CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 4 AU 7 MAI
CORRECTION
Lundi 04/05 (2h de cours) :
f est la fonction f définie par f(x) e0,01x x² Graphiquement, on obtient :
Il semble que lim
x
f(x) 0.
Déterminons cette limite par le calcul : On a une FI
On va essayer de faire apparaître eX X On pose X 0,01x.
Alors x X
0,01 100X et x² 10000X Alors, pour tout x de , f(x) eX
10000X 1 1000
eX X lim
x X lim
x 0,01x Alors lim
x f(x) .
lim
X
eX
X d après le cours donc lim
X
1 1000
eX X
Cela contredit l observation faite à la calculatrice. Cependant, si on change la fenêtre (avec x de 0 à 3000), on a :
La calculatrice ne prouve donc rien !!!!
Mardi 05/05 (1h de cours) :
Pour tout x de , on pose f(x) e2x ex x. lim
x e2x lim
x ex 0 et lim
x x donc lim
x f(x) .
En , on a une FI ( ) donc on factorise : Pour tout x de , f(x) ex
ex 1 xex lim
x
ex et lim
x
x
ex 0 donc lim
x
ex 1 xex donc lim
x f(x) .
Et lim
x
ex
Mercredi 06/05 (2h de cours) :
Pour tout x de , on pose f(x) (x² 2x 3)ex. lim
x x² 2x 3 lim
x x² et lim
x ex donc lim
x f(x) .
En , on a une FI (+ 0) donc on transforme l expression : Pour tout x de , f(x) x²ex 2xex 3ex.
D après le cours, lim
x x²ex lim
x 2xex lim
x 3ex 0 donc lim
x f(x) 0.
Jeudi 07/05 (1h de cours) :
Pour tout x de , on pose f(x) x 3 ex . lim
x x 3 et lim
x ex 0+ donc lim
x f(x) .
En , on a une FI
donc on transforme en mettant en facteur "ce qui l emporte" au numérateur (et au dénominateur en général mais ce n est pas nécessaire ici) :
Pour tout x de , f(x) x
1 3
x ex
x ex
1 3
x D après le cours, lim
x
x ex 0 lim
x
3
x 0 donc lim
x
1 3
x 1 donc lim
x f(x) 0
