Comme indiqué précédement, faire de la cinématique en coordonnées polaires rec-quiert l’obtention de formules générales pour les vecteurs vitesse et accélération. Cet ob-jectif est atteint puisque les équations (9.17) et (9.21), i.e. −→v = ˙r−→ur +rθ˙−→uθ et −→a = (¨r−rθ˙2)−→ur+ (rθ¨+ 2 ˙rθ)˙ −→uθ, sont les formules les plus générales possibles : elles peuvent donc décrire n’importe quel mouvement plan. Ces équations peuvent paraître complexes, mais elles ont le mérite de pouvoir se simplifier énormément dans de nombreuses situations, et s’avèrent particulièrement utiles pour l’étude des mouvements tournants.
Prenons l’exemple d’un mouvement circulaire uniforme : il sera simplement caractérisé par un rayon constant r = R (et donc r˙ = 0 et r¨ = 0), et par une vitesse angulaire constante θ˙ = ω (et donc θ¨= 0). En remplaçant r, r,˙ ¨r,θ˙ et θ¨ par ces valeurs dans les formules générales de−→v et−→a, on obtient des expressions simples pour les vecteurs vitesse et accélération dans la base polaire :
−
→v = Rω−→uθ (9.22)
−
→a = −Rω2−→ur (9.23)
Nous avons donc retrouvé beaucoup plus directement les résultats de l’exercice 9.3 : comme illustré sur la figure 9.5a, le vecteur vitesse associé à un mouvement circulaire uni-forme est orthoradial, tandis que le vecteur accélération est radial et orienté vers le centre de la trajectoire. La norme ||−→v|| du vecteur vitesse, que l’on appelle la célérité du point matériel et que l’on note plus simplementv, est logiquement constante : elle est proportion-nelle à la fois au rayonR et à la vitesse angulaireω, selonv=Rω. Quant à la norme||−→a||
du vecteur accélération, notée plus simplement a, elle est également constante et donnée par a = Rω2 qui est aussi égal à a = vR2. Ces résultats sont très faciles à retrouver, ne serait-ce que par analyse dimensionnelle : il n’est pas possible de construire autrement une vitesse et une accélération à partir des quantités R etω.
Une autre situation importante est le cas d’un mouvement circulaire non uniforme, illustré sur la figure 9.5b. Dans cette configuration la trajectoire est toujours circulaire, et donc la norme du vecteur position reste constante :r=Rdoncr˙= 0et¨r= 0. Par contre, la vitesse angulaireθ˙n’est plus constante etθ¨n’est donc plus égal à zéro : cette quantitéθ¨ est appelée l’accélération angulaire. En remplaçant ces valeurs dans les formules générales, on obtient cette fois-ci :
−
→v = Rθ˙−u→θ (9.24)
−
→a = −Rθ˙2−→ur+Rθ¨−→uθ (9.25)
Comme précédemment, et comme pour tout mouvement circulaire, le vecteur vitesse est purement orthoradial et de norme v = Rθ˙ (célérité proportionnelle à R et à la vitesse angulaire θ). La composante radiale du vecteur accélération est également donnée par˙ ar=−Rθ˙2 =−vR2. Il existe toutefois deux différences par rapport à la situation précédente :
— La vitesse angulaire θ˙ étant variable, la célérité v = ||−→v|| varie également, et la variation de cette célérité est proportionnelle à l’accélération angulaire θ¨:v˙ = dvdt =
d(Rθ)˙
dt , doncv˙=Rθ.¨
θ
uθ ur v
r a
v
v v
a a
a
v a
O Ox
Oy
θ
uθ ur v
a
v a
a
O Ox
Oy r
v v
a v
a
a. b.
Figure 9.5 – a. Vecteurs vitesse et accélération dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme : la célérité v = ||−→v|| reste constante et le vecteur accélération est radial. b.
Vecteurs vitesse et accélération dans le cas d’un mouvement circulaire non uniforme : la célérité v=||−→v|| varie au cours du déplacement, et le vecteur accélération a une compo-sante orthoradiale en plus de sa compocompo-sante radiale. Dans les deux cas le vecteur vitesse est orthoradial car tangent à la trajectoire circulaire.
