→v = d−−→
OM
dt (9.3)
Le caractère concret du vecteur infinitésimal d−−→
OM est illustré sur la figure 9.2a : on y remarque qued−−→
OM peut être directement tracé en faisant la différence des vecteurs posi-tions −−→
OM(t+ dt) et −−→
OM(t). On note aussi que d−−→
OM est tangent à la trajectoire : c’est donc le cas également pour le vecteur−→v qui est colinéaire à d−−→
OM
De plus, une fois que l’on a défini un vecteur vitesse en chaque point de la trajectoire, et donc à chaque instant t, le raisonnement peut être reproduit : −→v dépend du temps, et donc subit une variation infinitésimale d−→v lorsque le temps passe de tàt+ dt. Le vecteur accélération −→a est alors le coefficient de proportionnalité entred−→v etdt, soitd−→v =−→adt, ou de façon équivalente :
−
→a = d−→v
dt (9.4)
Le caractère concret du vecteur infinitésimald−→v est illustré sur la figure 9.2b. La situation est légèrement plus complexe que pour la figure 9.2a, de par le fait que les vecteurs vitesse
−
→v(t+ dt) et −→v(t) sont tracés en des points différents. Pour pouvoir les comparer il est donc nécessaire de les ramener à une même origine, ce qui permet alors de tracer aisément d−→v =−→v(t+ dt)− −→v(t), et de déterminer l’orientation du vecteur −→a qui est colinéaire à d−→v.
9.2 Application : cinématique dans la base cartésienne 2D
L’objectif premier en cinématique est souvent de trouver des formules pour les vecteurs vitesse et accélération, dans le cas d’un point matériel dont les coordonnées dépendent du temps. En base cartésienne 2D2, par exemple, nous savons déjà que les composantes du
2. La plupart des exemples de ce chapitre concernent en effet des mouvements plan, décrits par deux dimensions seulement. Mais il est bien sûr possible de généraliser à trois dimensions les concepts qui sont présentés ici.
OM
O (t)
OM(t+dt) dOM
dv v(t) v(t+dt)
v(t) v(t+dt)
v a
dOM= v dt a dv= adt
a. b.
Figure 9.2 – a. Interprétation graphique du vecteur infinitésimald−−→
OM =−−→
OM(t+ dt)−
−−→OM(t), qui permet de définir le vecteur vitesse −→v selon d−−→
OM = −→vdt. b. Interprétation graphique du vecteur infinitésimald−→v =−→v(t+ dt)− −→v(t), qui permet de définir le vecteur accélération −→a selond−→v =−→adt.
vecteur position−−→
OMsontxety. De plus, de façon générale, nous pouvons notervxetvy les composantes du vecteur vitesse,ax etay celles du vecteur accélération. Plus précisément :
−−→OM = x−u→x+y−→uy (9.5)
−
→v = vx−u→x+vy−u→y (9.6)
−
→a = ax−→ux+ay −→uy (9.7)
La question simple que l’on se pose est alors la suivante : que valent vx, vy, ax et ay (et donc les vecteurs −→v et−→a), en fonction de x(t) ety(t)?
Avant tout calcul, il est utile de visualiser ce qui se passe lorsque le point matériel se déplace de façon infinitésimale, par exemple depuis M(x, y) à l’instantt, vers M0(x+ dx, y+ dy) à l’instantt+ dt. Le vecteur déplacement infinitésimal d−−→
OM est alors égal à la différence −−−→
OM0−−−→
OM, et est donc égal à −−−→
M M0. Et comme le montre la figure 9.3 ce vecteur déplacement est visiblement donné par :
d−−→
OM = dx−u→x+ dy−u→y (9.8)
Cette équation est fondamentale et doit pouvoir être retrouvée instantanément par le lec-teur, en reprenant le dessin de la figure 9.3. Dans le cas présent, elle nous permet de retrouver directement la formule du vecteur vitesse en divisant d−−→
OM pardt:
−
→v = d−−→
OM dt = dx
dt
−→ ux+dy
dt
−→
uy (9.9)
On en déduit que les composantes du vecteur vitesse sont simplement vx= dxdt etvy = dydt Aurions-nous pu retrouver ce résultat par un calcul direct ? Oui, grâce aux règles de dérivation de sommes et de produits qui s’appliquent également pour les dérivées de vec-teurs (cf section 9.5 pour une démonstration de ce point). Partant de −−→
OM =x−u→x+y−→uy,
Ox Oy
y
O
M
x uy
ux
x+dx y+dy
dx ux dy uy
M’
dx ux + d
y
uy dOM =Figure 9.3 – Le vecteur déplacement infinitésimal d−−→
OM = −−−→
M M0, qui correspond à un déplacement depuis le pointM de coordonnées(x, y)vers le point voisinM0de coordonnées (x+ dx, y + dy), peut s’exprimer très simplement dans la base cartésienne : d−−→
OM = dx−u→x+ dy−→uy.
