Terminons ce chapitre par une application extrêmement utilisée en Physique, et particu-lièrement en mécanique : la représentation d’un vecteur position dans différents systèmes de coordonnées. On se limitera ici à la géométrie plane, et aux deux systèmes de coor-données standard qui lui sont associées : les coorcoor-données cartésiennes et les coorcoor-données polaires.
Définitions
Commençons par la situation bien connue d’un espace plan repéré par deux axes or-thogonauxOxetOy, associés à deux vecteurs unitaires−u→x et−→uy. Le lecteur aura souvent, au lycée, repéré un pointM dans un tel plan par ses coordonnées cartésiennes, c’est-à-dire son abscisse x et son ordonnée y. Mais en termes vectoriels, quelle est la signification de ces quantités ? On voit rapidement quexetysont les composantes du vecteur−−→
OM, appelé levecteur position du pointM. Cela signifie que l’équation suivante :
−−→OM = x−u→x + y−→uy, (4.42)
est toujours valable quel que soit le signe des coordonnées x et y. La figure 4.6a illustre une situation pour laquelle à la fois x et y sont positives, et la figure 4.6b une situation pour laquelle x est positive mais y négative. Dans tous les cas, on retrouve la norme du vecteur position à l’aide du théorème de Pythagore (ou en utilisant directement le fait que
||−−→
Ce que les figures 4.6a et 4.6b illustrent également, c’est qu’il est possible de repérer autrement le point M, par ses coordonnées dites polaires notées r et θ, où r désigne la distance du point M à l’origine, et θ l’angle entre l’axe Ox et le vecteur position −−→
OM.
Ox Oy
O x
y M
uθ
ur r
uy
ux
θ Ox
Oy y
O
M uθ
ur
x r
uy
ux
a) b)
θ
OM=x ux+y uy x > 0
y > 0
x > 0 y < 0 r ur
0 <θ <π =
2 π<θ < 0
-2
Figure 4.6 – Les coordonnées polaires permettent, à partir d’une origine O et de deux axes orthogonaux notés Ox etOy, de repérer tout point M d’un plan par sa distance à l’origine, notée r, et par l’angle θentre l’axe Ox et la droiteOM.
Cet angle θ est orienté, c’est-à-dire qu’il peut prendre des valeurs positives ou négatives, modulo2π, suivant les règles associées au cercle trigonométrique. La figure 4.6a correspond à un angle θ compris entre 0 et π2, tandis que la figure 4.6b correspond à un angle entre
−π2 et04. En plus de ces coordonnées r et θ, on définit également une nouvelle base de vecteurs unitaires, appelée la base polaire, et que nous noterons (−→ur,−→uθ)5. Cette base est choisie de façon à ce que le vecteur unitaire−→ur ait la direction et le sens du vecteur position
−−→OM; le second vecteur−→uθ est alors choisi orthogonal à−→ur.
Dans cette nouvelle base, le vecteur position n’a par définition qu’une composante non-nulle, selon le vecteur unitaire−→ur, et on peut donc écrire :
−−→OM = r−→ur, (4.44)
ce qui correspond bien à une norme égale à r :
||−−→
OM|| = r (4.45)
Comme on le voit dans l’équation (4.44), la coordonnéerest bien la composante du vecteur position selon le vecteur unitaire −→ur, mais ce n’est pas le cas pour la coordonnée θ (en effet la composante du vecteur−−→
OM selon −→uθ est nulle). Les coordonnées polaires sont une première illustration du fait qu’il ne faut pas confondre le concept de “coordonnée” (quantité géométrique, distance ou angle, qui permet de repérer un point) et celui de “composante”
(quantité associée à la projection d’un vecteur sur un vecteur unitaire).
