CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 6 AU 10 AVRIL
CORRECTION
Mardi 14/04 (1h de cours) :
Déterminer le nombre de points d intersection entre les courbes d équations y x
3et y 2 x 7 revient à déterminer le nombre de solutions de l équation x
32x 7 ou encore x
32x 7 0.
On ne sait pas résoudre cette équation. On ne cherche pas ses solutions mais juste leur nombre. On pense alors à utiliser le TVI.
Soit f la fonction définie sur par f(x ) x
32 x 7.
f est dérivable sur . Pour tout x de , f (x ) 3 x² 2 0 (car le carré d un réel est positif ou nul donc si on lui ajoute 2, le résultat est 0)
On a donc le tableau ci-dessous :
x lim
x
f(x ) lim
x
x
3lim
x
f(x ) lim
x
x
3signe de f (x )
variations de f
f est continue et strictement croissante sur ; lim
x
f(x ) ; lim
x
f(x ) et 0 ] [ donc l équation
f(x ) 0 admet une unique solution dans .
Il existe donc un unique réel tel que f( ) 0, c'est-à-dire
32 7 0, c'est-à-dire
32 7.
Les courbes d équations y x
3et y 2x 7 ont donc un unique point d intersection, qui est le point d abscisse .
Mercredi 15/04 (2h de cours) :
Déterminer le nombre de points d intersection entre la courbe de la fonction f définie par f(x ) e
x1
x et l’axe des abscisses revient à déterminer le nombre de solutions de l équation e
x1
x 0
Comme dans la question de mardi, on ne cherche pas à résoudre l équation mais juste à trouver le nombre de ses solutions.
La valeur interdite est 0.
Soit f la fonction définie sur * par f(x ) e
x1 x . f est dérivable sur *. Pour tout x de *, f (x) e
x1
x² 0 car e
x0 et 1
x² 0 pour x non nul.
lim
x
e
x0 et lim
x
1
x 0 donc lim
x
f(x ) 0
lim
x 0
e
x1 et lim
x 0
1
x donc lim
x 0
f(x ) lim
x 0
e
x1 et lim
x 0
1
x donc lim
x 0
f(x) lim
x
e
xet lim
x
1
x 0 donc lim
x
f(x) On a donc le tableau ci-dessous :
x 0 signe de f (x )
variations de f 0
Sur ] 0[ : f(x ) 0 donc l équation f(x ) 0 n a pas de solution dans cet intervalle.
Sur ]0 [, f est continue et strictement croissante ; lim
x 0
f(x) ; lim
x
f(x ) et 0 ] [ donc
l équation f(x ) 0 admet une unique solution dans ]0 [.
Alors l équation f(x ) 0 admet une unique solution dans .
La courbe de f coupe donc l axe des abscisses en un seul point.
Jeudi 16/04 (1h de cours) :
Déterminer le nombre de points d intersection entre les courbes des fonctions f et g définies par f(x) ln(5 2x ) et g (x ) x revient à déterminer le nombre de solutions de l équation f(x ) g (x).
ln(5 2 x) existe ssi 5 2x 0 ssi x 5
2 . f est définie sur
5
2 et g est définie sur . f(x ) g(x ) ln(5 2x) x ln(5 2x) x 0.
On cherche donc le nombre de solutions de l équation ln(5 2x) x 0 dans
5 2 Soit h la fonction définie sur
5
2 par h(x ) ln(5 2x) x . h est dérivable sur
5
2 . Pout tout x 5
2 , h (x ) 2
5 2x 1 2 (5 2 x)
5 2x
2 x 7 5 2x Cherchons lim
x
h (x) : On pose X 5 2x . lim
x
X et lim
X
ln( X) donc lim
x
ln(5 2 x) Et lim
x
x donc lim
x −
h (x)
Cherchons lim
x 5
2
h (x) : On pose X 5 2x . lim
x 5
2
X 0
+et lim
X 0
ln( X) donc lim
x 5
2
ln(5 2 x) Et lim
x 5
2
x 5
2 donc lim
x 5
2
h(x )
On a donc le tableau ci-dessous :
x 5
2 2x 7 0 pour x 7 2 5 2 x 0 pour x 5
2
2 x 7 5 2x signe de h (x) variations de h Sur
5
2 , h est continue et strictement décroissante ; lim
x −
h (x ) ; lim
x 5
2