nous aurions donc pû écrire que d
−−→OM
dt = d(xdt−u→x) +d(ydt−u→y), puis en déduire l’équation (9.9) en utilisant le fait que les vecteurs −u→x et−u→y sont constants. Les mêmes règles permettent d’ailleurs de déterminer le vecteur accélération de la même façon. On obtient :
−
→a = dvx
dt
−→ ux+ dvy
dt
−→ uy = d2x
dt2
−→ ux+d2y
dt2
−→
uy, (9.10)
Notons enfin que dans toute la suite de ce chapitre, nous utiliserons les notationsf˙= dfdt et f¨= ddt2f2 pour désigner les dérivées par rapport au temps d’une quantité quelconque f. Avec ces notations, on obtient simplement3 :
−
→v = ˙x−u→x+ ˙y−→uy et : −→a = ¨x−u→x+ ¨y−→uy (9.11) L’exercice corrigé 9.1 fournit une première illustration de ces concepts dans le cas d’un mouvement bien connu (trajectoire d’un boulet de canon). Le lecteur pourra ensuite utiliser les mêmes types de raisonnements pour analyser d’autres mouvements, par exemple à l’occasion des exercices 9.2 et 9.3.
Exercice 9.1 - Mouvement d’un boulet de canon (exercice corrigé)
On étudie un boulet de canon dont le mouvement est régi par les lois horaires suivantes : x(t) =v0 cosα t+x0 ety(t) =v0 sinα t− 12g t2+y0.
3. Ces notations sont les plus compactes, mais il est important d’avoir en tête les multiples façons équivalentes de décrire les quantités mises en jeu. Par exemple,vx=dxdt = ˙x=−→v .−u→xdésigne la composante horizontale du vecteur vitesse, tandis queax= ddt22x =dvdtx = ¨x=−→a .−u→xdésigne la composante horizontale du vecteur accélération.
a) D’après ces équations horaires, quelles doivent être les dimensions des constantes v0,g,x0 ety0?
b) Déterminer les expressions, en coordonnées cartésiennes, des vecteurs position, vi-tesse et accélération.
c) Que peut-on dire du vecteur accélération, et comment peut-on appeler ce type de mouvement ? Quelle est la norme du vecteur accélération ?
d) Trouver l’équation de la trajectoire. Quelle est la forme géométrique de cette tra-jectoire ?
e) Dessiner l’allure de la trajectoire en faisant apparaître les vecteurs vitesses et ac-célération en différents points, dans le cas d’un angleα compris entre0et π2. Faire de même dans le cas d’un angleα négatif, i.e. d’une trajectoire initialement dirigée vers le bas (cas d’un boulet tiré vers le sol depuis le sommet d’une tour).
Exemplede
Exercice 9.2 - Etude d’un mouvement
On étudie un point matériel dont le mouvement est régi par les lois horaires suivantes : x(t) = 12At2 ety(t) = 12At2.
a) Donner la dimension de la constante A.
b) Déterminer les expressions, en coordonnées cartésiennes, des vecteurs position, vi-tesse et accélération. Que peut-on dire du vecteur accélération, et comment peut-on appeler ce type de mouvement ? Quelle est la norme du vecteur accélération ? c) Trouver l’équation de la trajectoire. Quelle est la forme géométrique de cette
tra-jectoire ?
d) Dessiner l’allure de la trajectoire en faisant apparaître les vecteurs vitesses en différents points.
Exercice 9.3 - Etude d’un mouvement
On étudie un point matériel dont le mouvement est régi par les lois horaires suivantes : x(t) = Acos(ωt) et y(t) = Asin(ωt). Dans toute la suite on travaillera dans la base cartésienne.
a) Donner les dimensions des constantesA etω.
b) Déterminer les expressions, en coordonnées cartésiennes, des vecteurs position, vi-tesse et accélération.
c) Calculer la norme du vecteur position, et en déduire la nature de la trajectoire.
Quelle est alors la signification physique de la quantitéA?
d) Calculer la norme du vecteur vitesse et en déduire la nature du mouvement. Quelle est la signification physique de la quantitéω?
e) Calculer−→r .−→v et montrer que le vecteur vitesse est toujours orthogonal au vecteur position.
f) Comment est orienté le vecteur accélération, par rapport au vecteur position ? g) Faire un dessin de la trajectoire et indiquer les valeurs des vecteurs position, vitesse
et accélération en différents points de cette trajectoire.