Base orthonormée et ensemble de composantes

On parle d’unebase de vecteurs unitairespour décrire un ensemble de vecteurs unitaires qui soit suffisant pour décrire tout l’espace étudié. On parle de plus d’unebase orthonormée lorsque tous les vecteurs unitaires de la base sont orthogonaux entre eux. L’idée cruciale est que, si l’on dispose d’une base avec suffisamment de vecteurs unitaires, ab-solument n’importe quel vecteur de l’espace étudié pourra être écrit comme une somme de projections sur les vecteurs unitaires de la base. Par exemple, la figure 4.5a représente un espace rectiligne, donc de dimension un, pour lequel on n’a besoin que d’un seul vecteur unitaire −→u1 : n’importe quel vecteur −→

F de cet espace peut directe-ment s’écrire sous la forme −→

F =F1−→u1. La figure 4.5b représente un espace plan, donc de dimension deux, pour lequel on a besoin de deux vecteurs unitaires −→u₁ et−u→₂ : n’importe quel vecteur −→

F de cet espace peut directement s’écrire sous la forme −→

F =F1−→u1+F2−→u2. La figure 4.5c, enfin, représente notre espace complet de dimension trois, pour lequel on a besoin de trois vecteurs unitaires −→u₁,−u→₂ et−→u₃ : n’importe quel vecteur−→

F de cet espace peut directement s’écrire sous la forme−→

F =F1−→u1+F2−→u2+F3−→u3.

Le fait de travailler avec les composantes est tellement pratique, comme nous le ver-rons plus loin, que les vecteurs sont parfois directement exprimés comme un ensemble de plusieurs nombres. Par exemple, il arrivera souvent au lecteur de tomber sur la notation suivante :

−

→F =



 F₁ F2

F₃



 (4.21)

Cette notation, pourtant habituelle, est problématique du fait qu’elle ne mentionne pas la base utilisée : il faut donc faire attention au fait qu’elle ne veut absolument rien dire en l’absence d’un dessin présentant explicitement quels vecteurs unitaires −→u1, −u→2, et −→u3

servent de base orthonormée. La seule forme qui soit réellement exempte d’ambiguïté, pour exprimer l’idée que le vecteur −→

F a pour composantes F1, F2, et F3 dans la base (−→u₁,−→u₂,−→u₃), est celle que nous venons d’introduire :

−

→F =F₁−→u₁+F₂−→u₂+F₃−→u₃ (4.22)

(a)

u₁

u₂ u₃

u₁ u₂

u₁

(b) (c)

F

F

F

u₁

= F₁ + F₂u₂ F = F₁u₁+ F₂ u₂+ F₃u₃ F = F₁ u₁

F

Figure4.5 – Exemples de décomposition d’un vecteur selon une base de vecteurs unitaires.

Cette équation a également le mérite d’être clairement de nature vectorielle : le terme de gauche et le terme de droite sont tous deux vectoriels.

Nous venons de parler d’équation vectorielle ; il existe bien sûr des équations scalaires, c’est-à-dire des équations dont le terme de gauche est scalaire, et donc forcément le terme de droite aussi². On vérifie que c’est bien le cas pour les trois équations suivantes :

F₁ = −→

F .−→u₁ (4.23)

F2 = −→

F .−→u2 (4.24)

F3 = −→

F .−→u3 (4.25)

Ces équations expriment le fait que les composantes de −→

F sont données par le produit scalaire de ce vecteur −→

F et du vecteur unitaire choisi, comme déjà démontré plus haut.

A noter que l’information contenue dans les trois équations scalaires (4.23) à (4.25) est strictement la même que l’information contenue dans l’équation vectorielle (4.22). Il s’agit d’un résultat très général : dans un espace vectoriel de dimension n, une équation vecto-rielle contient la même information que néquations scalaires. Un exemple omniprésent en physique est le principe fondamental de la dynamique,−→

F =m−→a, équation vectorielle qui peut être ramenée, par projection sur les vecteurs unitaires−u→x,−→uy, et −→uz, à trois équations scalaires : F_x =m a_x,F_y =m a_y, etF_z=m a_z.