— Cette accélération angulaire implique une composante orthoradiale non-nulle pour le vecteur accélération, donnée par aθ = Rθ. Cette composante orthoradiale est,¨ comme on le voit, simplement égale à la dérivée de la célérité par rapport au temps, i.e.aθ = ˙v.
Exercice 9.5 - Mouvements circulaires (entraînement)
a) On considère un mouvement circulaire non uniforme, d’accélération angulaire constante θ¨ = α. Déterminer la loi horaire θ(t) sachant qu’à l’instant t = 0 la vitesse angulaire est égale àω0 et l’angleθ égal àθ0.
b) On considère un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaireω. Déterminer la loi horaireθ(t) sachant qu’à l’instantt= 0 l’angle θvaut 0.
c) Démontrer que −→v .−→a = vv˙ pour un mouvement circulaire de célérité variable v.
Lorsque la célérité augmente, l’angle entre les vecteurs−→v et−→a est-il aïgu, droit, ou obtus ? Même question lorsque la célérité diminue, et lorsque la célérité reste constante (cas du mouvement uniforme).
d) On considère un mouvement circulaire uniforme, périodique avec une période T : exprimer la vitesse angulaire ω en fonction de T. Exprimer également la vitesse angulaire en fonction de la fréquencef des tours, c’est-à-dire du nombre de tours par seconde. Quelle est la vitesse angulaire associée à la rotation de la Terre sur son axe ?
e) Calculer la vitesse angulaireω correspondant au mouvement d’un pilote de course effectuant un tour par minute, à vitesse constante, sur une trajectoire circulaire de rayon1km. Calculer également la célérité v du véhicule, en mètres par seconde et en kilomètres par heure.
f) Calculer, pour ce même pilote, son accélération radiale ar, et vérifier qu’elle est comparable à l’accélération de la pesanteur. Que peut-on dire de l’accélération orthoradialeaθ?
Exemplede
Exercice 9.6 - Etude d’un mouvement
On donne la loi horaire d’un mouvement en coordonnées cartésiennes : x(t) = Acos 12α t2+β t+γ
ety(t) =Asin 12α t2+β t+γ
, avec A,α etβ des constantes positives.
a) Donner avant tout calcul les dimensions des quantitésA,α,β etγ.
b) Calculer la norme du vecteur position et en déduire que le mouvement est circulaire.
Quelle est la signification physique de la quantitéA? Que valentr(t),r˙ et¨r? c) Par identification der etθ dans les lois horaires cartésiennes, montrer que θ(t) =
1
2α t2+β t. Que vaut la vitesse angulaireθ˙? Et que vaut l’accélération angulaireθ¨? Quelle est alors la signification physique des quantitésα etβ? Comment peut-on appeler un tel mouvement ?
d) A l’aide de la formule générale (9.17), et des valeurs trouvées pourr,r˙etθ, exprimer˙ le vecteur vitesse en coordonnées polaires, en fonction detet des paramètresA,αet β. Indiquer également les valeurs de sa composante radialevr et de sa composante orthoradialevθ : que peut-on dire de la direction du vecteur vitesse ?
e) Calculer finalement la célérité v = ||−→v||. Comment évolue cette célérité au cours du temps ?
f) A l’aide de la formule générale (9.21), et des valeurs trouvées pour r, r,˙ r,¨ θ˙ et θ, exprimer le vecteur accélération en coordonnées polaires. Indiquer également les¨ valeurs de sa composante radialear et de sa composante orthoradialeaθ. Comment évoluentar etaθ au cours du temps ?
g) Calculer −→v .−→a et déterminer si l’angle (−→v ,−→a) est obtus, droit ou aigu. Calculer ensuite cos(−→v ,−→a). Montrer que l’angle (−→v ,−→a) augmente au cours du temps et finit par tendre vers π2.
h) En prenant en compte les résultats précédents, dessiner la trajectoire du mouve-ment ainsi que les vecteurs−→v et−→a en différents points.