Physique Mathématiques 2

Preparé par Dr. Issakha YOUM

African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana

Physique

Mathématiques II

Note

Ce document est publié sous une licence Creative Commons 2.5 de paternité (la moins restrictive).

http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution

http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abbreviated “cc-by”), Version 2.5.

I. Physique Mathematique II____________________________________ 3 II. Pré requis ________________________________________________ 3 III. Temps ___________________________________________________ 3 IV. Matériels didactiques _______________________________________ 3 V. Justification ______________________________________________ 3 VI. Contenu__________________________________________________ 4 6.1 Aperçu général _______________________________________ 4 6.2 Contnu _____________________________________________ 4 6.3 Représentation graphique _______________________________ 5 VII. Objectifs Généraux _________________________________________ 6 VIII. Objectifs spécifiques _______________________________________ 6 IX. Activités d’enseignement et d’apprentissage ______________________ 9 X. Activités d’apprentissage ___________________________________ 21 XI. Concepts-clé (glossaire) ____________________________________ 68 XII. Lectures obligatoires _______________________________________ 69 XIII. Liens utiles ______________________________________________ 72 XIV. Synthèse du module _______________________________________ 86 XV. Évaluation sommative _____________________________________ 87 XVI. Références bibliographiques _______________________________ 114 XVII. Auteurs du module ______________________________________ 116 XVIII. Fiche d'évaluation ______________________________________ 117

Table des maTières

i. Physique mathematique ii

Par Dr. Issakha Youm, Professeur titulaire

ii. Pré requis

Pour suivre ce module, l’apprenant(e) doit maitriser les notions suivantes : élé- ments de calcul vectoriel (somme vectorielle, multiplication d’un vecteur par un scalaire, produit scalaire de deux vecteurs), éléments d’analyse et de séries, dérivée partielle, dérivée d’une fonction implicite, différentielle totale et exacte.

iii. Temps

La durée du module est de 120 heures réparties comme suit Activité 1 (20 heures) : Algèbre des vecteurs dans ℝ³.

Activité 2 (30heures) : Les fonctions vectorielles d’une et de deux variables.

Acivité 3 (30 heures) : Les champs physiques.

Activité 4 (40 heures): Les intégrales spatiales - Application en physique.

iV. matériel

En plus du matériel habituel nécessaire pour noter un cours et effectuer un des- sin géométrique (cahier, stylos, crayon, compas, équerre, rapporteur, règle…) ; l’aprenant (e) aura besoin d’un ordinateur avec connexion Internet et d’une cal- culatrice graphique

V. Justification du module

La physique a besoin dans la formulation des lois de la nature d’outils mathé- matiques. Mais un constat s’impose :l’outil mathématique est souvent en retard par rapport à son utilisation en physique. L’apprentissage du cours de Physique mathématique II est important pour l’enseignement de la Physique, en ce sens qu’il vous fournit les régles de calcul nécessaires pour combler rapidement les lacunes éventuelles des apprenant(e)s sans se référer au cours de mathématique.

Vi. Contenu

6.1 Aperçu général

Ce module de Physique Mathématique II, poursuit et prolonge celui de Physi- que Mathématique I en développant les outils du calcul différentiel et intégral pour les fonctions (scalaires ou vectorielles) de plusieurs variables. Il renferme des informations sur les vecteurs, la géomètrie de l’espace, les fonctions vecto- rielles, les courbes, les surfaces, les dérivées partielles, les intégrales mutiples et quelques applications dont les calculs d’aire et de volume ; Il traite aussi les intégrales curvilignes et de surface ainsi que les thèorèmes de Green, de Stokes et de Gauss. Enfin il se termine par une mise en contexte sur l’équation des ondes et la propation des ondes électromagnétiques.Cette dernière partie Application en physique est un ensemble d’informations permettant à l’apprenant(e) de connaître quelques applications des mathématiques en physique.

6.2 Contenu/contour

Voici les différentes parties du module

• Les vecteurs géométriques et les vecteurs de ℝ³ : repère cartésien d’un espace à trois dimensions, vecteur position d’un point. Produits scalaire, vectoriel et mixte :propriétés et interprétations géométrique et physique.

• Les fonctions vectorielles d’une et de deux variables : dérivée et régles de dérivation, intégrale définie et intégration vectorielle ; cour- bes paramétrées, vecteur tangent, longueur d’arc, courbure, torsion et repère de Serret-Frénet ; surfaces paramétrées, plan tangent à une surface ; application cinématique : vecteurs vitesse et accélération.

