Méthodologie et outils mathématiques pour la physique

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Licence 1

^ère

année

Méthodologie et outils mathématiques pour la physique

Equations/méthodologie : analyser un problème en physique Rappels de géométrie et de trigonométrie

Vecteurs et projections Produit vectoriel

Le calcul différentiel en physique Le calcul intégral en physique Les équations différentielles Dérivées de vecteurs

Loïc Lanco

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Avant-propos 1 1 Manipulation d’équations : rappels des principaux concepts 3

1.1 Mise en jambe : opérations sur les équations . . . 3

1.2 Equations du second degré et forme canonique . . . 5

1.3 Systèmes d’équations linéaires et non linéaires . . . 8

1.4 Fonctions et fonctions réciproques . . . 9

1.5 Exponentielles et logarithmes . . . 11

1.6 Exercices complémentaires . . . 14

2 Méthodologie : analyser un problème physique 17 2.1 Grandeurs physiques et contraintes . . . 17

2.2 N inconnues, N équations . . . 18

2.3 Exemple physique : la relation de conjugaison objet-image . . . 19

3 Géométrie et trigonométrie 29 3.1 Radians et degrés . . . 29

3.2 Quelques règles géométriques . . . 30

3.3 Triangles rectangles et trigonométrie . . . 32

3.4 Géométrie et trigonométrie dans les triangles non-rectangles . . . 34

3.5 Le cercle trigonométrique . . . 35

3.6 Fonctions réciproques : arcsinus, arccosinus et arctangente . . . 37

4 Les vecteurs 43 4.1 Introduction . . . 43

4.2 Vecteurs unitaires, projections et composantes . . . 45

4.3 Le produit scalaire : définition . . . 48

4.4 Commutativité, linéarité et distributivité du produit scalaire . . . 49

4.5 Base orthonormée et ensemble de composantes . . . 51

4.6 Calcul de produits scalaires dans une base orthonormée . . . 55

4.7 Application à la géométrie plane : coordonnées cartésiennes et polaires 58 4.8 Exercices complémentaires . . . 60

5 Le produit vectoriel 65 5.1 Le produit vectoriel : définition . . . 65

5.2 Produit vectoriel par un vecteur unitaire . . . 67

5.3 Anticommutativité, linéarité et distributivité du produit vectoriel . . 68

5.4 Calcul de produits vectoriels dans une base orthonormée directe . . . 70

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6 Le calcul différentiel 77

6.1 Rappel : la notion de dérivée en mathématique . . . 77

6.2 Différentielles et dérivées en physique . . . 78

6.3 Interprétation graphique et variations de la dérivée . . . 82

6.4 Dérivées de fonctions composées . . . 85

6.5 Dérivées de fonctions réciproques . . . 88

7 Le calcul intégral 95 7.1 Rappel : l’intégrale en mathématiques . . . 95

7.2 Intégrale et somme . . . 97

7.3 L’intégrale en physique : un premier exemple . . . 99

7.4 Intégrales et primitives . . . 100

7.5 La technique du changement de variable . . . 105

7.6 Intégrales avec une borne variable . . . 108

8 Equations différentielles du premier ordre 113 8.1 Equations différentielles en mathématiques . . . 113

8.2 Equations différentielles directement intégrables . . . 115

8.3 Equations du premier ordre et séparation des variables . . . 117

8.4 Application 1 : désintégration d’un atome radioactif . . . 118

8.5 Application 2 : chute libre avec frottements visqueux . . . 120

9 Dérivées de vecteurs et cinématique 123 9.1 Introduction : différentielle et dérivée temporelle d’un vecteur . . . 123

9.2 Application : cinématique dans la base cartésienne 2D . . . 124

9.3 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires . . . 128

9.4 Application : cinématique des mouvements tournants . . . 131

9.5 Dérivées de vecteurs : règles générales . . . 134

9.6 Dérivées de vecteurs en base polaire . . . 136

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Ce polycopié a pour but de rappeler ou d’introduire des notions indispensables au calcul en physique, en présentant ces notions avec le langage des physiciens. La rigueur mathématique n’est pas l’objectif de ce texte : les résultats sont certes démontrés, mais sous une forme simplifiée, de façon à faire comprendre la signification concrète des quan- tités manipulées. Tout étudiant parvenant à vraiment comprendre ces concepts, et à les exploiter dans ses raisonnements scientifiques, aura accompli un pas gigantesque vers le succès de ses études.

Il n’est pas simple de faire le lien entre physique et outils mathématiques, et l’enseignement du lycée n’en fait pas forcément une priorité. Ainsi, tandis que les mathématiciens présentent d’élégantes règles générales, les physiciens se concentrent souvent sur la physique associée à tel ou tel cas particulier. C’est pourtant le passage de l’un à l’autre qui doit devenir une compétence naturelle pour chaque étudiant. Ce polycopié est donc constitué de nombreux allers-retours entre règle générale et application à une situation concrête. Les notations typiques des mathématiques sont généralement évitées dans ce texte : la seule façon d’introduire le sens des concepts qui nous intéressent, c’est d’utiliser dès le départ les mots et les symboles que tous les physiciens emploient dans leurs raisonnements.

A la première lecture, en début de L1, l’étudiant sera certainement dérouté par la nouveauté des concepts présentés - ou du moins par la nouveauté du langage utilisé pour les présenter. A la quatrième lecture, fort de son expérience dans les différentes unités d’enseignement, ces notions lui apparaîtront limpides : il pourra s’appuyer sur ces bases pour étudier des concepts encore plus complexes. Il va sans dire que le motlecture désigne ici, comme pour tout texte scientifique, un processus actif qui demande un acharnement constant et implique de refaire tous les calculs, de se forcer à démontrer par soi-même tous les résultats. En cas de difficulté, il est également très conseillé de faire de nombreux allers- retours entre ce polycopié et les ouvrages de Terminale, qui contiennent toutes les bases préalables à la compréhension des raisonnements présentés ici. Du travail en perspective, donc ! Mais il ne faut pas sous-estimer le plaisir éprouvé lorsqu’on se découvre capable de démontrer, par soi-même et avec une compréhension approfondie, des résultats qui peu de temps auparavant nous paraissaient totalement dénués de sens.

