Calcul de produits vectoriels dans une base orthonormée directe

Propriétés des bases orthonormées directes

Comme pour le calcul de produits scalaires, il est extrêmement pratique de travailler avec des composantes dans une base orthonormée. Mais auparavant, il faut introduire une convention (qui n’est pas nécessaire pour calculer des produits scalaires, mais est indispen-sable pour des produits vectoriels) : cette convention est de toujours travailler avec une base orthonormée directe. Par définition, une base directe est une base de trois vecteurs unitaires qui, classés dans un certain ordre tel que (−→u₁,−→u₂, −→u₃), ou (−u→_x, −→u_y,−→u_z), vérifie la règle de la main droite comme illustré sur la figure 5.4 : le pouce représente le premier vecteur, l’index le second, et le majeur le troisième.²

Le choix d’une base orthonormée directe (−→u1, −→u2, −→u3) est particulièrement utile pour travailler avec des produits vectoriels, puisque cela impose les trois relations suivantes :

−

→u1 ∧ −→u2 = −→u3, −→u2 ∧ −→u3 = −u→1, et : −→u3 ∧ −→u1 = −→u2. (5.15) Ces trois relations correspondent aux trois suites (1,2,3),(2,3,1)et(3,1,2), qui sont des suites croissantes si l’on considère que 3 vient juste après 1. Ces trois relations peuvent d’ailleurs être considérées comme la définition même d’une base orthonormée directe ; en effet, elles ne peuvent être valables que si les trois vecteurs sont bien orthogonaux, uni-taires, et vérifiant la règle de la main droite.

Par anticommutation du produit vectoriel, on en déduit également les relations sui-vantes :

−

→u₂ ∧ −→u₁ = −−→u₃, −→u₃ ∧ −→u₂ = −−→u₁, et : −→u₁ ∧ −→u₃ = −−→u₂. (5.16)

2. Pour indiquer qu’une base directe se construit avec la main droite, on emploie parfois le terme de base dextrogyre. A l’inverse une base indirecte, c’est-à-dire construite avec la main gauche, est parfois appelée lévogyre.

u

₁

u

₂

u

₃

Figure 5.4 – Une base orthonormée directe est obtenue en positionnant perpendiculaire-ment les uns aux autres les trois premiers doigts de la maindroite.

Ces trois combinaisons correspondent aux trois suites(2,1,3),(3,2,1)et(1,3,2), qui sont des suites décroissantes si l’on considère que3 vient juste après 1. On complète ces équa-tions avec les relaéqua-tions évidentes suivantes :

−

→u1 ∧ −→u1 = −→

0, −→u2 ∧ −→u2 = −→

0, et : −→u3 ∧ −→u3 = −→

0, (5.17)

où −→

0 désigne le vecteur de norme nulle.³

Produit vectoriel et composantes : la formule générale

Ce sont ces équations basiques qui vont s’avérer extrêment pratiques pour calculer le produit vectoriel de n’importe quels vecteurs connaissant leurs composantes. En effet, dans le cas le plus général possible d’un vecteur quelconque−→

A =A₁−→u₁+A₂−→u₂+A₃−→u₃ et d’un vecteur quelconque−→

B =B₁−→u₁+B₂−→u₂+B₃−u→₃, le produit vectoriel−→ A∧−→

B est par définition égal à :

−

→A ∧ −→

B = (A1−→u1+A2−→u2+A3−u→3) ∧ (B1−→u1+B2−→u2+B3−→u3) (5.18) Comme nous l’avons fait pour le produit scalaire, ce produit vectoriel peut être calculé grâce à la distributivité du produit vectoriel. On obtient ainsi une somme de neuf termes différents :

−

→A ∧ −→

B = A₁B₁−→u₁ ∧ −→u₁+A₁B₂−→u₁ ∧ −→u₂+A₁B₃−→u₁ ∧ −→u₃

+ A₂B₁−→u₂ ∧ −→u₁+A₂B₂−→u₂ ∧ −→u₂+A₂B₃−→u₂ ∧ −→u₃ (5.19) + A₃B₁−→u₃ ∧ −→u₁+A₃B₂−→u₃ ∧ −→u₂+A₃B₃−→u₃ ∧ −→u₃

(5.20) En utilisant les équations (5.15) à (5.17), le lecteur pourra facilement simplifier ces calculs et démontrer le résultat fondamental suivant :

−

→A ∧ −→

B = (A₂B₃ −A₃B₂)−→u₁ + (A₃B₁ −A₁B₃)−→u₂ + (A₁B₂ −A₂B₁)−→u₃ (5.21)

3. Il est important ici de préciser−→

0 au lieu de0, pour que la nature vectorielle de l’équation (5.17) soit clairement respectée.