• Les champs physiques : champs scalaire et vectoriel, courbes et surfaces de niveau, vecteur gradient et opérateurs différentiels : divergence , rota- tionnel et laplacien.

• Les intégrales spatiales : les intégrales curvilignes, les intégrales de surface et les intégrales de volume ; théorèmes de Green,de Stokes et de Gauss.

• Application en physique : équation des ondes, propagation des ondes électromagnétiques dans le vide et dans les milieux matériels.

George Stokes (1819–1903)

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)

6.3 Plan graphique (peut être tracé manuellement)

Les champs physiques Les Fonctions

Vectorielles

Les intégrales spatiales Algèbre des vecteurs dans R³

Application en Physique

Vii. Objectifs Généraux

• Comprendre les notions de base de l’algèbre des vecteurs

• Comprendre les outils du calcul différentiel et intégral appliqués aux fonc- tions (scalaires ou vectoriels) de plusieurs variables,

• Maitriser la dérivation vectorielle,

• Maitriser le gradient et les autres opérateurs d’analyse vectorielle, en insis- tant sur les interprétations géométriques et physiques.

Viii. Objectifs spécifiques d’apprentissage (Objectifs d’apprentissage)

Unité Objectif(s) d’apprentissage

1. Algèbre des

vecteurs dans ℝ³

Être capable de

• Définir le module, le support et la norme d’un vec- teur.

• Calculer la somme de deux vecteurs.

• Rappeler les relations entre espace vectoriel et l‘espace physique et ses vecteurs.

• Reproduire la définition du vecteur position ou rayon-vecteur.

• Déterminer les composantes d’un vecteur et les coordonnées d’un point.

• Déterminer le vecteur unitaire dans une direction donnée.

• Calculer un produit scalaire, un produit vectoriel, un produit mixte

• Donner la formule du double produit vectoriel.

• Donner l’interprétation géométrique du produit sca- laire, du produit vectoriel et du produit mixte de trois vecteurs.

2. Les fonctions vectorielles

• Rappeler les définitions des fonctions à valeurs vec- torielles (à une ou deux variables) et les extensions des notions de limite et de continuité à ces fonc- tions.

• Calculer les dérivées et les intégrales des fonctions vectorielles.

• Appliquer les régles de dérivation des fonctions vectorielles, en pariculier les formules de dérivation des produits de fonctions vectorielles d’une seule variable.

• Interpréter géométriquement les notions de dériva- tion et d’intégration des fonctions vectorielles.

• Associer une interprétation géométrique aux fonc- tions vectorielles à travers les notions de courbes et surfaces paramétrées.

• Rappeler la définition du vecteur normal à une surface.

• Rappeler la définition de la courbure, et de la tor- sion d’une courbe spatiale.

• Calculer les vecteurs vitesse et accélération, la trajectoire dans le repère de Frénet

3. Les champs physiques

• Rappeler les définitions d’un champ scalaire et d’un champ vectoriel.

• Rappeler les définitions des courbes et des surfaces de niveau, des lignes de champ.

• Déterminer les équations définissant ces notions et les résoudre dans des cas simples.

• Rappeler la définition du gradient d’un champ sca- laire.

• Calculer le gradient d’une fonction scalaire;

• Rappeler les définitions de la divergence et du rota- tionnel d’un champ vectoriel.

• Calculer la divergence et le rotationnel d’un champ vectoriel

• Rappeler la définition de l’opérateur vectoriel de dérivation « nabla ».

• Déterminer les conditions pour qu’un champ de vec- teur soit un champ de gradient.

4. Les intégrales spatiales

• Calculer une intégrale curviligne par paramétrage de la courbe d’intégration.

• Calculer la circulation d’un champ vectoriel.

• Donner la condition intégrale pour qu’un champ de vecteurs soit un champ de gradient et sa mise en œuvre.

• Déterminer la fonction dont dérive un champ de gradient à partir de la circulation de ce champ.

• Calculer une intégrale double sur une surface para- métrée quelconque.

• Calculer le flux d’un champ vectoriel.

• Calculer des intégrales de volume.

• Intépréter géométriquement, l’opérateur « nabla ».

5. Application en physique

• Expliquer la notion de champ à partir de l’électroma- gnétisme.

• Appliquer les théorèmes mathématiques sous forme intégrale.

• Appliquer les lois locales de l’électromagnétisme.

• Décrire la propagation des ondes dans les milieux.