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Manipulation d’équations : rappels des principaux concepts

Avant même de pouvoir résoudre un problème physique (une question qui sera abordée au chapitre 2), il faut maîtriser la manipulation d’équations diverses et variées. Ce chapitre constitute un rappel des principales techniques et des principaux outils mathématiques avec lesquels les scientifiques exploitent leurs équations, afin d’en extraire l’information dont ils ont besoin. Ce sont ces outils de base qui seront ensuite utilisés tout au long de ce polycopié.

1.1 Mise en jambe : opérations sur les équations

Pour résoudre une équation il n’y a au fond qu’une seule recette, une seule règle fondamentale :on manipule une égalité en appliquant la même opération au terme de gauche et au terme de droite. En notations mathématiques :a=b ⇒ O(a) =O(b), oùOdésigne une opération quelconque. Il est possible de résoudre de très nombreuses équations avec cette seule règle, appliquée de diverses manières.

A titre de première illustration, commencons par l’équation suivante, à partir de laquelle on veut déduire la quantité x en fonction des autres grandeurs :

y=p

R²−x² (1.1)

La première chose à faire, pour voir plus clair dans cette équation, est de se débarrasser de la racine : pour cela on prend le carré du terme de droite. Il faut alors prendre aussi le carré du terme de gauche (c’est-à-dire appliquer la règlea=b ⇒ a² =b²) :

(1.1) ⇒ y²=R²−x² (1.2)

On souhaite maintenant que le terme en x² soit à gauche, et le terme eny² à droite. Ceci s’obtient en ajoutantx²−y² de part et d’autre de l’égalité :

(1.2) ⇒ x² =R²−y². (1.3)

Pour faire apparaître x et nonx², on doit prendre la racine du terme de gauche, et donc aussi celle du terme de droite (a=b ⇒ √

a=√ b) :

(1.3) ⇒ √

x² =p

R²−y². (1.4)

(8)

Peut-on maintenant considérer que x =√

x²? Cela n’est vrai que si x est positif, et si x est négatif alors au contrairex=−√

x². On obtient donc le résultat final : (1.4) ⇒ x=±p

R²−y². (1.5)

Il est important de remarquer ici que nous n’avons pas démontré une équivalence mais une implication : (1.1)⇒(1.2) ⇒(1.3)⇒(1.4)⇒(1.5). Ceci signifie que si l’égalité (1.1) est vraie, alors l’égalité (1.2) le sera également, et ainsi de suite jusqu’à l’égalité (1.5). Par contre, l’implication réciproque est fausse, c’est à dire que, si l’égalité (1.5) est vraie, l’éga- lité (1.1) ne le sera pas forcément (on peut par exemple prendre la valeur y=−√

R²−x², et en déduire que x = ±p

R²−y² : dans ce cas particulier l’égalité (1.5) est vraie alors que l’égalité (1.1) ne l’est pas). Il n’y a donc pas équivalence entre les relations (1.1) et (1.5), puisque la seconde peut-être vraie même si la première ne l’est pas¹.

Prenons comme deuxième exemple l’équation ci-dessous (souvent rencontrée en optique), pour laquelle l’information intéressante est une distance l⁰ que l’on souhaite exprimer en fonction de deux autres distances l etf, toutes ces distances étant non-nulles :

1 l +1

l⁰ = 1

f (1.6)

Comment en déduirel⁰? Pour commencer, on souhaite ne voir que le terme en _l¹0 à gauche, ce qui implique de soustraire ¹_l de part et d’autre de l’équation :

(1.6) ⇒ 1 l⁰ = 1

f −1

l. (1.7)

Pour exprimerl⁰, on doit ensuite prendre l’inverse du terme de gauche. Il faut alors prendre également l’inverse du terme de droite (a=b ⇒ ¹_a = ¹_b) :

(1.7) ⇒ l⁰ = 1

1

f −¹_l (1.8)

Ce résultat est juste mais peut encore être simplifié en multipliant les termes de gauche et de droite par ^lf_lf. Puisque ^lf_lf = 1, ceci ne change rien au terme de gauche, mais le fait de faire apparaîtrelf à la fois au dénominateur et au numérateur du terme de droite permet de faire quelques simplifications :

(1.8) ⇒ l⁰ = lf lf

1

f −¹_l = lf

l−f (1.9)

En général, en utilisant une règle du type a = b ⇒ O(a) = O(b), avec O une opération quelconque appliquée de part et d’autre d’une égalité, on ne démontre qu’une

1. Attention : pour deux propositionsAetB la relation d’implicationA⇒Bnous indique que siAest vraie,B doit être vraie ; elle nous indique aussi que, si la propositionB est fausse, alorsAdoit être fausse également. Par contre, la relation d’implicationA⇒B n’exclut pas queAsoit fausse et queB soit tout de même vraie, ou bien queBsoit vraie et queAsoit tout de même fausse. C’est toute la différence avec une relation d’équivalence A⇔B, qui signifie que les deux propositions ont la même “valeur de vérité” : elles sont, soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses

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implication et pas une équivalence. C’est ce qui a été fait ci-dessus : nous avons démontré les implications successives (1.6) ⇒ (1.7) ⇒ (1.8) ⇒ (1.9). Mais le lecteur peut aisément faire un cheminement inverse et vérifier que (1.9) ⇒ (1.8) ⇒ (1.7) ⇒ (1.6). Dans le cas présent il y a donc bien équivalence entre les relations (1.6) et (1.9)².

Exercice 1.1 - Résolution d’équations simples (entraînement)

Exprimer les quantités demandées ci-dessous à partir de l’équation fournie,en indiquant quelles sont les opérations effectuées pour passer d’une équation à la suivante;

a) A partir de l’équation ¹₂gt²=H, avect >0, déterminert en fonction deg etH.

b) A partir de l’équation _R¹

1 + _R¹

2 = _R¹, déterminerR₁ en fonction de R etR₂. c) A partir de l’équationcos²θ+ sin²θ= 1, déterminer cosθ en fonction desinθ.

d) A partir de l’équationl⁰= _l+f^lf , déterminer f en fonction del etl⁰. e) A partir de l’équationl=l₀

q

1−^v_c₂², déterminerv en fonction del,l₀, etc.

f) A partir de l’équation _(ω−ω^Γ²

0)²+Γ² = ¹₂, déterminerω en fonction deω0 etΓ.