Cette formule se retrouve en suivant la logique suivante : elle est composée d’une somme de tous les termes possibles de la formeA_iB_j−u→_k, avec i,j etk égaux à1,2et3mais tous différents les uns des autres. De plus, dans cette somme, les termes AiBj−→uk sont comptés avec un signe positif si les entiers i,j et k forment une suite croissante, et avec un signe négatif si ces entiers forment une suite décroissante. Il n’y a que trois suites croissantes possibles : (1,2,3), (2,3,1), et (3,1,2); et trois suites décroissantes possibles : (3,2,1), (2,1,3), et(1,3,2). On retrouve bien les six termes de l’équation (5.21).

Une autre notation est souvent utilisée pour retrouver les composantes d’un produit vectoriel : celle du triplet de composantes. L’équation (5.21) nous indique en effet que les composantes du vecteur −→

A ∧ −→

B, selon les vecteurs unitaires −→u1,−→u2, et −→u3 valent respec-tivement A₂B₃−A₃B₂, A₃B₁−A₁B₃, et A₁B₂−A₂B₁. La figure 5.5 illustre cette règle tout en fournissant un moyen mnémotechnique pour retrouver rapidement les valeurs des composantes : pour chaque composante on effectue un “produit en croix” faisant intervenir les deux autres composantes. Cette construction est parfaitement équivalente à l’équation (5.21), mais a pour défaut de ne pas garder trace de la base de vecteurs unitaires utilisée.

Pour éviter de se tromper, le lecteur aura donc souvent intérêt à travailler directement avec l’équation (5.21).

A

₁

A

₂

A

₃

A

₁

B

₁

B

₂

B

₃

B

₁

A

₂

B

₂

=

A

₁

B

₂

– A

₂

B

₁

A

₂

B

₃

– A

₃

B

₂

A

₃

B

₁

– A

₁

B

₃

^

Figure 5.5 – Un moyen mnémotechnique pour retrouver les composantes d’un produit vectoriel, dans une base orthonormée directe, à partir des composantes des deux vecteurs de départ.

Rappelons finalement qu’en physique on choisit souvent une base de vecteurs unitaires pour laquelle l’expression des vecteurs est relativement simple ; appliquer la formule gé-nérale du produit vectoriel ne s’avère alors pas forcément indispensable. Par exemple, en mécanique, si l’on cherche à calculer le moment cinétique (par rapport à une origine O)

−−→L_(O) =−−→

OM ∧ −→p, pour une masse située au pointM et ayant la quantité de mouvement

−

→p, on pourra choisir un triède orthonormé direct (−u→ρ,−u→_φ,−→uz) tel que −−→

OM = ρ−→uρ, et tel que −→p = pρ−u→ρ+pφ−u→φ4. Dans un tel cas, −−→

OM ∧ −→p = ρ−→uρ ∧ (pρ−→uρ+pφ−u→φ), qui est simplement égal à ρ pφ−→uz puisque −→uρ ∧ −u→ρ = −→

0 et −→uρ ∧ −u→φ = −→uz . Nul besoin d’écrire la formule générale (5.21) dans un tel cas ; il suffit d’appliquer aux vecteurs unitaires les règles simples associées à une base orthonormée directe.

4. Les notations utilisées ici sont celles usuellement associées aux coordonnées cylindriques, qui seront étudiées en détail plus tard

Exercice 5.2 - Produit vectoriel dans une base directe : entraînement

a) Calculer les produits vectoriels −→ U ∧ −→

V||² = 1. Donner une interprétation géométrique de cette égalité, et vérifier sa justesse en calculant le produit scalaire−→

U · −→

W||² = 1. Donner une interprétation géométrique de cette égalité, et vérifier sa justesse en calculant le produit scalaire−→

U · −→

W||². Donner une interprétation géométrique des deux quantités.

e) Généralisation : quel argument géométrique permet d’affirmer que||−→ A ∧ −→

B||² pour deux vecteurs quelconques−→ A et−→

B?