• Décrire les phénomènes de réflexion, de réfraction, de dispersion et d’absorption.

iX. activites d’enseignement et d’apprentissage

9.1 Évaluation prédictive

Titre de l’évaluation prédictive: Test sur les prerequis du module Physique Mathématique II

Justification : Ce test permet de jauger les connaissances préalables des apprenant(e)s dont la maitrise permet de comprendre le module de Physique Mathématiques II

Questions

1. Dans un espace à 2 dimensions, soit la droite d’équation :

3 x − 2 y + 6 = 0

. Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur de composantes :

A - (3,2) B - (2,3) C - (3,-2) D - (-2,-3)

2. Dans un espace à trois dimensions,on donne dans une base cartésienne les vecteurs

a

r (3, − 1,2)

;

b

r ( − 1,3,3)

;

c

r (5,4, − 1)

. Les composantes de

A ur

= 3 a r

− 2 b r

− c r

sont :

A-□ (3,-2-1) B -□ (3,-1,2) C - □ (6,-13,1) D -□ (5,3,-2)

3. La somme vectorielle

BC u r uu

− 2BA u r uu + CD u r uu

− u r AD uu

est égale à : A -□

AB u r uu

B - □

BD u r uu

C - □

0 r

D - □

CD u r uu

4. Dans une base cartésienne, les vecteurs

a

r (−1, −2,1)

et

b

r (1,2,5)

sont : A - □ colinéaires B - □ opposés C - □ orthogonaux D -□autre réponse

5. Dans une base cartésienne, les vecteurs

a

r ( − 3, − 1,4)

et

b r ( 1

2 , 1 6 , − 2

3 )

sont : A - □ colinéaires B -□ opposés C - □ orthogonaux D -□autre réponse

6. On considère un parallélogramme ABCD. Quelle est l’égalité exacte ? A - □

DA + AB = DB

B - □

DA u r uu

+ u r DC uu

= DB u r uu

C - □

AD u r uu

+ u r AC uu

= u r AB uu

D - □

DB u r uu + DC u r uu

= u r BC uu

7. On désigne par O le centre d’un parallélogramme ABCD. Quel vecteur est égal au vecteur

OD u r uu

− u r BA uu

? A - □

OA u r uu

B - □

0 r

C- □

OB u r uu

D -□

OC u r uu

Dans les questions 8 et 9, on considère le plan (P) d’équation

2x − 3y + z = 2

.

8. Lequel de ces points appartient au plan (P) ?

A - □ (0,0,2) B -□ (0,0,0) C - □ (0,-1,1) D - □ (1,1,1) 9. Lequel de ces vecteurs est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan (P) ?

A - □ (

− 2

14

^,

− 3

14

^,

− 1

14

) B - □ (0,0,1) C -□ (

1 2

^,

1 2

^,

1 2

) D - □ (

2

14

^,

− 3 14

^,

1

14

⁾

10. Soit la fonction suivante :

f ( x) = 2x − 5

. L’ensemble de définition de cette fonction est :

A - □ ℝ B -□

° − {− 5 2 ; 5

2 }

C-□

5

2 ;+∞

⎡

⎣ ⎢ ⎡

⎣ ⎢

D-□

−∞; − 5 2

⎤

⎦ ⎥ ⎡

⎣ ⎢ ∪ 5 2 ;+∞

⎤

⎦ ⎥ ⎡

⎣ ⎢

11. Soit la fonction

f ( x) = 2

x

³

+ 2

, la dérivée première de cette fonction est :

A -□

3x

x

³

+ 2

^B-□

− 3x

²

x

³

+ 2

3 C-□

− 3x

²

x

³

+ 2

D - □

− 3x

²

(x

³

+ 2)

^{3/ 2}

12. Soit la fonction

f ( x ) = 1 1 − x

^.

a) Son développement en série autour de

x = 0

est :

A - □

1 + x + x

²

2! + x

³

3! + x

⁴

4! + ....

B - □

1 + x + x

²

+ x

³

+ x

⁴

+ ....

C - □

1 − x

²

2! + x

⁴

4! − x

⁶

6! + ...