Exemplede rédaction détaillé

ep ourla question

a) ¹

gt 2

= 2

⇒ H

2 t

2H = (multiplication g 2 par

) g

√ ⇒

2 t

= q

2H

(racinedes g

deuxtermes précédents)

⇒ t

=+

q

2H

(car g

t>

0,sinon nousaurions

t

± = q

2H

) g

Les exemples ci-dessus pourront paraître triviaux à l’étudiant expérimenté, et en pratique, bien sûr, il n’est jamais demandé de justifier explicitement chaque ligne de calcul.

C’est particulièrement en cas de doute, et lorsqu’on cherche à vérifier la justesse d’un calcul, qu’il faut avoir clairement en tête la liste des opérations effectuées d’une ligne à l’autre. Dans le cas de l’équation (1.6), par exemple, une erreur commune serait d’écrire

1

l + _l¹0 = _f¹ ⇒ l+l⁰ = f. Il s’agit bien d’une faute de calcul, puisque le passage d’une équation à la suivante n’a pas été obtenu par l’application d’une même opération aux deux termes de l’équation.

1.2 Equations du second degré et forme canonique

On rencontre souvent, au lycée, des polynômes du second degré mis sous la forme développée, comme l’est par exemple le polynôme P(x) exprimé ci-dessous :

P(x) =x²+ 6x+ 8 (1.10)

Pour mieux appréhender ces polynômes, il est nécessaire de savoir les exprimer sous la forme canonique, c’est-à-dire :

P(x) = (x+ 3)²−1, (1.11)

2. De façon générale, on note A⇔ B une relation d’équivalence entre deux propositions A etB, ce qui se lit comme “Aéquivalent àB”. Le signe⇔illustre bien l’idée qu’il s’agit d’une implication dans les deux sens :A impliqueB etB impliqueA. Une formulation alternative couramment utilisée, est que la propositionAest vraiesi et seulement sila propositionB est vraie.

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ainsi que sous la forme factorisée :

P(x) = (x+ 4)(x+ 2) (1.12)

Parmi ces différentes expressions, la forme factorisée a comme avantage qu’elle indique directement les solutions de l’équationP(x) = 0, appelées lesracines du polynôme³. Mais ce qui nous intéresse de façon plus fondamentale est la forme dite canonique, P(x) = (x+ 3)²−1. En effet, cette forme décrit directement l’évolution deP(x), fonction manifestement parabolique possédant un minimum enx=−3, avec une valeur minimale P(−3)qui vaut

−1. Elle nous permet également de retrouver la forme factorisée, et donc les racines du polynôme, grâce à l’identité remarquable a²−b²= (a+b)(a−b) :

P(x) = (x+ 3)²−1

⇒P(x) = (x+ 3 + 1)(x+ 3−1)

⇒P(x) = (x+ 4)(x+ 2)

La forme canonique permet également de retrouver la forme développée de façon instan- tanée, grâce à l’identité remarquable (a+b)² =a²+ 2ab+b² :

P(x) = (x+ 3)²−1

⇒P(x) = (x²+ 6x+ 9)−1

⇒P(x) = x²+ 6x+ 8

Bien entendu, pour retrouver la forme canonique en partant de l’expression développée, il suffit simplement de faire le raisonnement précédent à l’envers, c’est-à-dire :

P(x) = x²+ 6x+ 8

⇒P(x) = (x²+ 6x+ 9)−1

⇒P(x) = (x+ 3)²−1

(1.13) Attelons-nous, par ce type de raisonnement, à résoudre de façon générale l’équation du second degré ax²+bx+c= 0. Pour mettre le polynômeP(x) =ax²+bx+csous forme canonique, on commence par mettre aen facteur :

P(x) =a

x²+ b ax+c

a

(1.14) On réalise alors que la quantitéx²+_a^bxse retrouve dans l’identité remarquable x+_2a^b 2

= x²+ ^b_ax+ _2a^b 2

. On écrit donc : x²+ b

ax=

x+ b 2a

2

− b

2a 2

, (1.15)

d’où l’on déduit une expression deP(x) : P(x) =a

"

x+ b

2a 2

− b

2a 2

+ c a

#

(1.16)

3. Tout produitAB est nul si et seulement siA= 0ouB= 0: l’équation(x+ 4)(x+ 2) = 0est donc équivalente à “x+ 4 = 0oux+ 2 = 0”. Les racines du polynômes P(x) = (x+ 4)(x+ 2), c’est à dire les valeurs dexpour lesquellesP(x) = 0, sont donc égales à−2et−4.

(11)

On en conclut queP(x) est bien sous la forme canonique, puisque P(x) =a

"

x+ b

2a 2

− ∆ 4a²

#

, (1.17)

avec ∆ =b²−4ac. On retrouve également le fait que lorsque le déterminant∆est positif, l’équationP(x) = 0a deux solutions réelles. En effet,P(x)peut alors être mise sous forme factorisée :

P(x) =a

"

x+ b 2a+

√

∆ 2a

! x+ b

2a−

√

∆ 2a

!#

(1.18)

Il est toujours important, en physique, de visualiser l’évolution d’une grandeur, et c’est un des intérêts majeurs de la forme canonique. La représentation graphique de P(x) = a

h

x+_2a^b 2

−_4a^∆2

i

est tout simplement une parabole dont l’extrêmum est en x =−_2a^b , avec une valeur de P directement calculable en ce point : P x=−_2a^b

=−_4a^∆. La courbure, c’est-à-dire la convexité de la parabole, sera donnée par la valeur de a. De plus, lorsque∆est positif, les solutions de l’équationP(x) = 0apparaitront naturellement de part et d’autre de l’extrêmum, la parabole croisant l’axe des abscisses aux deux points x= ^−b±

√∆

2a . Lorsque∆est négatif, par contre, la parabole ne croise pas l’axe des abscisses et l’équation P(x) = 0 n’a pas de solutions réelles (cf Fig. 1.1)

(a) (b)

Figure 1.1 – Représentation graphique de la fonction P(x) = a h

x+_2a^b 2

− _4a^∆₂i , pour a > 0. Son minimum est en x =−_2a^b et prend la valeur P(x=−_2a^b ) =−_4a^∆. (a)∆>0 : l’équation P(x) = 0 possède deux solutions.(b) ∆<0 : l’équation P(x) = 0 ne possède pas de solutions réelles.