Exercice 5.3 - Exemples de produits vectoriels en physique

Les questions qui suivent, tirées d’exemples de mécanique ou d’électromagnétisme, font référence aux bases orthonormées directes associées aux coordonnées cartésiennes (−u→x,

−

→u_y, −→u_z), cylindriques (−→u_ρ, −u→_φ,−→u_z), ou sphériques (−→u_r, −→u_θ, −u→_φ). L’étude de ces bases fera l’objet d’un autre chapitre ; en attendant, la seule chose à retenir ici est qu’il s’agit de bases orthonorméesdirectes. Pour chacune des questions ci-dessous, la quantité physique à calculer doit l’être de deux façons différentes : d’une part en utilisant directement les propriétés du produit vectoriel et celles des bases orthonormées directes, c’est-à-dire les équations (5.15), d’autre part en utilisant le moyen mnémotechnique décrit sur la figure 5.5. Les deux méthodes doivent bien entendu aboutir au même résultat.

a) Pour un solide tournant, avec le vecteur vitesse angulaire −→ω, autour d’un axe passant par l’origine O, le vecteur vitesse en un point M est donné par −→v =

−

→ω ∧−−→

OM. Calculer−→v dans le cas particulier où−→ω = ω−→u_z et où−−→

OM = ρ−u→_ρ+z−→u_z. b) Pour une chargeqse déplaçant avec le vecteur vitesse−→v dans un champ magnétique

−

c) Pour un point matérielM doté d’une quantité de mouvement −→p, le moment ciné-tique de ce point par rapport à une origineOest donné par−−→

L_(O)=−−→

F, le moment de cette force par rapport à une origineO est donné par−−−→

M_(O)=−−→

OM ∧ −→

F. Calculer−−−→

M_(O) dans le cas particulier où−−→

OM = L−u→_ρet−→

F = mg cosφ−→u_ρ − mg sinφ−u→_φ.

e) Pour un (petit) élément de circuit électrique situé au point P, correspondant au (petit) déplacement−→

dl, et parcouru par un courantI, le (petit) champ magnétique engendré en un point distantM vaut −→

dB = ^µ_4π^0I

f) Pour un objet ponctuel de masse m qui se déplace avec le vecteur vitesse −→v par rapport à un référentielnon-galiléen, ce référentiel étant caractérisé par un mouve-ment de rotation avec un vecteur vitesse angulaire−→ω, la pseudo-force de Coriolis ressentie par cet objet est donnée par−→

FC = −2m−→ω ∧ −→v. Calculer −→

FC dans le cas particulier où−→ω =ω cosθ−→ur − ω sinθ−→u_θ et où−→v = v_θ−→u_θ+ v_φ−u→_φ.

g) Pour un objet ponctuel de masse m situé au point M dans un référentiel non-galiléen ayant un mouvement de rotation avec un vecteur vitessse angulaire −→ω autour d’un axe contenant l’origineO, la pseudo-force centrifuge ressentie par cet objet est donnée par−→

F_c = m−→ω ∧ (−→ω ∧−−→

OM). Calculer −→

F_cdans le cas particulier où−→ω =ω−→u_z et où−−→

OM = ρ−→u_ρ + z−→u_z.

5.5 Exercices complémentaires

Exercice 5.4 - Le double produit vectoriel Soient trois vecteurs quelconques −→

A, −→ B et −→

C. On souhaite démontrer les égalités ci-dessous faisant intervenir des doubles produits vectoriels :

(−→

Pour simplifier les calculs, on se place dans une base orthonormée directe soigneusement choisie. Tout d’abord, on prend pour premier vecteur unitaire−→u1un vecteur orienté dans le même sens que le vecteur −→

A. On choisit ensuite un vecteur unitaire −→u2 orthogonal à

−

→u₁, et qui soit dans le plan défini par−→ A et−→

B. On choisit ensuite pour troisième vecteur unitaire un vecteur orthogonal aux deux autres, et pour que la base soit bien orthonormée directe on le prend tel que−→u₃ =−→u₁∧ −→u₂. Dans cette base bien choisie, les décompositions des trois vecteurs s’écrivent :

−

a) Exprimer le produit vectoriel−→ A∧−→

c) Exprimer le produit vectoriel−→ B∧−→

C, puis le double produit vectoriel−→ A∧(−→

e) Démontrer que pour tout vecteur −→

F et pour tout vecteur unitaire −→u, l’égalité suivante est toujours vérifiée :

−

→F = (−→

F · −→u)→−u + −→u ∧ (−→

F ∧ −→u) (5.24)

f) A la lumière des considérations de la section 5.2, quelle est l’interprétation géomé-trique de cette dernière égalité ?

