CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 25 AU 29 MAI
CORRECTION
Lundi 25/05 :
Lorsque x va de 0 à 2 , le point M fait un tour de cercle en partant de I (à droite).
0 x
2
2 x x 3
2 3
2 x 2
cos( x) 0 cos ( x ) 0 cos (x ) 0 cos ( x) 0
sin(x ) 0 sin(x ) 0 sin(x) 0 sin( x) 0
On a donc les tableaux de signes suivants :
x
0 /2 3 /2 2
x0 2
cos(x ) sin(x )
Mardi 26/05 :
Lorsque x va de à , le point M fait un tour de cercle en partant de I (à gauche).
x 2
2 x 0 0 x
2
2 x
cos( x) 0 cos ( x ) 0 cos ( x) 0 cos ( x ) 0
sin(x ) 0 sin( x) 0 sin(x) 0 sin( x) 0
On a donc les tableaux de signes suivants :
x
/2 /2
x0
cos(x ) sin(x )
Mercredi 27/05 : ( E) : cos( x) 3 2 On remarque que 3
2 cos
6
.
On trace le cercle trigonométrique et on repère le point A associé à
6 sur le cercle.
Remarque : on sait que sin
6
1
2 donc on peut placer facilement
6 sur le cercle.
On remarque qu un autre point (le point B) symétrique de A par rapport à l axe des abscisses correspond au même cosinus.
On cherche l es nombres associ és au point
B.6 est associé à B.
1. On cherche l es s oluti ons dans l i ntervall e [0;2 ].
[0;2 ] correspond à un tour de cercl e en part ant de
I, dans le sens direct donc il y aura unesolution pour chacun des deux points dans cet intervalle.
Pour le point A :
6 [0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point A est 6 . Pour le point B :
6
[0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point B n est pas6 . Pour trouver d autres réels correspondant à B, on ajoute ou enlève des "paquets" de 2 . Ici,
6 est trop petit donc on va ajouter 2 :
6 2 11
6 et 11
6 [0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point B est 11
6 .
On a une solution pour chacun des deux points et l intervalle correspond à un tour, donc on ne passe qu une fois par chacun des deux points, donc les solutions de (E ) dans [0 2 ] sont
6 et 11 6 : S
6
11
6 . 2. On cherche l es s oluti ons dans l i ntervall e [ ] .
[ ] correspond à un tour de cercl e en partant de
I, dans le sens direct donc il y aura une solution pour chacun des deux points dans cet intervalle.
Pour le point A :
6 [ ] donc la solution dans [ ] qui correspond au point A est 6 . Pour le point B :
6 [ ] donc la solution dans [ ] qui correspond au point B est 6 . On a une solution pour chacun des deux points et l intervalle correspond à un tour, donc on ne passe qu une fois par chacun des deux points, donc les solutions de (E ) dans [ ] sont
6 et 6 : S
6 6 .
Jeudi 28/05 : (E) : sin( x ) 3 2 On remarque que 3
2 sin
3
.
On trace le cercle trigonométrique et on repère le point A associé à
3 sur le cercle.
Remarque : on sait que cos
3
1
2 donc on peut placer facilement
6 sur le cercle
On remarque qu un autre point (le point B) symétrique de A par rapport à l axe des ordonnées correspond au même sinus.
On cherche l es nombres ass oci és au point
B.3 2
3 est associé à B.
1. On cherche l es s oluti ons dans l i ntervall e [0;2 ].
[0;2 ] correspond à un tour de cercl e en part ant de
I, dans le sens direct donc il y aura unesolution pour chacun des deux points dans cet intervalle.
Pour le point A :
3 [0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point A est 3 . Pour le point B : 2
3 [0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point B est 2
3 .
On a une solution pour chacun des deux points et l intervalle correspond à un tour, donc on ne passe qu une fois par chacun des deux points, donc les solutions de (E ) dans [0 2 ] sont
3 et 2 3 : S
3
2
3 . 2. On cherche l es s oluti ons dans l i ntervall e [ ] .
[ ] correspond à un tour de cercl e en partant de
I, dans le sens direct donc il y aura une solution pour chacun des deux points dans cet intervalle.
Pour le point A :
3 [ ] donc la solution dans [ ] qui correspond au point A est 3 . Pour le point B : 2
3
[0 2 ] donc la solution dans [] qui correspond au point B n est pas 2 3 . Pour trouver d autres réels correspondant à B, on ajoute ou enlève des "paquets" de 2 . Ici, 2
3 est trop grand donc on va enlever 2 : 2
3 2 4
3 et 4
3 [ ] donc la solution dans [ ] qui correspond au point B est 4
3 .
On a une solution pour chacun des deux points et l intervalle correspond à un tour, donc on ne passe qu une fois par chacun des deux points, donc les solutions de (E ) dans [0 2 ] sont 2
3 et 4 3 : S