Exercice 1.2 - Polynômes du second degré (entraînement)

Dans chacun des cas ci-dessous, mettre directement le polynômeP sous forme canonique, et en déduire où se situe l’extrêmum de P (préciser s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum, et quelle est la valeur prise parP en cet extrêmum). Discuter également des solutions de l’équationP = 0 si elles existent.

a) P(x) = 2x²+ 4x−6 b) P(x) = x²−x−1

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c) P(x) = ^x_h²2 + 2^x_h+ 3, avec h6= 0 d) P(r) = r²+²_τr+ω², avec τ >0

e) P(t) = v0t−¹₂gt², avec v0 >0etg >0

f) P(z) = ¹₂kz²+mgz−E, avec k >0,m >0, etg >0, maisE quelconque

ep ourla question

a)

P (x)=

2

2 x +2

− x 3

=2

2 x +2 x

− +1

− 1 3

=2 (x

2 +1)

− 4

Donc P (x) aun minim umen x

−1 = ,de valeur P (x

−1)= =

−8

Deplus, P

(x)=

⇔ 0 (x

2 +1)

=4

Cetteéquation adonc

deuxs olu tions:

x

−1 =

√ ±

−3 4=

ou 1

1.3 Systèmes d’équations linéaires et non linéaires

Le chapitre 2 se consacre à la résolution d’un problème physique sous forme d’un sys- tème d’équations : il n’y a donc pas lieu de s’y attarder ici. Rappelons seulement qu’il y a typiquement deux méthodes pour résoudre un système d’équations, celle par combinaisons d’équations, et celle par substitution.

La méthode par combinaison d’équations s’avère parfois très efficace et élégante : c’est souvent le cas lorsque les deux équations sont linéaires et relativement similaires l’une de l’autre. Prenons comme exemple le système suivant :

l⁰+l = 2l₀ (1.19)

l⁰−l = ∆l (1.20)

où l’on cherche à exprimer les deux inconnues⁴ l et l⁰ en fonction de deux paramètres l₀ et∆l. Il est très pratique d’ajouter terme à terme les équations (1.19) et (1.20) pour faire disparaître l’inconnuel, et de les soustraire terme à terme pour faire disparaître l’inconnue l⁰. On obtient :

2l⁰ = 2l0+ ∆l (1.21)

2l = 2l₀−∆l, (1.22)

On en déduit directement le couple de solutions : l⁰ =l0+^∆l₂ etl=l0−^∆l₂ , dont on peut a posteriori vérifier qu’il satisfait bien aux équations (1.19) et (1.20).

Il arrive toutefois très souvent que la méthode par substitution soit la seule permettant de parvenir à la solution : c’est le cas par exemple lorsqu’une au moins des équations n’est pas linéaire. Prenons comme exemple le système ci-dessous, où l etl⁰ sont encore une fois nos deux inconnues etl0 un paramètre :

l⁰+l = 2l0 (1.23)

l⁰l = 3

4l²₀ (1.24)

4. Le lecteur peut éventuellent être dérouté par les notations utilisées ici : des inconnues qui ne seraient pas notées x ety, mais l et l⁰. Autant s’y habituer : dans ce polycopié, les notations standardisées des mathématiques sont évitées dès que possible, puisqu’en physique nous travaillons au quotidien avec n’im- porte quels types de grandeurs, souvent dimensionnées, et avec des notations qui piochent à volonté dans les alphabets grecs et latins.

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A partir de (1.23), on peut exprimerl⁰ commel⁰= 2l₀−l, puissubstituer ce résultat dans l’équation (1.24). On obtient une nouvelle équation faisant intervenir seulement l’inconnue l :

(2l₀−l)l= 3

4l²₀ (1.25)

Le lecteur peut mettre sous forme canonique cette équation du second degré et constater qu’elle est équivalente à :

(l−l₀)²−1

4l²₀ = 0 (1.26)

Il y a visiblement deux possibilités : l = l₀+ q1

4l²₀ = ³₂l₀ ou bien l = l₀ −q

1

4l²₀ = ¹₂l₀. La première équation (1.23) nous impose la valeur correspondante de l⁰ dans les deux cas, selon l⁰ = 2l0−l : sil= ³₂l0 alorsl⁰ = ¹₂l0, et sil= ¹₂l0 alorsl⁰= ³₂l0.

Il est indispensable de maîtrier la résolution de systèmes d’équations, linéaires ou pas (et en particulier par la technique de substitution) : le chapitre 2 fournit de nombreux exemples et exercices à ce sujet.

1.4 Fonctions et fonctions réciproques

Le principe d’une fonction, en général, c’est que lorsqu’on applique une opération f à la quantité x (prenant ses valeurs dans un intervalle noté I_x), on obtient une nouvelle quantitéy (prenant ses valeurs dans un intervalle noté I_y). On peut noter cela de la façon générale suivante :

x∈ I_x 7−−−−→^f y∈ I_y (1.27) Le cas qui nous intéresse ici est celui où l’opération est une bijection, c’est-à-dire que la valeur de y obtenue pour chaque x est unique. Dans un tel cas, on peut définir une fonction réciproque notée f⁽⁻¹⁾, qui à chaque valeur de y dans l’intervalle Iy, fournit la valeur correspondante xdans l’intervalle I_x :

y∈ I_y ^f

(−1)

7−−−−→ x∈ I_x (1.28)

De même que l’on note couramment y = f(x) pour une fonction f, on peut alors noter x =f⁽⁻¹⁾(y) pour la réciproque. Mieux encore, par définition d’une fonction réciproque, ces deux égalités sont équivalentes :

y = f(x) ⇔x = f⁽⁻¹⁾(y) (1.29)

Cette équivalence indique que les grandeursx ety sont reliées entre elles, et que l’on peut aussi bien exprimer y en fonction dex quex en fonction dey⁵.

Comme dit plus haut, pour qu’une relation réciproque soit bien définie, il faut qu’il y ait bijection : une et une seule valeur dextelle quey=f(x). Une telle bijection n’est possible

5. Et puisque ces deux manières de raisonner sont équivalentes, il n’y a pas lieu de donner une préférence à l’une ou l’autre : f est la réciproque de f⁽⁻¹⁾ tout autant que f⁽⁻¹⁾ est la réciproque de f. On dit simplement que les deux fonctionsfetf⁽⁻¹⁾sont réciproques l’une de l’autre.