D - □

1 + 1 2 x − 1

8 x

²

+ 1

16 x

³

+ ....

b) Le domaine de convergence de cette série est :

A - □

⎤⎦ −1,+1 ⎡⎣

B - □

°

^{C - □}

⎤⎦ 1,+∞ ⎡⎣

D - □

° − {1}

13. Une primitive de la fonction

f ( x) = 2sin 2 x − 3cos x

est :

A - □

1

2 cos x − 1

3 sin x

B - □

− 1

2 cos x − 3sin x

C - □

− 1

2 cos2 x − 3sin x

^{D - □}

− cos2 x − 3sin x

14. L’intégrale :

I = 4 π x R

²

− x

²

dx

0

∫

R est égale à :

A - □ 0 B -□

π R

³ C -□

4 π R

³

3

D -□

4π R

²

15. Indiquer les cases correspondantes aux dérivées partielles premières et se- condes des fonctions deux variables suivantes par rapport aux variables

x

^et

y

^. a)

xy

A - □ 0 B - □

x

C - □

y

D - □

xy

E - □

1

F - □

x + y

G - □

1 + x

H - □

1 + y

b)

2 x

²

y + y

³

A - □

2 x

²

+ y

² B - □

4 y

C - □

2xy + 3y

² D - □

4 x

E - □

4 y

F -□

6 y

G -□

4xy

H -□

2 x

²

+ 3 y

²

c)

( x

²

+ y

²

)

^{1/ 2}

A - □

x (x

²

+ y

²

)

^{−1/ 2} B - □

y

²

( x

²

+ y

²

)

^{−3/ 2} C - □

x

²

( x

²

+ y

²

)

^{−3/ 2}

D - □

y ( x

²

+ y

²

)

^{−1/ 2}

E - □

xy (x

²

+ y

²

)

^{1/ 2} F - □

xy (x

²

+ y

²

)

^{−1/ 2} G - □

x

²

y

²

(x

²

+ y

²

)

^{1/ 2} H - □

− xy ( x

²

+ y

²

)

^{−3/ 2}

16. La différentielle de la fonction

f ( x, y,z) = x

²

− 2xy − z

² est donnée par :

A - □

2( x − y)dx − 2xdy − 2zdz

B - □

2 xdx − 2 xdy − 2 zdz

C - □

2xdx − 2 ydy − 2zdz

D - □

2(x + y)dx − 2xdy − 2zdz

17. Indiquer, parmi les formes différentielles données ci-dessous, lesquelles sont des différentielles exactes.

A - □

sin y dx + cos x dy

B - □

− ydx

C - □

xdy − 3 ydx

D - □

ydx − xdy

y

²

18. On considère la courbe

Γ

d’équation :

f (x, y) = x

³

− 2xy + 2 y

²

− 1 = 0

. L’équation de la tangente à

Γ

au point M (1,1) est donnée par :

A - □

2 x + 1

B - □

− 1 2 x + 3

2

C - □

1

2 x − 3 2

D - □

− 2 x + 1 2

19. Soit la surface (S) d’équation

z = x

²

− 3y + 2

. Pour

z = 2

; la surface de niveau contient le point :

A - □ (1,1,2) B - □ (1,2,-4) C - □ (2,1,2) D - □(3,3,2)

20. Soit la surface (S) d’équation

z = x

²

y

. L’équation du plan tangent à (S) au point M (1,1,1) est donnée par :

A - □

− 2 X + Y + Z = 0

B - □

X + Y + Z − 1 = 0

C - □

X + Y + Z = 0

D - □

2 X + 2Y + Z − 3 = 0

Réponses clés

1. Le vecteur directeur d’une droite d’équation

ax + by + d = 0

est

u

r = −bi r + a j r

,soit dans ce cas le vecteur de composantes (2,3).

La réponse est B.

2. Le vecteur

A ur = 3a r

− 2b r

− c r

= 6i r

− 13 r j + k r

. La bonne réponse est C.

3. On a

BC u r uu

− 2BA u r uu + CD u r uu

− u r AD uu

= u r BC uu + CD u r uu

+ DA u r uu

− 2BA u r uu

= BA u r uu

− 2BA u r uu

= − u r BA uu

= u r AB uu

La bonne réponse est donc A.

4. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à zéro :

a r

• b r

= − 1 − 4 + 5 = 0

La bonne réponse est C.

5. La bonne réponse est A. Car, on a

a r

= − 6b r

6. La bonne réponse est B. On a en effet (voir figure ci-dessous) :

DA u r uu

+ DC u r uu

= a r

− b r

= u r DB uu

A B

D C

O a

a b

b

7. La bonne réponse est D. On a (voir figure ci-dessus):

OD u r uu

− u r BA uu

= u r BO uu + u r AB uu

= u r AO uu

= OC u r uu

8. Le point appartenant au plan doit vérifier l’équation du plan, soit ici le point de coordonnées (0,0,2), donc la bonne réponse est A.

9. Le plan d’équation

ax + by + cz + d = 0

admet pour vecteur normal le vecteur

N uru = ai r

+ bj r + ck r

, de vecteur unitaire :

n r

= uru N uru N = 2

14 r i

− 3 14 r j

+ 1 14 k r

, donc

la bonne réponse est D.