Correspondance entre les systèmes cartésiens et polaires
Puisque le même vecteur position peut-être exprimé de deux façons différentes,−−→
OM = x−u→x + y−u→y = r−→ur, il existe forcément des règles d’équivalence précises permettant de
4. De manière parfaitement équivalente, puisque l’on raisonne modulo2π, nous aurions pu écrire que sur la figure 4.6bθ est compris entre 3π2 et2π
5. D’autres notations pourront être rencontrées dans la littérature, par exemple (−→u ,−→n), ou encore (−→uρ,−u→φ) avecρetφau lieu der etθ. Les notationsretθsont toutefois les plus largement utilisées.
passer d’un système à l’autre. Par exemple, un peu de trigonométrie permet de retrouver aisément xety en fonction de r etθ :
x = rcosθ (4.46)
y = rsinθ. (4.47)
On peut bien sûr inverser ces équations pour exprimerr etθen fonction dex ety : r = p
x2+y2 (4.48)
cosθ = x
px2+y2 et : sinθ = y
px2+y2 (4.49)
Un peu de géométrie permet également de retrouver les règles de correspondance entre les vecteurs unitaires des bases cartésiennes et polaires :
−
→ur = cosθ−→ux + sinθ−→uy (4.50)
−
→uθ = −sinθ−u→x + cosθ−u→y (4.51)
Et à l’inverse :
−→
ux = cosθ−→ur − sinθ−→uθ (4.52)
−
→uy = sinθ−→ur + cosθ−→uθ (4.53)
Ces règles de correspondance s’interprètent très simplement par le fait qu’on passe de la première base à la seconde par rotation d’un angle θ, et de la seconde à la première par rotation d’un angle−θ.
4.8 Exercices complémentaires
Exercice 4.5 - Projection de vecteurs en mécanique blabla
P θ
i’
R f
j’
i j
a
La figure ci-dessus présente trois vecteurs −→ R, −→
f et −→
P qui modélisent les forces exercées sur un solide posé sur un sol en pente (−→
R la réaction du sol dans la direction orthogonale à la surface, −→
f le frottement dans la direction parallèle à la surface, −→ P le poids dirigé vers le bas). Le vecteur accélération−→a est également défini ; il est forcément
parallèle à la surface puisque l’objet ne s’enfonce pas (et ne décolle pas non plus). On notera simplement R, f, P, et a, les normes respectives de ces vecteurs −→
R, −→ f, −→
P, et
−
→a. La surface pentue fait un angleθ avec la direction horizontale.
La figure introduit également la base orthonormée (~i,~j), où le vecteur unitaire~i est horizontal et où le vecteur unitaire~j est vertical, ainsi qu’une autre base orthonormée (~i0,~j0) tourné d’un angle θpar rapport à la base (~i,~j). Ainsi, le vecteur~i0 est parallèle à la pente, tandis que le vecteur~j0 est orienté perpendiculairement à la pente.
a) Décomposez tout d’abord−→ R,−→
f,−→
P et−→a dans la base(−→ i ,−→
j).
b) Décomposez ensuite−→ R,−→
f,−→
P et−→a dans l’autre base (−→ i0,−→
j0).
c) On sait queP =mg, oùmest la masse du solide etgl’accélération de la pesanteur, et on utilise également le principe fondamental de la dynamique qui impose−→
R +
−
→f +−→
P = m−→a. A partir de la décomposition précédente, montrer que la norme du vecteur−→
R est fixée et exprimerR en fonction des paramètres du problème (m, getθ).
d) Toujours à partir de la décomposition précédente, établir une relation entre la norme def et la norme de l’accélération a. Que vautf si l’accélération est nulle ? Et si au contraire il n’y a pas de frottement, que vaut l’accélération ?
Exercice 4.6 - Changement de base blabla
θ u
xu
yu
x’u
y’Le choix d’une base de vecteurs unitaires étant souvent arbitraire, il nous faut pouvoir en changer et passer d’une base à une autre sans faire d’erreurs de calculs. La figure ci-dessus présente une base orthonormée(−u→x,−→uy) et une autre (−u→x0,−u→y0); la seconde est obtenue en tournant la première d’un angle θ. Le vecteur−→
A est un vecteur quelconque dont la décomposition dans la première base s’écrit −→
A = Ax −u→x +Ay −→uy et dont la décomposition dans la seconde base s’écrit−→
A =Ax0−u→x0 +Ay0 −u→x0.
a) Question préliminaire : déterminer en fonction de θ les quatre produits scalaires
−
→ux.−u→x0,−→ux.−u→y0,−u→y.−u→x0, et−→uy.−u→y0.