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qu’à condition que la relation y = f(x) soit monotone, ie soit strictement croissante soit strictement décroissante. Cela n’est pas toujours possible pour tout x, et par exemple la relation y=x² n’est monotone que pourx∈]− ∞; 0]oux∈[0; +∞[. Il faut alors faire un choix entre les deux intervalles, et c’est ce qui a été fait en définissant la fonction racine : en effet, lorsque nous écrivonsx=√

y, nous considérons implicitement quexest positif (et y aussi). On note alors la relation de réciprocité en précisant les conditions pour lesquelles l’équivalence est valable, par exemple :

y = x² ⇔ x = √

y (x >0, y >0) (1.30)

Pour quiconque a déjà tracé des courbes à partir d’un tableau de données, la figure 1.2 peut fournir une vision complémentaire de cette notion de relation réciproque. Un tableau à deux colonnes y indique comment les valeurs numériques de deux quantités, notéesaet b, sont reliées entre elles. Partant de ces deux colonnes, il est tout aussi facile de tracerb(a) ou a(b) : on obtient deux représentations graphiques équivalentes, pour lesquels axe des abscisses et axe des ordonnées ont simplement été inversés. On note de plus que le tableau de valeurs n’a pas été choisi au hasard : à chaque valeur de adans la colonne de gauche correspond son carré dans la colonne de droite, i.e. b = a². Mais de façon équivalente, à chaque valeur debdans la colonne de droite correspond sa racine dans la colonne de gauche, si bien que nous aurions pu aussi écrire a=√

b, relation réciproque de la précédente.

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20

0.00 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1.00 1.21 1.44

a b

…

… 0 0.5 1 1.50

0.5 1 1.5

a b

0 0.5 1 1.5

b a

Figure 1.2 – Tableau de valeurs pour les quantitésa etb, et représentations graphiques correspondantes : bpeut être exprimé en fonction dea, de même quea peut-être exprimé en fonction deb.

Rappelons ici quelques autres relations réciproques bien connues, et les conditions de validité correspondantes :

y = x^α ⇔ x = y^α¹ (x >0, y >0) (1.31)

y = e^x ⇔ x = ln(y) (y >0) (1.32)

y = 1

x ⇔ x = 1

y (x6= 0, y6= 0) (1.33) Nous y ajouterons les relations réciproques associées aux fonctions trigonométriques à l’occasion du chapitre 3. Notons que la quantité√

x n’est autre quex¹², ce qui rend identique les relations (1.30) et (1.31) dans le cas où α = 2. Et comme pour la fonction racine, on s’est limité aux valeur positives de x ety pour la relation (1.31), afin d’assurer qu’il y ait

(15)

bien bijection. En effet la relationy=x^αest strictement croissante sur[0; +∞[, conduisant pour tout x positif à une unique valeur dey (également positive) telle que y=x^α.

Mais finalement, à quoi cela va-t-il nous servir ? A beaucoup de choses, car la réso- lution d’une équation non linéaire passe presque toujours par l’utilisation d’une fonction réciproque. C’est ce que nous avions fait sans le dire en faisant apparaître

√

x² à l’occasion de l’équation (1.4). L’idée principale est que si l’on applique à une inconnue x une fonction puis sa réciproque, on retrouve l’inconnue x. Ainsi les relations (1.30) à (1.32) nous conduisent-elles aux règles ci-dessous :

x= (√

x)² et x =

√

x² (six >0) (1.34)

x= x^α¹α

et x = (x^α)^α¹ (si x >0) (1.35) x = ln(e^x) et x = e^ln(x) (si x >0) (1.36) Quand à la dernière relation (1.33), elle implique :

x = 1

1 x

(si x6= 0) (1.37)

Ceci indique que la fonction “inverse” est sa propre réciproque : c’est ce que nous avions implicitement considéré, à l’occasion de l’équation (1.8), en nous servant de l’égalitél⁰= ¹1

l0

.

Exercice 1.3 - Utilisation de fonctions réciproques (entraînement) a) y= (ln(1 +x))¹³. Exprimerx en fonction dey

b) y= _1+x¹ 2. Exprimerx en fonction dey.

c) y=e

√x. Exprimerx en fonction dey.

d) b=

√

e^lna. Exprimeraen fonction deb.

e) v=v0

h 1−ln

u u0

i

. Exprimeru en fonction dev,v0 etu0. f) q= lnh

ln 1 +_p^p

0

i

. Exprimerp en fonction deq etp₀.

ep ourla question

a)

y

=(ln(1 +

x))

1

⇒ 3

3 y

=ln(1 + x)

⇒

y e

3

=1 + x

⇒ x

=

y e

3

− 1

1.5 Exponentielles et logarithmes

L’exercice 1.3 ne fait appel qu’à une seule propriété des fonctions exponentielle et logarithme : le fait qu’elles sont réciproques l’une de l’autre. La figure 1.3 rappelle la re- présentation graphique des relations y = e^x et x = ln(y). Comme pour toutes relations réciproques les deux graphiques sont équivalents : on obtient l’un à partir de l’autre en traçant x en fonction de y au lieu de y en fonction de x. On vérifie également que le

(16)

logarithme d’un nombre négatif n’existe pas, ce qui correspond au fait que la fonction exponentielle est toujours positive. On remarque enfin les valeurs caractéristiques e⁰ = 1et e¹ =e≈2.71828, et leurs relations réciproquesln(1) = 0etln(e) = 1.

5

x

y= ex

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

-5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

y

x= ln(y)

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

-5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 e⁰=1 e¹=e

ln(1) =0 ln(e) =1

Figure 1.3 – Représentation graphique de la relation y =e^x et de sa relation réciproque x = ln(y). Comme pour la figure 1.2, les deux graphes sont équivalents : dans celui de gauche y est tracé en fonction dex, alors que dans celui de droite x est tracé en fonction de y.