10. Cette fonction n’est définie que si :

2x − 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5

2

. L’ensemble de définition de la fonction est donc :

D

_f

= 5

2 ; ∞

⎡

⎣ ⎢ ⎡

⎣ ⎢

. La bonne réponse est C.

11. La dérivée de la fonction se calcule aisément en posant :

u = x

³

+ 2

, ce qui donne

u ' = 3 x

² et

f '( x ) = f '( u ) u '( x ) = − 3 x

²

( x

³

+ 2)

^{−3/ 2}. La bonne réponse est D.

12. a) Le développement en série d’une fonction

f ( x)

autour de

x = 0

s’écrit :

f ( x ) = f (0) + xf '(0) + x

²

2! f "(0) + x

³

3! f

⁽³⁾

(0) + ...

avec ici :

f (0) = 1

;

f '(0) = 1

;

f "(0) = 2!

;

f '''(0) = 3!

; ….

d’où :

1

1 − x = 1+ x + x

²

+ x

³

+ x

⁴

+ ...

La bonne réponse est donc B.

b) Le domaine de convergence d’une série est déterminé par :

lim

n→∞

C

_n

C

_n+1

= R

où

C

ⁿ est le coefficient du n^ème terme de la série.

Si :

-

R = ∞

, alors la série converge pour toute valeur de

x

^, -

0 < R < ∞

, alors la série converge pour

x < R

, -

R = 0

, alors la série converge uniquement pour

x = 0

.

Dans le cas de cet exercice, nous avons

R = 1

, donc la série converge pour

x < 1

, soit la réponse A.

13. On a :

(2sin 2x − 3cos x)dx = 2 sin 2x dx ∫ − 3 cos ∫ x dx

∫ ^{= − cos2x − 3sin x + C}

La bonne réponse est D. Rappelons qu’une primitive de

a sin bx

est la fonction

− a

b cos bx

et une primitive de

a cos bx

est la fonction

a

b sin bx

.

14. Effectuons le changement de variable

X = R

²

− x

², ce qui donne

dX = − 2 xdx

. Ce changement de variable donne les nouvelles bornes d’intégration

X (0) = R

² et

X ( R) = 0

, d’où l’intégrale

I = −2π X

R²

∫

0

^{dX = 2π}

0

^X

R²

∫ ^{dX = 4 π R}

3

.

3

La bonne réponse est C.

15. Les dérivées partielles premières sont

∂f

∂x

^et

∂f

∂y

, quant aux dérivées partielles secondes, elles sont données par

∂

²

f

∂x

^{2 ,}

∂

²

f

∂y

^{2 et}

∂

²

f

∂x∂y = ∂

²

f

On a donc :

∂y∂x

a)

∂f

∂x = y

,

∂f

∂y = x

, puis

∂

²

f

∂x

²

= 0

,

∂

²

f

∂y

²

= 0

et enfin

∂

²

f

∂x∂y = ∂

²

f

∂y∂x = 1

Les bonnes réponses sont donc respectivement les cases C, B, A et E.

b)

∂f

∂x = 4xy

,

∂f

∂y = 2x

²

+ 3y

², puis

∂

²

f

∂x

²

= 4 y

,

∂

²

f

∂y

²

= 6 y

et enfin

∂

²

f

∂x∂y = ∂

²

f

∂y∂x = 4 x

Les bonnes réponses sont donc respectivement les cases G, H, E, F et D

c)

∂f

∂x = x( x

²

+ y

²

)

^{−1/ 2},

∂f

∂y = y( x

²

+ y

²

)

^{−1/ 2}, puis

∂

²

f

∂x

²

= y

²

(x

²

+ y

²

)

^{−3/ 2},

∂

²

f

∂y

²

= x

²

( x

²

+ y

²

)

^{−3/ 2} et enfin

∂

²

f

∂x∂y = ∂

²

f

∂y∂x = −xy(x

²

+ y

²

)

^{−3/ 2} Les bonnes réponses sont donc respectivement les cases A, D, B, C et H

16. La différentielle d’une fonction

f ( x, y,z)

est donnée par :

df = ∂f

∂x dx + ∂f

∂y dy + ∂f

∂z dz

soit, en remplaçant les dérivées partielles par leurs expressions, on obtient :

df = (2 x − 2 y ) dx − 2 xdy − 2 zdz

La bonne réponse est A.

17. Une forme différentielle

dZ = F (x, y)dx + G( x, y)dy

est exacte si on a l’égalité :

∂F

∂y = ∂G

∂x

Seule la forme différentielle donnée par la case D satistait à cette condition.

