() () () () CALCUL MENTAL 1ère spécialité SEMAINE DU 23 AU 27 MARS CORRECTION

CALCUL MENTAL 1ère spécialité

SEMAINE DU 23 AU 27 MARS CORRECTION

Ce qui est en bleu est destiné à être dit à l oral, pas à être écrit.

Lundi 23/03 :

Variations par trois méthodes de la suite définie par u n n² 2n 6

Méthode 1. On étudie le signe de u n 1 u n . Cette méthode peut s appliquer pour les suites définies de façon explicite et pour les suites définies par récurrence.

Soit n .

On calcule d abord u n 1 en remplaçant les n par des n 1 :

u n 1 (n 1)² 2( n 1) 6 n² 2n 1 2n 2 6 n ² 4n 9.

On calcule un 1 un en n oubliant pas les parenthèses :

u n 1 u n ( n² 4n 9) (n ² 2n 6) n² 4n 9 n ² 2n 6 2 n 3 On cherche le signe en se rappelant bien que n et donc que n 0

n étant positif ou nul, 2 n 3 est strictement positif, c'est-à-dire u n 1 u n 0.

On conclut

La suite ( ) ^{u n} est croissante.

Méthodes 2 et 3. On utilise une fonction. Attention : cette méthode ne s applique qu aux suites définies de façon explicite.

On commence par définir la fonction f définie sur [0 [ telle que f( n) u n . Pour cela, on remplace les n par des x dans l expression de u n .

Soit f la fonction définie sur [0 [ par f (x ) x² 2x 6.

On va maintenant étudier les variations de f. f étant une fonction polynôme de degré 2 donc on a deux méthodes pour déterminer ses variations :

Méthode 2 : on cherche la dérivée. Cette méthode peut s appliquer avec toutes les fonctions.

f est dérivable sur [0 [. Pour tout x 0, f (x ) 2 x 2.

On cherche maintenant le signe de la dérivée pour déterminer les variations de la fonction de départ.

f est une fonction affine. On peut construire le tableau suivant :

On peut construire au brouillon le tableau suivant sur puis ne recopier que la partie sur [0 [ 2x 2 0 pour x 1 et a 2 donc " puis "

x 1 0 signe de f (x ) 2x 2

variations de f

x 0

signe de f (x ) 2x 2 +

variations de f

On conclut en utilisant le sens de variation de f sur [0 [ : si f est monotone (croissante ou décroissante) sur +, alors ( ) ^{u n} a le même sens de variation.

f est croissante sur [0 [ donc ( ) ^{u n} est croissante.

Attention : ( ) ^{u n} est croissante tout court, pas sur [0 [ car n ne prend que des valeurs entières.

Méthode 3 : on utilise le cours sur le second degré. Cette méthode ne peut s appliquer que pour les fonctions polynômes de degré 2.

f est la fonction définie sur [0 [ par f (x ) x² 2x 6.

a 1 donc la fonction est décroissante puis croissante. b 2 a

2

2 1 1 et

f( 1) ( 1)² 2 ( 1) 6 5.

On peut construire au brouillon le tableau suivant sur puis ne recopier que la partie sur [0 [

x 1 0 variations de f

x 0 variations de f

On conclut en utilisant le sens de variation de f sur [0 [ : si f est monotone (croissante ou décroissante) sur +, alors ( ) ^{u n} a le même sens de variation.

f est croissante sur [0 [ donc ( ) ^{u n} est croissante.

Mardi 24/03 :

Variations de la suite définie par

 

 u 0 4

u _{n 1} u _n n² 1 .

La suite étant définie par récurrence, on ne peut pas utiliser de fonction. On ne peut utiliser que la méthode 1 vue lundi.

Soit n . u n 1 u n ( ^{u n n ² 1} ) ^{u n u n n ² 1 u n n ² 1.}

Le carré d un réel est toujours positif ou nul donc n² 1 0.

u n 1 u n 0 donc la suite ( ) ^{u n} est décroissante.

Variations de la suite définie sur par u n

2 n 4 n 5

On peut choisir entre les méthodes 1 et 2 mais la 2 me paraît plus simple.

Méthode 1 : Soit n .

u _{n 1} 2( n 1) 4 n 1 5

2 n 6 n 6 u n 1 u n

2n 6 n 6

2n 4 n 5

(2n 6)(n 5) (n 6)(n 5)

(2n 4)(n 6)

(n 6)(n 5) on réduit au même dénominateur u n 1 u n

(2n 6)(n 5) (2 n 4)( n 6) (n 6)(n 5)

(2 n² 6n 10n 30) (2 n² 4n 6n 24) ( n 6)( n 5)

u n 1 u n

2n ² 16n 30 2 n ² 10n 24 (n 6)(n 5)

6 n 6 ( n 6)(n 5) n étant positif, 6n 6 0 ; n 6 0 et n 5 0 donc u n 1 u n 0 La suite ( ) ^{u n} est donc croissante.

Méthode 2 :

Soit f la fonction définie sur [0 [ par f (x ) 2x 4 x 5 . La valeur interdite est 5 donc f est dérivable sur [0 [.

Pour tout x 0, f ( x) 2(x 5) (2x 4)1 (x 5) ²

2x 10 2 x 4 (x 5) ²

6

( x 5) ² 0 car le carré d un réel est positif. On peut construire le tableau suivant :

x 0 6

(x 5) ² signe de f (x) 6

(x 5) ²

+

variations de f

f est croissante sur [0 [ donc ( ) ^{u n} est croissante.

Jeudi 26/03 (1h de cours) :

Variations de la suite définie sur par u n n ³ n² 5 n 4.

On pourrait ici utiliser les méthodes 1 et 2 mais, pour la méthode 1, il faudra développer (n 1) ³ et les risques d erreurs sont élevés. Je ne corrigerai ici en dét ail que la méthode 2.

Avec la méthode 1, vous trouvez u n 1 u n 3n ² 5n 3. On en cherche ensuite le signe en calculant le discriminant puis les racines.

Avec la méthode 2 :

Soit f la fonction définie sur [0 [ par f (x ) x ³ x ² 5 x 4.

f est dérivable sur [0 [.

Pour tout x 0, f ( x) 3x² 2x 5.

On cherche le signe du trinôme 3x ² 2x 5 : C est un trinôme donc on calcule le discriminant .

2² 4 3 ( 5) 64 0 donc le trinôme a deux racines : x 1

2 64

2 3

5

3 et x 2 1 et il est du signe de a 3 sauf entre ces racines.

On peut construire au brouillon le tableau suivant sur puis ne recopier que la partie sur [0 [

x 5

3 1

signe de f (x ) 3 x² 2x 5 +

variations de f

x 0 1

signe de f (x ) 3 x² 2x 5 +

variations de f

On conclut en utilisant le sens de variation de f sur [0 [ : si f est monotone (croissante ou décroissante) sur +, alors ( ) ^{u n} a le même sens de variation.

f est n est pas croissante sur [0 [ mais sur [1 [ donc ( ) ^{u n} est croissante à partir du rang 1.