Mais les fonctions exponentielle et logarithme ont d’autres propriétés bien connues, et particulièrement importantes, que nous rappelons ici brièvement. La fonction exponentielle, tout d’abord, est usuellement définie par le fait qu’elle est sa propre dérivée (voir le chapitre 6) et qu’elle vaut1en x= 0. Une conséquence majeure de cette définition, non démontrée ici, est que cette fonction exponentielle transforme une somme en produit. Ainsi, quels que soient les nombresaetb :

e^a+b =e^ae^b (1.38)

On peut également montrer que la fonction exponentielle transforme un produit en loi de puissance :

e^ab= (e^a)^b (1.39)

La notatione^x permet de retenir ces deux propriétés sans se tromper, puisque les équations ci-dessus apparaitront naturelles pour quiconque a l’habitude de manipuler des exposants.

A partir de ces propriétés directement mémorisables, il n’est pas difficile de retrouver celles de la fonction réciproque ln(x). On écrit par exemple e^ln(ab) = ab = e^ln(a)e^ln(b) = eln(a)+ln(b) d’après la relation (1.38). On en déduit alors que la fonction logarithme transforme un produit en somme, ie pour tous nombres aetb:

ln(ab) = ln(a) + ln(b) (1.40)

De même, on réalise quee^ln(a^b⁾=a^b = e^ln(a)b

=e^b(ln(a))d’après la relation (1.39). On en déduit que la fonction logarithme transforme une loi de puissance en produit⁶, i.e. pour

6. On pourra retenir que la fonction logarithme transforme certaines opérations (produit, loi de puissance) en des opérations plus simples. Dans le cas où l’opération à l’intérieur du logarithme est déjà la plus simple possible, i.e. une addition, il n’y a aucune simplification possible :ln(a+b)ne peut pas s’exprimer simplement en fonction deln(a)etln(b).

(17)

tous nombresaetb :

ln(a^b) =b ln(a) (1.41)

Exercice 1.4 - Les fonctions hyperboliques (entraînement)

Les fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont définies de la façon suivante :

cosh(x) = e^x+e^−x

2 (1.42)

sinh(x) = e^x−e^−x

2 (1.43)

tanh(x) = sinh(x)

cosh(x) (1.44)

A partir des propriétés de la fonction exponentielle, démontrer les égalités suivantes : a) cosh²(x)−sinh²(x) = 1

b) 1−tanh²(x) = ¹

cosh²(x)

c) sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x) d) cosh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x)

e) e^x = cosh(x) + sinh(x) f) e^−x= cosh(x)−sinh(x) g) e^2x = ^1+tanh(x)_1−tanh(x)

ep ourla question

a)

2 cosh

1 (x)=

(e 4

+ x

−x e

2 )

1 =

4

h

x (e

2 ) +(

− e ) x

+2 2 x e

−x e i

1 = e 4

+ 2x

−2x e +2

2 sinh

1 (x)=

(e 4

− x

−x e

2 )

1 =

4

h

x (e

2 ) +(

−x e

2 )

− 2

x e

− e

x

i

1 = e 4

+ 2x

−2x e

− 2

⇒

2 cosh

− (x)

2 sinh

1 (x)=

e 4

+ 2x

−2x e +2

1 − e 4

+ 2x

−2x e

− 2

2 = + 4 2

=1 4

Une autre quantité régulièrement utilisée en Physique est la fonction “logarithme dé- cimal”, notée log₁₀(x), à ne pas confondre avec la fonction ln(x) dont le nom complet est

“logarithme néperien”. Le logarithme décimal est défini de la façon suivante : log₁₀(x) = ln(x)

ln(10) (1.45)

Ce logarithme décimal a plusieurs intérêts. Tout d’abord, il s’appelle logarithme car il conserve les propriétés si utiles du logarithme népérien :log₁₀(ab) = log₁₀(a) + log₁₀(b)et log₁₀(a^b) =blog₁₀(a). De plus, ce logarithme décimal prend des valeurs très simples pour toute les puissances de10: par exemplelog₁₀(0.01) =−2,log₁₀(1) = 0,log₁₀(1000) = 3. . .. De façon générale :

log₁₀(10ⁿ) =n pour toutn entier relatif (1.46)

(18)

On peut de plus montrer que la fonction réciproque de la fonctionlog₁₀ est la fonction 10^x, définie de la façon suivante :

10^x=e^x^ln(10) (1.47)

Avec cette définition la relation log₁₀(10^x) =xest valable quelque soitx, alors que l’équa- tion (1.46) se limitait à des valeurs de x entières. Le lecteur est invité à prouver par lui-même que la fonction 10^x est la réciproque de la fonction log₁₀, et à comparer sa ré- ponse avec celle proposée à l’exercice 1.5. Pour plus d’entraînement, on trouve d’autres exemples de recherches de fonctions réciproques à l’occasion de l’exercice (1.7).

Exercice 1.5 - Réciproque du logarithme décimal (exercice corrigé) Enoncé : Déterminer la fonction réciproque de la fonctionlog₁₀.

e:

Onc herche lafonction réciproque

dela fonctionlogarithme

décimal :on pose

donc x

=log (y 10

) eton cherc heà calculer

y enfonction de

x.On noteque

la

relation x

=log (y estmonotone ) (croissa

nte) pour y tout

strictement positif.

Il

ya doncbien bijection(i.e.

unee tune seulev

aleurde y telleque x

10 =log (y ),

quelque soit

y>

0),condition nécessaireet

suffisante pour qu’ilexiste

une

relationrécipro que.

Deplus, x

ln(y) =

ln(10)

⇔ ln(y )=

x ln(10)

⇔ y

=

x e

ln(10)

⇔ y

=

ln(10) e

x

⇔ y

=

x 10 .

Ona bientrouv éla réciproque

dela fonction

log ,puis 10

que x

=log (y 10

⇔ )

y

x =10 pour tout

y>

0.

Equations linéaires et non linéaires, fonctions réciproques, exponentielles et logarithmes : tous ces outils mathématiques sont présents sous des formes diverses dans les équations rencontrées en physique. Il faut y ajouter les outils associés à la géométrie et aux fonctions trigonométriques, qui seront abordés au chapitre 3, ainsi que les nombres complexes.

Tout cela est indispensable, mais ne nous dit encore rien de la façon dont les physiciens appréhendent un problème physique, ou de la méthodologie qu’ils utilisent pour évaluer si un problème est correctement posé (et, lorsque c’est le cas, pour le résoudre de la façon la plus directe possible). Ces questions clés sont l’objet du chapitre suivant.

