CALCUL MENTAL 1ère spécialité
SEMAINE DU 6 AU 10 AVRIL CORRECTION
Rappels :
On commence par chercher l ensemble de définition des fonctions. Ensuite : pour étudier le signe d une expression :
- si c est une fonction affine, on fait directement le tableau de signes
- si c est un trinôme, on calcule le discriminant, les racines éventuelles et on utilise le th sur le signe d un trinôme pour construire le tableau de signes
- si c est une exponentielle, elle est toujours strictement positive
- si c est un produit ou un quotient, on fait un tableau de signes en utilisant pour chaque ligne les méthodes précédentes
- sinon, on met au même dénominateur et on factorise avant de faire un tableau de signes pour étudier les variations d une fonction :
- on calcule sa dérivée et on cherche le signe de cette dérivée en utilisant les méthodes ci-dessus. On complète ensuite le tableau avec les variations de la fonction.
- si c est un trinôme, on peut aussi utiliser le cours du chapitre sur le second degré avec et . - si c est une fonction affine, on peut utiliser le cours de seconde et le signe du coefficient directeur.
Lundi 6/04 : f(x) x² 2x 3
f est définie sur car c est une fonction polynôme de degré 2.
Signe de f(x ) :
c est un trinôme donc on calcule le discriminant et les racines : 16 donc le trinôme a deux racines qui sont x1 1 et x2 3 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines.
On a donc le tableau de signes :
x 1 3 f(x)
Variations de f :
Méthode 1 : f(x) est un trinôme du second degré. Le coefficient de x² est 1 0 donc f est décroissante puis croissante (parabole en U).
b 2a
2
2 1 1 et f( ) 1² 2 1 3 4. On a donc le tableau de variations : x 1
f(x)
4
Méthode 2 : f est dérivable sur . Pour tout x de , f (x) 2x 2. f est une fonction affine donc on peut facilement trouver son signe.
On a le tableau :
x 1
2x 2 0 pour x 1 et le coeff directeur est 2 0
f(1) 1² 2 1 3 4
signe de f (x) variations d e f
4
Mardi 7/04 : f(x) 2x 4
5 x
Signe de f(x) :
5 x 0 pour x 5. La val eur i nt erdite est 5 : f est définie sur \{5}.
f est un quotient de fonctions affines donc on peut faire le tableau de signes :
x 2 5
2x 4 0 pour x 2 et le coeff directeur est 2 0 5 x 0 pour x 5 et le coeff directeur est 1 0
2x 4 5−x f(x)
Variations de f : f est dérivable sur {5}.
Pour tout x5, f (x) 2(5 x) (2x 4)( 1) (5 x)²
10 2x ( 2x 4) (5 x)²
10 2x 2x 4 (5 x)²
14 (5 x)² On peut construi re le tableau sui vant :
x 5
( 5 x) ² 0 car c est un carré
14 (5 x)²
signe de f (x) + +
variations d e f
Jeudi 9/04 : f(x) x² x 2 2x² 3x 5
On cherche les VI : on résout 2x² 3x 5 0 :
49 donc le trinôme a deux racines qui sont x1 2,5 et x2 1.
f est définie sur \{ 2,5 1}.
Signe de f(x ) :
Signe de x² x 2 : 9 donc le trinôme a deux racines qui sont x1 2 et x2 1 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines.
Signe de 2x² 3x 5 : on a vu que les racines sont 2,5 et 1 et le trinôme est du signe de a 2 0 sauf entre ces racines.
On peut construi re le tableau sui vant :
x 2,5 2 1 x² x 2
2x² 3x 5
f(x) + +
Variations de f :
f est dérivable sur \{ 2,5 1}.
Méthode 1 :
Pour tout x de \{ 2,5 1}
f (x) (2x 1)(2x² 3x 5) (x² x 2)(4x 3) (2x² 3x 5)²
x² 2x 1 (2x² 3x 5)²
(x 1)²
(2x² 3x 5)² on reconnaît l identité remarquable au numérateur. Sinon, on calcule pour trouver la racine et le signe.
On a déjà étudié le signe de 2x² 3x 5 au dessus.
On a le tableau :
x 2,5 1
l e c a r r é d u n r é e l e s t p o s i t i f o u n u l
(x 1)² (2x² 3x 5)²
signe de f (x) variations d e f
Méthode astucieuse (parfois utile dans le cas où la méthode 1 donne des cubes au numérateur) : On a vu, en étudiant le si gne de f(x), que 1 était une racine des deux trinôm es.
On s ait que si x1 et x2 sont les racines, alors a x² bx c a
(
x x1) (
x x2)
.Ici, on a donc x² x 2 1(x 1)(x 2) et 2x² 3x 5 2(x 1)(x 2,5) Alors, pour tout x de \{ 2,5 1}, f(x) (x 1)(x 2)
2(x 1)(x 2,5)
x 2 2(x 2,5)
x 2 2x 5. f est dérivable sur \{ 2,5 1}.
Pour tout x de \{ 2,5 1}, f (x) 1(2x 5) (x 2)2 (2x 5)²
1 (2x 5)² On a le tableau :
x 2,5 1
l e c a r r é d u n r é e l e s t p o s i t i f o u n u l
1 (2x 5)² signe de f (x) variations d e f
Il ne faut pas oublier la valeur interdite 1 dans le tableau même si on a simplifié par x 1.