b) On s’intéresse maintenant aux formules permettant d’exprimer les vecteurs uni-taires de la seconde base dans la première, et vice-versa.
i) A l’aide des produits scalaires précédents, déterminer les expressions de −u→x0 et de −u→y0 dans la base (−u→x,−→uy), et vérifier la cohérence de vos résultats en imaginant queθ tend vers0 ou π2.
ii) De façon symétrique, déterminer les expressions de −u→x et −→uy dans la base (−u→x0,−u→y0), et vérifier la cohérence de vos résultats en imaginant que θ tend vers0 ou π2.
iii) Commenter la différence entre la première formule (permettant de passer des vecteurs unitaires de la première base à ceux de la seconde) et la deuxième formule (permettant de passer des vecteurs unitaires de la seconde base à ceux de la première).
c) On s’intéresse à présent aux formules permettant d’exprimer lescomposantesde−→ A dans la seconde base à partir de ses composantes dans la première, et vice-versa.
i) En partant de la décomposition −→
A =Ax−u→x+Ay−→uy, déterminer les produits scalaires−→
A .−u→x0 et −→
A .−u→y0 en fonction de Ax etAy. En déduire la formule qui exprime les composantesAx0 etAy0 en fonction deAx etAy, et vérifier par le calcul que les expressions trouvées satisfont bien l’égalitéA2x0+A2y0 =A2x+A2y. ii) De façon symétrique, en partant de la décomposition−→
A =Ax0−u→x0 +Ay0 −u→y0, déterminer les produits scalaires −→
A .−u→x et et−→
A .−→y en fonction de Ax0 et Ay0. En déduire la formule qui exprime les composantes Ax etAy en fonction de Ax0 etAy0, et vérifier par le calcul que les expressions trouvées satisfont bien l’égalitéA2x+A2y =A2x0 +A2y0.
iii) Commenter la différence entre la première formule (permettant de passer des composantes dans la première base à celles dans la seconde) et la deuxième formule (permettant de passer des composantes dans la seconde base à celles dans la première).
d) Ultime vérification de la cohérence des calculs précédents : dans la décomposition
−
→A =Ax0−u→x0+Ay0−u→y0, remplacer −u→x0 et−u→y0 par leurs expressions en fonction de−u→x
et−u→y, et remplacer également Ax0 et Ay0 par leurs expressions en fonction de Ax
etAy. En déduire en poursuivant le calcul que l’on retrouve bien la décomposition
−
→A =Ax−u→x+Ay−u→y.
Exercice 4.7 - Vecteurs vitesse et accélération
Un point matériel en mouvement, considéré à un instant donné, a son mouvement ca-ractérisé par un vecteur vitesse−→v et un vecteur accélération−→a.
a) On décrit tout d’abord la situation dans une base orthonormée (−→ux,−→uy), avec −u→x horizontal et−→uy vertical, et on noteravx,vy,ax etay les composantes horizontales et verticales des vecteurs vitesse et accélération. On supposera dans toute la suite qu’aucune de ces composantes n’est nulle.
i) Donner les expressions de −→a et −→v dans la base (−u→x,−→uy), ainsi que de leurs normes||−→v|| et||−→a||.
ii) Exprimer dans cette base le produit scalaire −→a .−→v et en déduire l’expression, en fonction des composantesvx,vy,ax etay, du cosinus de l’angle (−→a ,−→v).
iii) Quelle équation devrait être vérifiée par les composantes horizontales et ver-ticales pour que−→a et−→v soient orthogonaux ?
iv) Quelle équation devrait être vérifiée par ces composantes pour que −→a et −→v soient colinéaires ?
b) On met de côté le vecteur−→a pour le moment, et on cherche à définir une nouvelle base de vecteurs unitaires plus adaptée à la description du mouvement. On com-mence par introduire un nouveau vecteur unitaire−u→T, tangent à la trajectoire, qui est donc le vecteur unitaire colinéaire à−→v et dirigé dans le même sens que−→v.
i) Donner l’expression générale de −u→T en fonction du vecteur −→v et de la norme
||−→v||.
