() () CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 25 AU 29 MAI CORRECTION

CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 25 AU 29 MAI

CORRECTION

Mardi 02/06 :

( ) ^u

n

est définie sur par u

0

2 et u

n 1

1

3 u

n

4. Pour tout n de , on pose v

n

u

n

6.

1. Soit n . v

n 1

u

n 1

6 1

3 u

n

4 6 1

3 u

n

2 1

3 ( ^u

n

6 ) 1

3 v

n

donc la suite ( ) ^v

n

est géométrique de raison 1

3 et de premier terme v

0

u

n

6 2 6 4.

2. ( ) ^v

n

est géométrique donc, pour tout n de , v

_n

v

₀

q

ⁿ

4  

 

1 3

n

Pour tout n de , v

n

u

n

6 donc u

n

6 v

n

6 4  

 

1 3

n

.

1 1

3 1 donc lim

n

( )

^{13 n} 0 donc lim

n

u

n

6.

Mercredi 03/06 :

( ) ^u

n

est définie sur par u

n

4 2

ⁿ

1. 2 1 donc lim

n

2

ⁿ

donc lim

n

u

n

2. lim

n

u

_n

donc i l exi st e n

₀

tel que, pour tout entier n n

₀

, u

_n

10

⁷

u

n

10

⁷

 4 2

ⁿ

10

⁷

 2

ⁿ

10

⁷

4  2

ⁿ

10

⁷

4

 ln ( ) 2

ⁿ

ln ( 10

⁷

4 )

 n ln(2) ln ( 10

⁷

4 )

 n ln ( 10

⁷

4 )

ln(2) car ln(2) 0 car 2 1 l n ( 10

⁷

4 )

l n( 2) 23,25 donc le plus petit entier n

0

tel que u

n0

10

⁷

est n

0

24.

Jeudi 04/06 :

1. ( ) ^u

n

est la suite géométrique de premier terme u

0

2 et de raison 5

7 donc, pour tout n de , u

n

2  

 

5 7

n

.

1

5

7

1 donc lim

n

 

 

5 7

n

0 donc lim

n

u

n

0.

2.

lim

n

u

n

0 donc il existe un entier n

0

tel que, pour tout entier n n

0

, u

n

10

⁷

. u

n

10

⁷

 2

 

 

5 7

n

10

⁷

  

 

5 7

n

10

⁷

2  ln  

 

5 7

n

ln  

 

10 ⁷ 2

 n ln 5

7 ln  

 

10 ⁷ 2

 n ln  

 

10 ⁷ 2

ln  

 

5 7

car ln 5

7 0 car 5 7 1 ln  

 

10 ⁷ 2

ln  

 

5 7

49,96 donc le plus petit entier n

₀

tel que u

_n0

10

⁷

est n

₀

50.