1.6 Exercices complémentaires

Exercice 1.6 - Exponentielles et logarithmes : quelques exemples physiques a) La chargeqd’un condensateur dans un circuit électrique varie en fonction du temps selonq(t) =q₀e⁻^τ^t, oùτ est un temps caractéristique de la décharge etq₀la charge initiale àt= 0. A quel instantt la chargeq vaut-elle ^q_e⁰ ? Et ^q₂⁰ ?

b) On considère une onde lumineuse dont l’intensité I varie en fonction de l’abscisse xselon I(x) =I₀e⁻

(x−x0)2

w2 , avec x₀ etwdes paramètres constants. Pour quelle(s) valeur(s) dexl’intensité I vaut-elle ^I_e⁰ ? Et ^I₂⁰ ?

(19)

c) A un bruit de pression acoustiqueP (mesurée en Pascals, Pa) est associé un niveau sonore L (mesuré en décibels, dB) suivant la loi L = 20 log₁₀

P P0

. Dans cette relationP0= 20µPaest une pression de référence. A quelle pression acoustiqueP correspond un niveau L = 80 dB ? Et un niveau L = 105 dB, limite légale pour une discothèque ?

d) La population N d’un ensemble de bactéries évolue en fonction du temps selon N(t) =N0e^{α t}, oùαest une constante à déterminer. On constate queN double au bout d’un temps caractéristique notéT : en déduire la valeur de α et montrer que l’on aurait pu écrire N(t) =N₀2^T^t. Au bout de combien de temps la population aura-t-elle quadruplé ?

Exercice 1.7 - Réciproques des fonctions hyperboliques

On s’intéresse aux fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente hyperboliques, définies à l’occasion de l’exercice 1.4, équations (1.42) à (1.44). Ces fonctions sont notées argsinh(x), argcosh(x) et argtanh(x) et par définition vérifient :

x= sinh(y) ⇔ y= argsinh(x) (x∈R, y∈R) x= cosh(y) ⇔ y= argcosh(x) (x >1, y >0) x= tanh(y) ⇔ y= argtanh(x) (−1< x <1, y∈R)

On pourra tirer profit dans cet exercice de certaines des relations démontrées à l’exercice 1.4.

1) On s’intéresse pour commencer à la fonction argsinh(x): on pose doncx= sinh(y) et on cherche à calculery en fonction dex, que l’on pourra noter y= argsinh(x).

NB : la relation x = sinhy est monotone (croissante) pour tout y ∈R, et fournit des valeursx ∈R. Il y a bien bijection (i.e. une et une seule valeur de y telle que x= sinh(y), quel que soit x).

a) Démontrer tout d’abord que coshy =√

x²+ 1six= sinh(y) b) En déduire quey= argsinh(x) = ln

x+√

x²+ 1 .

2) On s’intéresse ensuite à la fonction argcosh(x) : on pose donc x = cosh(y) et on cherche à calculery en fonction dex, que l’on pourra notery = argcosh(x).

NB : la relationcoshy n’est monotone (croissante) que pour y >0, et ne fournit que des valeursx >1. On se place donc dans ces conditions pour qu’il y ait bijection (i.e. une et une seule valeur dey telle que x= cosh(y) avec x >1).

a) Démontrer tout d’abord que sinhy=√

x²−1 six= cosh(y).

b) En déduire quey= argcosh(x) = ln

x+√ x²−1

.

3) On s’intéresse ensuite à la fonction argtanh(x) : on pose doncx = tanh(y) et on cherche à calculery en fonction dex, que l’on pourra notery = argtanh(x).

NB : la relation tanhy est monotone (croissante) pour tout y ∈ R, et fournit

(20)

des valeursx entre −1 et1 : on se place donc dans ces conditions pour qu’il y ait bijection (i.e. une et une seule valeur deytelle quex= tanh(y), avec−1< x <1).

a) Démontrer tout d’abord que e^2y = ^1+x_1−x si x= tanh(y).

b) En déduire quey= argtanh(x) = ¹₂ln 1+x

1−x

.

(21)

Méthodologie : analyser un problème physique

Avant de nous attaquer à de nouveaux outils techniques, commençons par un sujet d’intérêt encore plus général (et à première vue abstrait) : apprendre àposer, analyser, et résoudre un problème physique. Il s’agit d’un apprentissage crucial. En effet, l’immense va- riété des situations physiques peut s’avérer déconcertante, et fait souvent croire à l’étudiant qu’il n’y a que deux façons de résoudre un problème :

— Se souvenir de la solution d’un problème similaire, et tenter d’appliquer l’ancienne recette à la nouvelle situation.

— Partir dans une direction aléatoire, en espérant que la chance ou l’intuition mèneront à bon port.

La première technique a parfois fait ses preuves dans le cadre du baccalauréat ; elle ne suffit certainement plus dans le cadre des études universitaires ou des concours. La seconde technique donne des résultats tout aussi maigres.

Que faire alors ? Nous souhaitons montrer qu’il suffit d’un peu de méthode pour analyser un problème, et qu’un problème clairement posé est très facile à résoudre. Nous commençons par des notions très générales, appliquées ensuite à différents cas concrets.

Il faudra bien sûr beaucoup de pratique à un étudiant pour acquérir cette méthode et l’appliquer de façon naturelle.

2.1 Grandeurs physiques et contraintes

Lorsqu’on analyse une situation physique, nous sommes toujours en présence d’unsys- tème caractérisé par des grandeurs physiques, et soumis à des contraintes. On considère bien évidemment un modèle, c’est-à-dire une simplification extrême de la réalité, afin que les grandeurs physiques et les contraintes qui caractérisent le système soient peu nombreuses.

Poser un problème, cela revient à faire une analyse méthodique du système et de ses contraintes. On procède donc par étapes :

a) Toujours faire un schéma du système étudié.

b) Lister les grandeurs caractérisant la situation. Si ces grandeurs ne sont pas définies dans un énoncé, il faut prendre l’initiative de le faire, et de leur associer une notation

(22)

simple permettant de les manipuler dans une équation. Il est important de reporter les grandeurs définies sur le schéma, qui doit tout de même rester lisible (à défaut, faire plusieurs dessins).

c) Lister toutes les contraintes physiques agissant sur ces grandeurs, en mettant ces contraintes sous la forme d’équations reliant les grandeurs définies précédemment.