Décomposer un vecteur −→

F sous la forme −→

F = F1 −→u1+F2 −→u2 +F3 −→u3 est une étape essentielle de nombreux raisonnements physiques : à cet effet il sera nécessaire d’utiliser des raisonnements géométriques, ce qui revient à utiliser les formules (4.23) à (4.25). Notons cependant, que la projection de vecteurs est une compétence qui recquiert sens physique et intuition, et ne se ramène pas à la simple application d’une formule : il faut absolument

2. Le lecteur pourra vérifier que toutes les équations écrites dans ce polycopié sont soit clairement scalaires, soit clairement vectorielles, et qu’en aucun cas un scalaire ne peut être considéré égal à un vecteur.

vérifier que le résultat obtenu est cohérent avec la situation étudiée. L’exemple 4.3 ainsi que l’exercice 4.3 sont l’occasion pour le lecteur de comprendre comment on peut évaluer efficacement la justesse d’une décomposition vectorielle.

Exemple 4.3 - Retour sur le pendule blabla



u

u

T

P f

Reprenons notre schéma du pendule, rencontré à l’occasion de l’exemple 4.1, pour lequel nous avions déterminé les composantes des trois forces exercées sur le pendule :

P_x = 0 Py =−P

T_x =−T sinθ Ty = T cosθ

f_x = f cosθ fy = f sinθ

Muni de ces composantes, et sachant que −u→x et −→uy forment une base orthonormée, il nous est maintenant très simple d’exprimer les trois forces sous une forme vectorielle complète du type−→

F =F_x−u→_x+F_y −→u_y. On obtient pour chacune des forces :

−

→P = −P−u→y

−

→T = T (−sinθ−u→x + cosθ−u→y)

−

→f = f ( cosθ−u→_x + sinθ−u→_y)

La forme de décomposition présentée ici est souvent la plus utile pour le physicien : elle permet par exemple de vérifier en un coup d’oeil que les normes des forces sont bien égales à P, T, et F, respectivement. Elle permet également de vérifier instantanément la justesse des expressions obtenues : il suffit d’imaginer θ tendant vers 0 et vers ^π₂, et de déterminer dans chaque cas si les expressions trouvées sont les bonnes. Dans le cas présent :

— Si θ= 0, alorssinθ = 0 etcosθ= 1, on obtient donc −→

T =T−u→y et −→

f =f −u→x, ce qui colle parfaitement avec notre intuition.

— Siθ= ^π₂, alorssinθ= 1etcosθ= 0, on obtient donc−→

T =−T−u→x et−→

f =f−→uy, ce qui colle également avec notre intuition.

Cette technique de vérification est particulièrement conseillée, car elle permet d’éviter tout risque d’erreur lors d’une décomposition vectorielle. Avec un peu d’entraînement, le lecteur pourra même être capable de l’utiliser pour projeter n’importe quel vecteur sur n’importe quelle base de vecteurs unitaires.

Exercice 4.3 - Projection de vecteurs (entraînement)

Les questions qui suivent font explicitement référence aux schémas ci-dessus. Dans chacun d’eux est défini un vecteur quelconque, une base orthonormée de la forme (−→ui,−→uj), et un angle caractéristique (défini soit par rapport à la direction verticale, soit par rapport à l’horizontale). Le but est dans chaque question d’exprimer le vecteur dans la base correspondante, en faisant attention de ne pas se tromper concernant la direction et le sens des vecteurs unitaires utilisés. On pourra notamment utiliser la technique introduite dans le cadre de l’exemple 4.3, et consistant à imaginer que l’angle caractéristique tend vers0 ou ^π₂.

a) Décomposer le vecteur−→

A dans la base orthonormée(−→u₁,−→u₂), en fonction de l’angle αet de la norme A=||−→

A||. Vérifier explicitement la justesse du résultat.

b) Décomposer le vecteur−→

B dans la base orthonormée(−u→_x,−u→_y), en fonction de l’angle β et de la norme B=||−→

B||. Vérifier explicitement la justesse du résultat.

c) Décomposer le vecteur−→

C dans la base orthonormée(−u→_x,−→u_z), en fonction de l’angle γ et de la norme C=||−→

C||. Vérifier explicitement la justesse du résultat.

d) Décomposer le vecteur−→

D dans la base orthonormée(−→u₁,−→u₂), en fonction de l’angle θet de la norme D=||−→

D||. Vérifier explicitement la justesse du résultat.

e) Décomposer le vecteur−→

E dans la base orthonormée(−u→_x,−u→_y), en fonction de l’angle φet de la normeE =||−→

E||. Vérifier explicitement la justesse du résultat.

f) Décomposer le vecteur−→

F dans la base orthonormée(−u→x,−→uz), en fonction de l’angle ψet de la norme F =||−→

F||. Vérifier explicitement la justesse du résultat.

Exemplede