(Ω) est sommable, cad si P

x∈X(Ω) |x|P (X = x) < ∞.

• Lorsque X admet une esp´ erance, on appelle esp´ erance de X le nombre r´ eel d´ efini par :

E [X] = X

x∈X(Ω)

xP (X = x) .

Une variable al´ eatoire dont l’esp´ erance est nulle est dite centr´ ee. Dans le cas d’une variable positive, on peut toujours donner un sens ` a la notation E [X], mˆ eme si la famille (xP (X = x)) _x∈X(Ω) n’est pas sommable, en convenant que E [X] = +∞ dans ce cas.

Remarque 4.1.2. Deux variables al´ eatoires discr` etes (r´ eelles) qui ont la mˆ eme loi ont la mˆ eme esp´ erance. La r´ eciproque n’est pas vraie.

Exemple 4.1.3. 1. Soit X ∼ U ({1, 2, 3, 4}). Alors E [X ] = 2.5.

2. Soit X ∼ B(p), p ∈ [0, 1]. Alors E [X] = p.

3. Soit X ∼ B(n, p), n ≥ 1, p ∈ [0, 1]. Alors E [X] = np.

4. Soit X ∼ G(p), p ∈]0, 1]. Alors E [X] = ¹ _p .

5. Soit X ∼ P(λ), λ > 0. Alors E [X ] = λ.

CHAPITRE 4. ESP ´ ERANCE DE VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES

Remarque 4.1.4. Soit X : (Ω, A) → E une variable al´ eatoire discr` ete et A ⊂ E. Alors E [1 _X∈A ] = P (X ∈ A).

Th´ eor` eme 4.1.5. (Th´ eor` eme de transfert) Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e, E un en- semble, X : (Ω, A) → E une variable al´ eatoire discr` ete et f : X(Ω) → R une application. Si la famille (f (x)P (X = x)) _x∈X(Ω) est sommable (cad si P

x∈X(Ω) |f (x)|P (X = x) < ∞), alors f (X ) admet une esp´ erance et celle-ci est donn´ ee par :

E [f (X)] = X

x∈X(Ω)

f (x)P (X = x) .

Proposition 4.1.6. Soient X, Y deux variables al´ eatoires discr` etes r´ eelles qui admettent une esp´ erance. Alors

(i) lin´ earit´ e : pour tout λ ∈ R, la variable al´ eatoire X + λY admet une esp´ erance et celle-ci est donn´ ee par :

E [X + λY ] = E [X ] + λE [Y ] .

(ii) croissance : si X ≤ Y presque sˆ urement, alors E [X ] ≤ E [Y ].

(iii) in´ egalit´ e triangulaire : |E [X] | ≤ E [|X |].

Corollaire 4.1.7. Soient X, Y deux variables al´ eatoires discr` etes r´ eelles telles que |X | ≤ Y presque sˆ urement. Si Y admet une esp´ erance, alors X admet une esp´ erance.

Proposition 4.1.8. Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e. Pour tout i ≤ n, soient X _i : (Ω, A) → E _i une variable al´ eatoire et f _i : E _i → R une application telle que f _i (X _i ) admette une esp´ erance.

Supposons que les variables al´ eatoires X ₁ , . . . , X _n soient ind´ ependantes. Alors Q n

i=1 f _i (X _i ) admet une esp´ erance et

E

" _n Y

i=1

f i (X i )

#

=

n

Y

i=1

E [f i (X i )] .

4.2 Variance et moments d’ordre sup´ erieur

D´ efinition 4.2.1. Soit X une variable al´ eatoire discr` ete r´ eelle. On dit que X admet un moment d’ordre k ≥ 1 si la variable al´ eatoire X ^k admet une esp´ erance. Le moment d’ordre k est alors le r´ eel E

X ^k .

D´ efinition 4.2.2. Soit X une variable al´ eatoire discr` ete admettant un moment d’ordre 2 cad telle que E

X ²

< ∞. On appelle :

• variance de X le nombre r´ eel positif

V [ X ] = E

(X − E [X ]) ²

;

• ´ ecart-type de X le nombre r´ eel positif

σ(X ) = p V [ X ].

Une variable al´ eatoire centr´ ee dont la variance est ´ egale ` a 1 est dite r´ eduite.

