CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 6 AU 10 AVRIL

CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 6 AU 10 AVRIL

CORRECTION

Lundi 6/04 :

1) 2

1 3

2 ( ^{1 3} ) ( ^{1 3} ) ( ^{1 3} )

2 6

1 3

2 6

2

6 2

2 2) signe de ln(3 x 3) 6

Il faut commencer par chercher l ensemble de définition car la fonction ln n est définie que sur ]0 [ (on ne peut calculer ln(…) que si ce qui est dans la parenthèse est strictement positif.

ln(3x 3) existe ssi 3x 3 ssi .3x 3 ssi x 1. L ensemble de définition est ] 1 [.

On ne peut pas faire un tableau de signes avec 2 lignes car on n a pas un produit.

On ne peut pas factoriser (pas de facteur commun ni d identité remarquable) donc on résout les inéquations ln(3x 3) 6 0 et ln(3 x 3) 6 0.

ln(3x 3) 6 0  ln(3 x 3) 6  3x 3 e

car la fonction exp est strictement croissante sur

 3x e

3

 x e

3 3 De même ln(3x 3) 6 0  x e

3

3 e

3

3 133,5 1

On peut donc construire le tableau suivant : x 1 e

3

3 ln(3x 3) 6

Mardi 7/04 :

1) A 3 2 10 10 500 3 125 3 20 10 500 3 125

A 3 4 5 10 100 5 3 25 5

A 3 2 5 10 1 0 5 3 5 5

A 6 5 100 5 15 5

A 79 5

2) Signe de 2e

4e

16 L ensemble de définition est .

On ne peut pas faire un tableau de signes avec 3 lignes car on n a pas un produit.

On ne peut pas factoriser (pas de facteur commun ni d identité remarquable) On pose X e

. Alors X ² ( ) ^e

^e

Ainsi 2e

4 e

16 2 X² 4X 16

On cherche les racines de 2 X² 4X 16 : 144 donc le trinôme a deux racines : 2 et 4.

On factorise alors en utilisant a ( ^{x x}

) ( ^{x x}

) ^:

Pour tout réel X, 2 X² 4X 16 2( X 2)( X 4)

En particulier, pour X e

, on a : 2e

4 e

16 2 ( ^e

² ) ( ^e

⁴ )

L expression est factorisée donc on peut faire un tableau de signes.

Pour tout réel x, e

0 donc e

2 0

e

4 0  e

4  x ln(4) car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 [.

De même, e

4 0  x ln(4).

On a donc le tableau :

x ln(4) 2

e

2 e

4 2e

4e

16

Mercredi 8/04 :

1) Résoudre x 3 x 4 0. L équation est définie sur [0 [ car x existe ssi x 0.

On pose X x , alors X² x puisque x 0.

x 3 x 4 0 

 

 X ² 3 X 4 0

X x

On résout X² 3X 4 0 : 24 donc le trinôme a deux racines : X

4 et X

1.

Ainsi, x 3 x 4 0 

 

 X x

X 4 ou X 1  x 4 ou x 1  x 16 ( x 1 n a pas de solution)

La solution de l équation est 16.

2) Signe de ( ^e

⁵ ) ^{ln( 2x 2)}

ln( 2 x 2) existe ssi 2x 2 0 ssi 2x 2 ssi x 1 Penser à changer le sens de l inégalité quand on divise par 2 ! L ensemble de définition est ] 1[.

L expression est factorisée donc on peut faire un tableau de signes Pour tout réel x, e

0 docn e

5 0

ln( 2 x 2) 0  2 x 2 1  2x 1  x 1

2 De même, ln( 2x 2) 0  x 1

2 On a donc le tableau :

x 1/2 1 e

5

ln( 2 x 2)

( ^e

⁵ ) ^{ln( 2 x 2)}

Jeudi 9/04 :

1) 4

5

4 5 5 2) Signe de e

e

L ensemble de définition est . Méthode 1 :

On factorise en repérant que le facteur commun est e

Pour tout réel x, e

e

e

( ^e

¹ )

Pour tout x, e

0

e

1 0  e

1  x 0. De même e

1 0  x 0.

On a donc le tableau :

x 0 e

e

1 e

( ^e

¹ )

Méthode 2 :

On résout les inéquations :

e

e

0  e

e

 5 x 4 x car la fonction ln est strictement croissante sur +*

 x 0 (on enlève 4 x de chaque côté)

De même, e

e

0  x 0 On a donc le tableau :

x 0

e

e