Comme le lecteur assidu l’aura remarqué, l’exercice 9.3 fait intervenir un mouvement circulaire (le vecteur position étant de norme constante) et uniforme (le vecteur vitesse étant lui aussi de norme constante), avec un vecteur accélération orienté vers le centre de la trajectoire. Ce type de mouvement correspond, entre autres exemples, à la rotation d’un satellite autour de la Terre. On se rend compte toutefois que les calculs effectués en base cartésienne sont peu commodes pour un tel mouvement : l’utilisation de la base polaire aurait été plus pratique. Nous souhaitons pour cela trouver des formules analogues aux équations (9.11), mais adaptées à la cinématique en coordonnées polaires.
Dans la base polaire, comme nous l’avons vu au chapitre 4, un pointM est décrit par ses coordonnéesretθ, et les vecteurs sont décomposés selon les vecteurs unitaires−→uret−→uθ. Nous savons également que le vecteur position −−→
OM a pour composanter selon −→ur. Enfin, de façon générale, nous pouvons noter vr et vθ les composantes du vecteur vitesse, ar et aθ celles du vecteur accélération. Plus précisément :
−−→OM = r−→ur (9.12)
−
→v = vr−→ur+vθ−→uθ (9.13)
−
→a = ar−→ur+aθ−→uθ (9.14)
La question que l’on se pose est alors la suivante : que valentvr,vθ, ar etaθ (et donc les vecteurs −→v et−→a), en fonction des lois horairesr(t) etθ(t)?
Avant tout calcul, comme nous l’avions fait pour les coordonnées cartésiennes, il est utile de visualiser ce qui se passe lorsque le point matériel se déplace de façon infinitésimale, depuis un point M(r, θ) à l’instant t, vers un point M0 de coordonnées (r+ dr, θ+ dθ) à l’instant t+ dt. Comme on le voit sur la figure 9.4, le vecteur déplacement infinitésimal d−−→
OM =−−−→
M M0 est simplement donné par : d−−→
OM = dr−→ur+rdθ−→uθ, (9.15)
Cette équation fait intervenir le fait qu’une variation dr de la coordonnée r implique un déplacement radial (dans la direction −→ur, de longueur dr, tandis qu’une variation dθ de la coordonnée θ implique un déplacement orthoradial (dans la direction −→uθ, de longueur rdθ4. Il s’agit d’une équation fondamentale qui doit pouvoir être retrouvée instantanément par le lecteur, en reprenant le dessin de la figure 9.4. Dans le cas présent, elle nous permet de retrouver directement la formule du vecteur vitesse en divisantd−−→
OM pardt :
−
→v = d−−→
OM dt = dr
dt
−
→ur+rdθ dt
−
→uθ (9.16)
Avec des notations plus concises, nous pouvons donc écrire :
−
→v = ˙r−→ur+rθ˙−→uθ, (9.17)
et de façon équivalente nous pouvons écrire que la composante radiale du vecteur vitesse est vr= ˙r, tandis que sa composante orthoradiale est vθ=rθ.˙
Dans les considérations précédentes, on notera que nous avons fait intervenir une quan-tité très importante : θ˙ = dθdt. Cette quantité nous renseigne sur la variation d’angle dθ obtenue pendant l’intervalle de temps infinitésimal dt, selon dθ = ˙θdt. On appelle donc θ˙ lavitesse angulaire du mouvement. Contrairement à une vitesse “standard”, mesurée en mètres par secondes, une vitesse “angulaire” se mesure en radians par seconde.
Bien entendu, comme précédemment, nous aurions pu retrouver la formule (9.17) par le calcul. Une première approche possible consiste à partir de la formule déjà démontrée
−
→v = ˙x−u→x + ˙y−u→y, et de la réexprimer en fonction des coordonnées polaires plutôt que cartésiennes. Il nous faut pour cela rappeler que x = rcosθ et que y = rsinθ, ce qui permet de déduire les dérivées x˙ ety˙ :
˙
x = r˙cosθ−rθ˙sinθ (9.18)
˙
y = r˙sinθ+rθ˙cosθ (9.19)
En remplaçantx˙ ety˙ dans la formule du vecteur vitesse, on obtient alors :
−
→v = ˙x−u→x+ ˙y−→uy = ˙r(cosθ−u→x+ sinθ−→uy) +rθ(−˙ sinθ−→ux+ cosθ−u→x) (9.20) Or, avec un peu de géométrie, nous avions pu montrer au chapitre précédent quecosθ−u→x+ sinθ−u→y est justement égal à−→ur et que −sinθ−u→x+ cosθ−u→x est égal à−→uθ (équations (4.50) et (4.51)). On retrouve alors bien l’expression du vecteur vitesse dans la base polaire,
4. Pour comprendre ce dernier point, il est important de rappeler qu’on étudie une variationdθ infi-niment petite. Dans un tel cas il suffit d’un peu de géométrie pour voir que la longueur du déplacement orthoradial est donné par rdθ, avecdθ en radians (ce déplacement orthoradial est par nature un arc de cercle de rayonret d’angledθ, et dans l’approximation des petits angles on peut assimiler la longueur du déplacement orthoradial et la longueur de l’arc de cercle, cf chapitre “Géométrie et trigonométrie”).
Ox Oy
O
M d r u
rr d θ u
θM’
r + d r r
d θ θ
dr u
r+ r d θ u
θdOM = MM’ =
Figure 9.4 – Le vecteur déplacement infinitésimal d−−→
OM = −−−→
M M0, qui correspond à un déplacement depuis le pointM de coordonnées(r, θ)vers le point voisinM0de coordonnées (r+dr, θ+dθ), peut s’exprimer très simplement dans la base polaire :d−−→
OM = dr−→ur+rdθ−→uθ. En effet, une petite variationdrimplique un petit déplacement radial de longueurdr, tandis qu’une petite variation d’angledθimplique un petit déplacement orthoradial de longueur rdθ.
i.e. −→v = ˙r −→ur +rθ˙−→uθ. Et nous laissons au lecteur le soin de démontrer, à l’occasion de l’exercice 9.4, que cette même approche permet de trouver également la formule du vecteur accélération en coordonnées polaires :
−
→a = (¨r−rθ˙2)−→ur+ (rθ¨+ 2 ˙rθ)˙ −→uθ, (9.21)
Exercice 9.4 - Vecteur accélération en coordonnées polaires
On cherche dans cet exercice à exprimer le vecteur accélération dans la base polaire à partir de son expression−→a = ¨x−u→x+ ¨y−u→y dans la base cartésienne.
a) Partant dex=rcosθ ety=rsinθ, calculer x¨ ety. Pour chacune de ces dérivées¨ seconde, mettre en facteur les termes proportionnels àcosθ, d’une part, et àsinθ d’autre part.
b) Remplacer les expressions obtenues pourx¨ety¨dans l’expression cartésienne de−→a. Mettre le résultat obtenu sous une forme faisant apparaître les vecteurs unitaires cosθ−u→x+ sinθ−u→y et−sinθ−u→x+ cosθ−u→y.
c) Par identification de−→ur et−→uθ, en déduire l’expression du vecteur accélération dans la base polaire.
d) Au final, que vaut la composante radiale du vecteur accélération,ar? Et que vaut sa composante orthoradialeaθ?