Exercice 5.5 - Changements de base en trois dimensions

a) Dans la base orthonormée directe (−u→_x,−u→_y,−→u_z), on définit les vecteurs suivants :

−→

u_x⁰ = cosα−u→_x + sinα−→u_y

−→

u_y⁰ = −sinα−u→_x + cosα−u→_y

−→

u_z⁰ = −→uz

oùα désigne un angle entre0 et ^π₂.

i) Que peut-on dire du triplet(−u→_x⁰,−u→_y⁰,−u→_z⁰)dans le cas particulier oùα est nul ? ii) Le triplet(−u→_x⁰,−u→_y⁰,−u→_z⁰) désigne une base orthonormée directe si et seulement si−u→x⁰ ∧ −u→y⁰ = −u→z⁰,−u→y⁰ ∧ −u→z⁰ = −u→x⁰, et−u→z⁰ ∧ −u→x⁰ = −u→y⁰. Vérifier que c’est bien le cas.

iii) Vérifier à l’aide du produit scalaire que les trois vecteurs −u→_x⁰,−u→_y⁰ et−u→_z⁰ sont unitaires, et qu’ils sont bien orthogonaux entre eux.

iv) Calculer le produit scalaire−u→_x⁰.−u→_xet en déduire l’angle entre ces deux vecteurs.

De même, déterminer l’angle entre−u→_y⁰ et−→u_y, l’angle entre−u→_x⁰ et−u→_z, et l’angle entre l’angle entre−u→_y⁰ et−→uz.

v) Finalement, de quel angle et autour de quel axe faut-il tourner la base (−u→_x,

−

→uy,−→uz), pour obtenir la base(−u→x⁰,−u→y⁰,−u→z⁰)?

b) Dans la base orthonormée directe (−u→x,−u→y,−→uz), on définit les vecteurs suivants :

−→ux⁰⁰ = cosα−u→x + sinα−→uy

−→u_y⁰⁰ = −sinα cosβ−u→_x + cosα cosβ−→u_y − sinβ−→u_z

−→u_z⁰⁰ = −sinα sinβ−u→_x + cosα sinβ−→u_y + cosβ−u→_z oùα etβ désignent des angles entre0et ^π₂.

i) Que peut-on dire du triplet (−→u_x⁰⁰,−→u_y⁰⁰,−→u_z⁰⁰) dans le cas particulier où β est nul ?

ii) Le triplet(−→u_x⁰⁰,−→u_y⁰⁰,−→u_z⁰⁰)désigne une base orthonormée directe si et seulement si−→u_x⁰⁰ ∧ −→u_y⁰⁰ = −→u_z⁰⁰, −→u_y⁰⁰ ∧ −→u_z⁰⁰ = −→u_x⁰⁰, et −→u_z⁰⁰ ∧ −→u_x⁰⁰ = −→u_y⁰⁰. Vérifier que c’est bien le cas.

iii) Vérifier à l’aide du produit scalaire que les trois vecteurs −→u_x⁰⁰,−→u_y⁰⁰ et−→u_z⁰⁰ sont unitaires, et qu’ils sont bien orthogonaux entre eux.

iv) Montrer que−→u_x⁰⁰,−→u_y⁰⁰ et−→u_z⁰⁰ peuvent s’exprimer en fonction de−u→_x⁰,−u→_y⁰ et−u→_z⁰ et de l’angleβ seulement.

v) Déterminer les angles entre −→uy⁰⁰ et−u→y⁰ et entre−→uy⁰⁰ et−u→x⁰, ainsi que les angles entre−→u_z⁰⁰ et−u→_z⁰ et entre−→u_z⁰⁰ et−u→_x⁰.

vi) Finalement, de quel angle et autour de quel axe faut-il tourner la base (−u→_x⁰,

−→

uy⁰,−u→z⁰) pour obtenir la base(−→ux⁰⁰,−→uy⁰⁰,−→uz⁰⁰)?

Le calcul différentiel

Le terme de calcul différentiel évoque souvent un ensemble de concepts mathématiques un peu abstraits ; nous avons au contraire besoin d’outils pratiques, faciles d’utilisation, et dotés d’une signification bien concrète. Ce chapitre a donc pour but de donner du sens aux notions de différentielles et de dérivées, telles qu’elles sont manipulées au quotidien par les physiciens et les ingénieurs, avec les notations et le bon sens empiriques qui leurs sont propres.

Dans le document Méthodologie et outils mathématiques pour la physique (Page 74-81)