ii) En déduire la décomposition de −u→T dans la base (−u→x,−→uy), en fonction des composantesvx etvy.
iii) On note φ l’angle entre les vecteurs unitaires −u→T et −u→x. Exprimer cosφ en fonction des composantes vx et vy. Vérifier que l’expression trouvée donne bien une valeur toujours comprise entre−1 et1.
iv) Faire un dessin de la situation géométrique et utiliser ce dessin pour réexprimer
−→
uT, toujours dans la base(−→ux,−u→y), mais cette fois en fonction deφplutôt qu’en fonction des composantesvx etvy.
v) De même qu’on obtient −u→T en tournant le vecteur unitaire −u→x d’un angle φ, on peut obtenir un autre vecteur unitaire, noté −→uN, en tournant le vecteur unitaire −u→y dans le même sens et avec le même angle φ. Faire un dessin de cette situation et en déduire une expression de ce vecteur unitaire −→uN, en fonction deφet dans la base (−u→x,−u→y).
vi) A partir des expressions précédemment trouvées pour −u→T et −→uN en fonction de l’angleφ, vérifier par le calcul que ces deux vecteurs unitaires forment une base orthonormée.
c) On souhaite maintenant utiliser la nouvelle base orthonormée(−u→T,−→uN)pour décrire les différents vecteurs. De façon très générale, on commence donc par écrire −→v = vT −u→T +vN −→uN et−→a =aT −u→T +aN −→uN.
i) Par définition des vecteurs unitaires de cette nouvelle base, que vaut vN? Qu’est ce qui permet d’affirmer quevT est forcément positif, et que vaut donc vT en fonction de la norme ||−→v||? Quel est l’intérêt de cette nouvelle base, par rapport à la précédente(−→ux,−→uy)? Pourquoi a-t-on utilisé les indices T et N pour définir cette base ?
ii) Donner, en fonction des composantes dans la nouvelle base, l’expression de la norme||−→a||, du produit scalaire−→a .−→v, ainsi que du cosinus de l’angle(−→a ,−→v).
Dans toutes ces expressions on remplacera les composantes de −→v par leurs valeurs calculées à la question précédente.
iii) Quelle est la condition sur aT pour que l’angle (−→a ,−→v) soit aigu ? Et pour qu’il soit obtus ? Cela dépend-il de la valeur deaN? Faire un dessin dans les deux cas possibles.
iv) Toujours dans la nouvelle base, quelle est la condition pour que les vecteurs
−
→v et−→a soient orthogonaux entre eux ? Et pour qu’ils soient colinéaires entre eux ?
v) Quelle est la signification physique de la quantité(−→a .−u→T)−u→T ? Et de la quantité
−
→a − (−→a .−u→T)−u→T ? En donner des expressions plus simples, et les représenter sur un dessin.
Le produit vectoriel
Le produit vectoriel joue un rôle important en physique, en particulier dans l’étude des mouvements de rotation dans l’espace ainsi qu’en électromagnétisme. Le moment ciné-tique, la force de Lorentz subie par une charge en mouvement dans un champ magnéciné-tique, ou encore le vecteur de Poynting (qui décrit le flux d’énergie transporté par une onde élec-tromagnétique), sont quelques exemples de quantités physiques dont les lois sont décrites à partir d’un produit vectoriel. Mais il faut un peu d’entraînement pour maîtriser cet outil, car cela demande de visualiser des vecteurs dans les trois dimensions de l’espace.
5.1 Le produit vectoriel : définition
Par définition le produit vectoriel de deux vecteurs−→ A et−→
B, noté−→ A∧−→
B, est un vecteur (d’où son nom de produitvectoriel) dont la norme, la direction et le sens sont fixés par les règles suivantes :
— La norme de −→ A ∧ −→
B dépend des normes des deux vecteurs, ||−→
A|| et ||−→
B||, et de l’angle entre les deux, noté(−→
A ,−→
B), selon la formule suivante :
||−→ A ∧ −→
B||=||−→
A|| × ||−→
B|| × |sin(−→ A ,−→
B)| (5.1)
Dans cette formule la présence de la valeur absolue du sinus est importante pour assurer que la norme ||−→
A ∧ −→
B||soit positive.