On a en effet

F (x, y) = 1

y

^et

G (x, y) = − x y

^{2 d’où}

∂F

∂y = ∂G

∂x = − 1 y

²

18. Le point M (1,1) appartient bien à la courbe

Γ

, puisqu’on a :

f (1,1) = 0

.

Par ailleurs, on

∂f

∂y = 4 y − 2x ≠ 0

au point A (1,1). La fonction

f (x, y)

définit donc implicitement

y

en fonction de

x

en ce point :

y = ϕ (x) ⇔ f ( x, y) = 0

avec

ϕ (1) = 1

.

Alors

ϕ '(x) = −

∂f

∂x (1,1)

∂f

∂y (1,1)

= − 1

2

et la tangente à la courbe au point A(1 ,1) a pour équation :

y − 1 = − 1

2 ( x − 1)

ou

y = − 1 2 x + 3

2

^. La bonne réponse est donc B.

19. La bonne réponse est D, on a : 3²-3.3+2 = 2.

20. La fonction à deux variables

z = ϕ ( x, y) = x

²

y

définissant la surface (S) est une fonction implicite donnée par l’équation

f ( x, y,z) = yz − x

²

= 0

. L’équation du plan tangent à la surface (S) d’équation

f (x, y, z) = 0

en un point

M (x, y, z)

est donné par :

(Z − z) ∂f

∂z = −( X − x) ∂f

∂x − (Y − y) ∂f

ou encore

∂y

( X − x ) ∂f

∂x + ( Y − y ) ∂f

∂y + ( Z − z ) ∂f

∂z = 0

Soit ici :

−2x( X − x) + z(Y − y) + y(Z − z) = 0

.

En remplaçant donc les coordonnées du point par leurs valeurs , on obtient :

−2( X − 1) + (Y − 1) + (Z − 1) = 0

soit, après développement :

− 2 X + Y + Z = 0

. La bonne réponse est donc A.

Commentaire pédagogique pour des étudiants (100-200 mots).

Vous avez au moins 75 %, votre intérêt pour le module est évident, je vous en- courage à persévérer dans le travail.

Vous avez entre 50 % et 75 %, votre résultat est très encourageant. Alors Bon courage.

Vous avez entre 35 % et 50 %, bien sûr ce n’est pas parfait. Mais vous avez vraiment la volonté de réussir dans ce domaine il me semble. C’est cette volonté dont nous aurons besoin. Je ne vous le cache pas, le domaine que vous avez choisi est très passionnant, mais il demande beaucoup de travail. Pour commencer, il y a un certain nombre de rattrapages que vous devez faire. C’est à ce prix que nous pourrons réussir.

Vous avez moins de 35 %, vous avez de gros efforts à faire, puisqu’en plus du module vous devez revoir vos précédents cours..

X. activites d’apprentissage

Activité d’apprentissage 1

Titre de l’activité : Algèbre des vecteurs dans °

³

Temps d’apprentissage : 20 heures

Consigne : Pour cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du très bon travail, vous pouvez continuer.

Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez relire les lectures pro- posées et refaire l’activité.

Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon travail, mais vous devez faire des efforts pour la suite.

Objectifs spécifiques

A l’issue de cette activité, vous devez être capable de :

• Définir le module, support et norme d’un vecteur.

• Calculer la somme de deux vecteurs.

• Rappeler les relations entre espace vectoriel et l'espace physique et ses vecteurs.

• Reproduire la définition du vecteur position ou rayon-vecteur.

• Déterminer les composantes d’un vecteur et les coordonnées d’un point.

• Déterminer le vecteur unitaire dans une direction donnée.

• Calculer un produit scalaire, un produit vectoriel, un produit mixte

• Donner la formule du double produit vectoriel.

• Donner l’interprétation géométrique du produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte de trois vecteurs.

Résumé de l’activité

Cette activité est consacrée à l’étude des vecteurs. Un certain nombre de phéno- mènes physiques sont caractérisés par des grandeurs vectorielles : par exemple, la force que vous exercez pour déplacer un objet nécessite non seulement la connaissance d’une quantité indiquant l’effort que vous déployez (intensité de la force), mais aussi la direction et le sens de cet effort. Seuls les êtres mathé- matiques, appelés vecteurs sont susceptibles de représenter de telles grandeurs physiques. Au cours de cette activité, vous apprendrez à vous familiariser avec le maniement des vecteurs.

Lectures obligatoires

YOUM, I. (2006). Algèbre des vecteurs dans

°

³ . Université Cheikh Anta DIOP de Dakar. Sénégal. Cours inédit.

