() () () () CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 18 AU 20 MAI CORRECTION

CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 18 AU 20 MAI

CORRECTION

Lundi 18/05 : Pour tout n de , u

n² 1 n ² 1 .

Montrer que la suite est minorée par 1, c est montrer que, pour tout n de , u

1.

Pour cela, on peut montrer que u

1 est positif.

Soit n . u

1 n² 1

n² 1 1 n ² 1 n² 1 n² 1

2n² n² 1 0

Pour tout n de , u

1 0 donc u

1. La suite ( )

est minorée par 1.

Montrer que la suite est majorée par 1, c est montrer que, pour tout n de , u

1.

Pour cela, on peut montrer que u

1 est négatif.

Soit n , u

1 n² 1

n ² 1 1 n ² 1 n² 1 n ² 1

2 n² 1 0

Pour tout n de , u

1 0 donc u

1. La suite ( )

est majorée par 1.

La suite est minorée et majorée donc elle est bornée.

Mardi 19/05 :

Soit ( ) ^u

la suite définie sur par u

1 et u

u

3 2.

La suite est définie par récurrence et on veut montrer une propriété pour tout n de donc on pense à utiliser un raisonnement par récurrence.

Initialisation : pour n=0 : u

1 et u

1

3 2 7

3 2,33. On a 1 u

u

3 donc la propriété est vraie pour n 0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que 1 u

u

3. Montrons que 1 u

u

3.

On a 1 u

u

3 donc 1 3

u

3

u

3 1 (on divise l inégalité par 3 qui est positif donc on ne change pas le sens) donc 7

3 u

3 2 u

3 2 3 (on ajoute 2) donc 1 u

u

3 car 7

3 1.

Conclusion : pour tout n de , 1

3.

La suite ( ) ^u

est croissante (car u

) et majorée par 3 donc elle converge vers un réel L [1 3].

Mercredi 20/05 :

Par exemple :