Exemple 4.2.3. 1. Soit X ∼ B(p), p ∈ [0, 1]. Alors V [ X ] = p(1 − p).

CHAPITRE 4. ESP ´ ERANCE DE VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES

2. Soit X ∼ B(n, p), n ≥ 1, p ∈ [0, 1]. Alors V [ X ] = np(1 − p).

3. Soit X ∼ G(p), p ∈]0, 1]. Alors E [X] = ^1−p _p

. 4. Soit X ∼ P(λ), λ > 0. Alors E [X ] = λ.

Proposition 4.2.4. Soit X une variable al´ eatoire discr` ete admettant un moment d’ordre 2.

Alors X admet une esp´ erance.

Proposition 4.2.5. (Formule de K¨ onig-Huygens) Soit X une variable al´ eatoire discr` ete admet- tant un moment d’ordre 2. Alors

V [ X ] = E X ²

− E [X ] ² .

Proposition 4.2.6. Soit X une variable al´ eatoire discr` ete admettant un moment d’ordre 2.

Alors

(i) V [ X ] = 0 si et seulement si X est d´ eterministe.

(ii) Soient a, b ∈ R. Alors V [ aX + b ] = a ² V [ X ] .

Proposition 4.2.7. Soient X et Y deux variables al´ eatoires discr` etes r´ eelles ind´ ependantes admettant des moments d’ordre 2. Alors V [ X + Y ] = V [ X ] + V [ Y ].

L’hypoth` ese d’ind´ ependance dans la proposition ci-dessus est essentielle. Sans supposer cela, il n’est en g´ en´ eral pas vrai que V [ X + Y ] = V [ X ] + V [ Y ]. Par exemple, si X est une variable al´ eatoire r´ eelle et Y = 2X, alors

V [ X + Y ] = V [ 3X ] = 9 V [ X ] mais

V [ X ] + V [ Y ] = V [ X ] + V [ 2X ] = V [ X ] + 4 V [ X ] = 5 V [ X ] .

D´ efinition 4.2.8. Soient X et Y deux variables al´ eatoires discr` etes r´ eelles admettant des mo- ments d’ordre 2. On appelle covariance de X et de Y le nombre r´ eel

Cov(X, Y ) = E [(X − E [X ])(Y − E [Y ])] = E [XY ] − E [X ] E [Y ] .

Remarque 4.2.9. 1. La covariance ”g´ en´ eralise” la notion de variance : Cov(X, X) = V [ X ].

2. La covariance est bilin´ eaire cad Cov(X, aY + Z) = aCov(X, Y ) + Cov(X, Z).

3. La covariance est sym´ etrique cad Cov(X, Y ) = Cov(Y, X).

D´ efinition 4.2.10. Deux variables al´ eatoires dont la covariance existe et est ´ egale ` a 0 sont dites non corr´ el´ ees.

Proposition 4.2.11. Si deux variables al´ eatoires sont ind´ ependantes alors elles sont non corr´ el´ ees.

La r´ eciproque de la proposition pr´ ec´ edente n’est pas vraie. Voici un contre-exemple.

Contre-exemple 4.2.12. Soit X une variable al´ eatoire telle que P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = −1) = ¹ ₃ . Soit Y la variable al´ eatoire d´ efinie par :

Y =

( 0 si X 6= 0 1 si X = 0.

On a Cov(X, Y ) = 0 et pourtant les variables al´ eatoires X et Y ne sont pas ind´ ependantes puisque

P (X = 0, Y = 0) = 0 6= 2

9 = P (X = 0) P (Y = 0) .

CHAPITRE 4. ESP ´ ERANCE DE VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES

4.3 Fonction g´ en´ eratrice

D´ efinition 4.3.1. Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N. On appelle fonction g´ en´ eratrice de X la somme de la s´ erie enti` ere de coefficients P (X = k), cad

G _X : z 7→

∞

X

k=0

P (X = k) z ^k .

Exemple 4.3.2. 1. Soit X ∼ B(p), p ∈ [0, 1]. Alors G _X (t) = 1 − p + pt, t ∈ R.