A partir de là, il est important de bien cerner ce que l’on cherche à calculer au final, ce que nous connaissons à l’avance, et ce que nous ne connaissons pas. Dans une situation expérimentale, par exemple, certaines grandeurs sont fixées par le montage, mais d’autres ne sont pas contrôlées directement : elles évoluent en fonction de la situation et des lois qui leurs sont imposées. Nous devons donc faire une séparation entre les grandeurs physiques :

— D’un côté, lesparamètres du problème : les grandeurs considérées commeconnues.

— De l’autre, les inconnues : toutes les autres grandeurs, dont la valeur s’ajuste en fonction des paramètres et des contraintes du système.

2.2 N inconnues, N équations

Résoudre un problème, cela consiste à exprimer les différentes inconnues en fonction des paramètres, en faisant intervenir les équations listées précédemment. Il est pour cela important de comparer le nombre d’inconnues avec le nombre d’équations disponibles : c’est lorsque ces nombres sont égaux que l’on peut parvenir à une solution. Si l’on a 6 inconnues dans notre liste, il faut 6 équations pour que le système soit soluble. Il arrive parfois que l’on oublie une contrainte et que l’on cherche à déterminer N inconnues avec N −1 équations ; cette tentative est vouée à l’échec¹.

Une fois que l’on a obtenu autant d’équations différentes que d’inconnues, il ne reste plus qu’à “résoudre le système d’équations”, et là encore une certaine méthodologie peut faire gagner du temps. Imaginons qu’il y ait 6 inconnues, labellisées de A à F, et donc 6 équations. On cherche à déterminer l’inconnue finale F, c’est-à-dire à l’exprimer uniquement en fonction des paramètres connus, et surtout pas en fonction des autres inconnues A à E. Il faut donc éliminer l’une après l’autre les inconnues A à E du système d’équa- tions. On obtient à la fin une dernière équation faisant intervenir uniquement l’inconnue F, ce qui permet de déduire sa valeur en fonction des divers paramètres.². La dernière étape, pour déceler une éventuelle erreur, consiste à analyser le résultat obtenu en vérifiant qu’il est correctement dimensionné, et que la dépendance deF en fonction des paramètres correspond à ce que nous dicte notre intuition physique.

Exercice 2.1 - Système de deux équations linéaires (exercice corrigé) On s’intéresse au système d’équations suivant :

a x+b y = A c x+d y = B

1. Une approche purement mathématique pourrait inciter à écrire, face à un système deN−1équations àN inconnues, qu’il y a une infinité de solutions. Mais ce point de vue est rarement satisfaisant pour le physicien, qui s’intéresse à des grandeurs physiques avec des valeurs bien définies.

2. Notons qu’il existe de nombreux cas particuliers d’équations dont les solutions, même en procédant avec méthode, ne sont pas toujours faciles à trouver. C’est par exemple le cas des équations différentielles, qui portent sur les dérivées d’une grandeur et pas seulement sur la grandeur elle-même.

(23)

Dans cet exercicex ety sont considérées comme des inconnues tandis quea,b,c, d,A, etB sont des paramètres quelconques. Déterminer les valeurs des inconnues x ety, par la méthode de votre choix, en expliquant pourquoi l’inégalitéad−bc6= 0est importante pour que le problème puisse être résolu. A la lumière des considérations de cette section, que peut-on dire de ce système siad−bc= 0?

e:

Enm ultipliant

par d lapremière équationet

par b laseconde, onobtien

t:

adx + bdy

= Ad

bcx + bdy

= Bb

Ensoustra yan

tce séquations ,

y estéliminé eton

obtient

− (ad bc) x

=

− Ad Bb .

Etdonc, si(et

seulement si)

− ad 6=0 bc ,on peut endéd uire

x enfonction des

paramètres:

x

Ad−Bb =

ad−bc

Siau contraire

− ad bc

=0 lesdeux équationsci-dessus

ont lemême terme

degauc he:

elles sont soient identiques (si

Ad

= Bb ),soien tincompatibles (si

6= Ad Bb ).Dans lecas

oùelles sont

identiques onse

retrouve av ecun sy stème

d’unese uleéquation àdeux

inconnues :il nousmanque uneinfor

ma tionp our

déterminer x et y . Dans le cas où elles sont incompatibles

il n’y a pas de

solutionp ossibledu

tout.

Notonsqu’on peut

déduire y dela mêmefaçon,

enm ultipliant

par c lapremière

équationet a par

laseconde :

acx + bcy

= Ac

acx + ady

= Ba

Ensoustra yan

tces équations,

x estéliminé eton

obtient

− (ad bc) y

=

− Ba Ac.

Etdonc, si(et

seulement si)

− ad 6=0 bc ,on peut endéduire y

enfonction des

paramètres:

y

Ba =

−Ac ad−

. bc

Làencore, ad si

− bc

lesdeux =0

équatio ns ci-dessuson

tle mêmeterme

de

gauche etnous sommesramenés

àla discussion précédente.

2.3 Exemple physique : la relation de conjugaison objet-image

Passons à un exemple physique plus complexe : le calcul de la relation de conjugaison objet-image, en optique, dans le cas d’une lentille convergente. Le modèle est celui d’une lentille idéale de distance focale connue, d’un point objet et de son point image situés hors de l’axe optique. Comme indiqué sur la figure 2.1a, deux rayons sont suffisants pour relier ces points : le rayon passant par le centre, non-dévié, et celui initialement parallèle à l’axe et passant donc en sortie de lentille par le foyer image F⁰ (cf cours d’optique sur les lentilles). On se pose la question suivante :à quelle distance est située l’image, connaissant la position de l’objet et les propriétés de la lentille ? Les bases géométriques indispensables à cette étude sont supposées connues, car étudiées au lycée. Le lecteur se sentant inexpéri- menté en ce domaine pourra se reporter au chapitre 3 pour en réviser les concepts essentiels.

Face à ce problème, le premier réflexe doit être de préciser le schéma du système en définissant toutes les grandeurs géométriques utiles : points, distances, et angles. On doit parvenir à une figure complétée, du type de la figure 2.1b.

a) Commençons par les points, qui ne sont pas des quantités physiques proprement dites, mais servent à décrire le reste. Le centre optique de la lentille est appeléO, le