Ressources pertinentes

• HULIN, M. et QUINTON, M-F. (1986). «Outils mathématiques pour la physique» Edition Armand Colin - collection U, Paris.

• BAUMY, A et BONNAUD, M. (1989). «Mathématiques pour le physicien»

Edition McGraw Hill,Paris.

• SPIEGEL, M-R. (1977). «Analyse vectorielle» Edition McGraw Hill,Paris.

Liens utiles

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur#Op.C3.A9rations_sur_les_vecteurs http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire#Produit_scalaire_dans_un_es-

pace_vectoriel_r.C3.A9el

http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/cha- pitre2/partie7/titre1res.htm

http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/cha- pitre2/partie6/titre1res.htm

Descriptions de l’activité

Cette activité comporte plusieurs phases qui sont destinées à aider l’apprenant(e) à maîtriser les thèmes d’étude : addition vectorielle – multiplication par un scalaire – produit scalaire- produit vectoriel – produit mixte – double produit vectoriel.

Elle contient cinq exercices à faire.

Evaluation formative :

Les apprenant(e)s font obligatoirement tous les exercices en travail collabora- tif.

Les exercices 1 et 2 comptent chacun pour 15% des points, l’exercice 3 pour 20%, les exercices 4 et 5 comptent chacun pour 25%.

Exercices

Exercice 1

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O ;

i r

,

j

r

,

k r

). On considère le déplacement d’une particule d’un point A de coordonnées (2, 3, 5) à un point B de coordonnées (3, 8, 6). Parmi les valeurs suivantes cocher celle(s) qui représente(nt)

a. les composantes du vecteur

OA u r uu

. A - □ (1, 3, 5)

B - □ (2, 3, 5) C - □ (3, 8, 6)

b. Les composantes du vecteur déplacement

AB u r uu

: A - □ (3, 8, 6)

B - □ (2, 3, 5) C - □ (1, 5, 1)

c. Parmi les propositions suivantes quelle(s) est/sont celle (s) qui représente(nt) le vecteur déplacement de la particule

AB u r uu

: A - □

OA u r uu

+

OB u r uu

B - □

OA u r uu

-

OB u r uu

C - □

OB u r uu

-

OA u r uu

Exercice 2

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O ;

i r

,

j

r

,

k r

). Soient les vecteurs définis par les relations suivantes :

v r

=

i r

+

j

r

+

k r

;

u r

= 3

i r

+3

j r

+3

k r

;

w ur

=

i r

-

j

r

+

k r

;

p

ur

= -

i r

- 2

j

r

+

k r

;

q

r

=

i r

-

j

r

+ 3

k r

;

r r

= -2

i r

+2

j

r

-2

k r

;

s r

= 5

i r

+ 10

j

r

- 5

k r

;

t r

= 4

i r

- 4

j

r

+12

k r

Choisir parmi les propositions suivantes celle(s) qui représente(nt) des vecteurs parallèles.

A - □

v r

et

u r

B - □ tous ces vecteurs sont parallèles

C - □

w ur

et

p

ur

D - □

p ur

et

s r

E - □

v r

et

r r

F - □

v r

et

w ur

G - □

w ur

et

r r

H - □

t r

et

q r

I - □

w ur

et

q

r

J - □

q r

et

u r

Exercice 3

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O ;

i r

,

j

r

,

k r

). Soient les vecteurs définis par les relations suivantes :

a r

= 3

i r

+ 2

j

r

- 6

k r

;

b r

= 2

i r

- 4

j

r

+

k r

;

c r

= 2

j r

-

k r

1- Parmi les réponses proposées, indiquer celle(s) qui corresponde(nt) à a)

a r

• b r

; b) ║

a r

║ c) ║

b r

║ d) ║

a r

+

b r

║ A - □ 10

B - □ -9 C - □ -8 D - □ 7 E - □ 4,58 F - □ 7,35 G - □ 2,83 H - □ 6,78

2- Parmi les valeurs suivantes quelles sont celle(s) qui représente(nt) l’angle formé par les vecteurs

a r

et

c r

: A - □ 60°

B - □ 141,2°

C - □ 50,3°

D - □ 151,3°

3- Cocher parmi les valeurs suivantes celles qui représente(nt) les composantes du vecteur unitaire

u r

porté par le vecteur

a r

+

c r

A - □ (0,68, 0,27, -0,68)

B - □ (0,35, 0,46, -0,81) C - □ (0,71, -0,71, 0) D - □ (1,1,1)

4- Soit le vecteur

d ur

= - 3

j

r

-

k r

. Choisir parmi les propositions suivantes celle(s) à qui il est perpendiculaire.