— Le vecteur−→ A ∧ →−
B est toujours orienté dans la direction perpendiculaire à la fois à
−
→A et à −→ B.
— Le sens du vecteur −→ A ∧ −→
B est fixé par la règle de la main droite, illustrée sur la figure 5.1. Pour l’utiliser en pratique, il suffit de faire le geste de compter jusqu’à trois avec sa main droite : le premier doigt utilisé (le pouce) correspond à l’orien-tation du vecteur −→
A, le second (l’index) à l’orientation du vecteur −→
B, le troisième (le majeur) correspond à l’orientation du vecteur −→
A ∧ −→
B. Pour que cette repré-sentation soit fiable, il faut que le majeur soit orienté perpendiculairement au plan défini par le pouce et l’index, puisque−→
A∧−→
B doit être orthogonal à la fois à−→ A et à−→
B. Comme illustré sur la figure 5.2, la norme du produit vectoriel augmente lorsque l’angle (−→
A ,−→
B)se rapproche de π2, avec en particulier :
−
→A ∧ −→ B =−→
0 si−→ B
−
→A , (5.2)
B A ^ B
A
Figure 5.1 – Par convention, c’est la règle de la main droite qui permet de déterminer l’orientation du produit vectoriel de deux vecteurs.
et :
||−→ A ∧ −→
B||=||−→
A|| × ||−→
B|| si−→ B ⊥−→
A . (5.3)
On constate donc un comportement différent, pour le produit vectoriel−→ A∧−→
B, par rapport au produit scalaire−→
A .−→
B; ce dernier est en effet nul lorsque(−→ A ,−→
B) = π2 et maximal lorsque (−→
A ,−→
B) = 0. En revanche, le fait que l’angle (−→ A ,−→
B) soit aigu ou obtus ne change pas le sens du produit vectoriel (défini par la règle de la main droite). Et toujours d’après cette règle, c’est le vecteur −→
B ∧→−
A qui a la même norme et la même direction que−→ A ∧−→
B, mais est dirigé dans le sens opposé
A
B B
A
B
A
A
A B^
B A^ A B^
A B^ A B^
B
Figure 5.2 – Le produit vectoriel est toujours orthogonal aux deux vecteurs dont on fait le produit, et sa norme est maximale lorsque ces vecteurs sont orthogonaux entre eux. De plus, comme indiqué par la règle de la main droite, il faut inverser l’ordre des vecteurs pour inverser l’orientation du produit vectoriel.
Exercice 5.1 - Parallélépipède et produit mixte blabla
B A
B C A^
β h’
B
A α
h B
A^
Sur les figures ci-dessus, les vecteurs−→ A,−→
B et−→
C sont des vecteursgéométriques, c’est-à-dire qu’ils ont tous la dimension d’une distance et qu’ils correspondent à une translation entre deux points de l’espace. La figure de gauche représente le parallélogramme défini par les deux vecteurs−→
A et−→
B, vu du dessus, c’est-à-dire que l’observateur fait face au plan défini par−→
A et−→
B (le produit vectoriel−→ A ∧−→
B est alors dirigé vers l’observateur, comme exigé par la règle de la main droite). La figure de droite représente le parallélépipède défini par les trois vecteurs−→
A,−→ B et−→
C.
a) On définit la hauteurhet l’angleαcomme sur la figure de gauche : déterminerhen fonction de la norme de−→
A et de l’angleα. En déduire que l’aire du parallélogramme défini par−→
A et−→
B est égale à la norme de−→ A ∧ −→
B. b) On s’intéresse à la quantité(−→
A ∧−→ B).−→
C, appelée leproduit mixtedes trois vecteurs
−
→A,−→ B et−→
C. Quel est le signe de cette quantité, dans le cas du parallèlépipède sur la figure de droite ?
c) On définit la hauteurh0 et l’angle β comme sur la figure de droite : déterminer h0 en fonction de la norme de−→
C et deβ. En déduire que le produit mixte(−→ A∧−→
B).−→ C est simplement égal au volume du parallélépipède.