2. Soit X ∼ B(n, p), n ≥ 1, p ∈ [0, 1]. Alors G X (t) = (1 − p + pt) ⁿ , t ∈ R.

3. Soit X ∼ G(p), p ∈]0, 1]. Alors G _X (t) = _1−(1−p)t ^pt , |t| ≤ _1−p ¹ . 4. Soit X ∼ P(λ), λ > 0. Alors G X (t) = e ^λ(t−1) , t ∈ R.

Comme P ∞

k=0 P (X = k) = 1, on a G _X (1) = 1. En particulier, la s´ erie d´ efinissant G _X (z) converge pour tout |z| ≤ 1. Le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere associ´ ee ` a G _X vaut donc au moins 1. Il en r´ esulte que G _X est de classe C ^∞ sur ] − 1, 1[ et que G _X est continue en −1 et en 1. On obtient ´ egalement que P (X = 0) = G _X (0) et plus g´ en´ eralement que

P (X = n) = G ⁽ⁿ⁾ _X (0) n! .

En particulier, la s´ erie g´ en´ eratrice caract´ erise la loi. Plus pr´ ecis´ ement, on a le th´ eor` eme suivant.

Th´ eor` eme 4.3.3. Soient X et Y deux variables al´ eatoires ` a valeurs dans N telles qu’il existe r > 0 v´ erifiant :

∀t ∈ [0, r], G X (t) = G Y (t).

Alors X et Y ont la mˆ eme loi.

Proposition 4.3.4. Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N. Pour tout t ∈ [−1, 1], on a G _X (t) = E

t ^X .

Proposition 4.3.5. Soient X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N et k ≥ 1. La variable al´ eatoire X admet un moment d’ordre k si et seulement si G X est k-fois d´ erivable en 1. Dans ce cas,

G ^(k) _X (1) = E [X (X − 1) · · · (X − (k − 1))] .

Proposition 4.3.6. Soient X et Y deux variables al´ eatoires ` a valeurs dans N ind´ ependantes.

Alors

G _X+Y = G _X × G _Y .

4.4 In´ egalit´ es classiques

Proposition 4.4.1. (In´ egalit´ e de Markov) Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle positive admettant une esp´ erance. Alors, pour tout a > 0,

P (X ≥ a) ≤ E [X]

a .

CHAPITRE 4. ESP ´ ERANCE DE VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES

Proposition 4.4.2. (In´ egalit´ e de Tchebychev) Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle admettant un moment d’ordre 2. Alors, pour tout a > 0,

P (|X − E [X ] | ≥ a) ≤ V [ X ] a ² .

La proposition ci-dessus entraine que, plus la variance est petite, plus la variable al´ eatoire est concentr´ ee autour de sa moyenne : en d’autres termes, elle varie peu autour de sa moyenne (d’o` u le nom de variance).

Proposition 4.4.3. (In´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz) Soient X et Y deux variables al´ eatoires r´ eelles admettant un moment d’ordre 2. Alors XY admet une esp´ erance et

E [|XY |] ≤ p

E [X ² ] E [Y ² ].

Le r´ esultat ci-dessus permet notamment de montrer que le coefficient de corr´ elation de deux variables al´ eatoires X et Y admettant des moments d’ordre 2, d´ efini par

ρ(X, Y ) = Cov(X, Y ) σ(X)σ(Y ) v´ erifie l’in´ egalit´ e |ρ(X, Y )| ≤ 1.

Proposition 4.4.4. Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle ` a valeurs dans l’intervalle I, admettant une esp´ erance. Soit φ : I → R une fonction convexe. On suppose que la variable al´ eatoire φ(X) admet une esp´ erance. Alors

φ(E [X ]) ≤ E [φ(X )] .

L’in´ egalit´ e ci-dessus permet de retrouver le fait que |E [X] | ≤ E [|X|] (in´ egalit´ e triangulaire) et que (E [X ]) ² ≤ E

X ² . L’essentiel

• montrer qu’une variable al´ eatoire poss` ede une esp´ erance ;

• calculer une esp´ erance, variance, covariance ;

• connaitre les esp´ erances, variances des lois classiques (Bernoulli, binomiale, Poisson) ;

• calculer une fonction g´ en´ eratrice.

CHAPITRE 4. ESP ´ ERANCE DE VARIABLES AL ´ EATOIRES R ´ EELLES