A - □

a r

B - □

b r

C - □

c r

D - □

c r

Exercice 4

Parmi les égalités suivantes, indiquer celles qui sont mathématiquement correctes.

Justifier votre réponse.

A - □

u r + v r

= v r + u r

B - □

P u r

+ v r

P

⁼

P v r + u r

P

C - □

P u r

P +v r

=P u r + v r

P

D - □

P u r

+ v r P=P u r

P + P v r

P

E - □

u r ∧ (v r

∧ ur w ) = (u r

∧ v r ) ∧ w ur

F - □

u

r • (v r

∧ w ur ) = (u r

• v r ) ∧ (u r

• w ur )

G - □

u

r • (v r

∧ ur w ) = (u r

∧ v r ) • ur w

H - □

( u r

− v r ) ∧ w ur

= u r

∧ w ur + ur w

∧ v r

Exercice 5 Soit le vecteur

w

ur = ( u r

∧ v r ) ∧ u r

. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1- Ce vecteur est situé dans le plan formé par les vecteurs

u r

et

v r

. A - □ VRAI

B - □ FAUX

2- Ce vecteur est égal au vecteur

P u r P

²

v r

− (u r

• v r )u r

. A - □ VRAI

B - □ FAUX

Activités d’apprentissage

• Il est demandé à l’apprenant(e) de suivre scrupuleusement les étapes sui- vantes :

Etape 1 : Acquisition des objectifs à atteindre (durée : 10 mn)

• Lisez d’abord attentivement les objectifs à atteindre.

• Prenez votre cahier et écrivez ces objectifs en soulignant les points essentiels sur lesquels vous devrez porter votre attention.

Etape 2 : Mise en situation par le biais de lectures obligatoires et de visite de sites internet : il s’agit d’un apprentissage personnel permettant à l’apprenant(e) d’acquérir les connaissances relatives à ces objectifs (durée :10 h, il vous appar- tient d’organiser votre temps)

• Lisez attentivement le chapitre du cours correspondant à ces objectifs (lec- tures obligatoires).

• Prenez votre cahier et écrivez les points essentiels du cours sur lesquels vous devrez porter votre attention.

• Consultez les parties correspondantes dans les ressources bibliographiques proposées et visitez les sites indiqués par les liens utiles (voire ci des- sous).

Etape 3 : Compréhension du cours (apprentissage collectif - durée : 5 h)

• Faites des échanges en chat pour vous assurer de la compréhension du cours sous la direction d’un tuteur.

• Suivez le travail collaboratif en groupe organisé par votre tuteur.

• Respectez l’ordre et la durée de résolution des exercices indiqués par votre tuteur.

Etape 4 : Evaluation (durée : 5 h)

• Chaque groupe choisit en son sein un rapporteur qui transmet par email en fichier attaché le compte rendu, portant les noms de tous les membres du groupe, de la solution de chaque exercice au professeur titulaire du cours (le rapporteur peut changer d’un exercice à un autre).

Réponses clés

Solution de l’exercice 1

a- La seule bonne réponse est la case B. En effet au point A du repère correspond le vecteur

OA u r uu

dont les composantes sont identiques au coordonnées du point A.

Pour en savoir plus et pour renforcer vos acquis : revoir la définition des com- posantes d’un vecteur dans un repère orthonormé.

b- Pour aller de A à B, la particule se déplace d’une unité dans la direction po- sitive de x, de 5 unités dans la direction positive de y et enfin d’une unité dans la direction positive. Ainsi la vecteur

AB u r uu

=

i r

+ 5

j

r

+

k r

. Donc seule la réponse B est la bonne.

Pour en savoir plus et pour renforcer vos acquis, montrer que le vecteur uMMuuuur' représentant le déplacement d’un point M (x,y,z) au point M’(x’,y’,z’) est donné par la relation : uMMuuuur'

= (x’-x)ri

+ (y’ –y)rj

+ (z’-z)kr c- Le vecteur correspondant est le vecteur

OB u r uu

-

OA u r uu

, c’est donc la case C qu’il faut cocher. En effet la relation de Chasles permet d’écrire :

AB u r uu

=

AO u r uu

+

OB u r uu

, le vecteur

AO u r uu

est l’inverse du vecteur

OA u r uu

, donc on peut écrire :

AO u r uu

= -

OA u r uu

, d’où

AB u r uu

=

OB u r uu

-

OA u r uu

Pour en savoir plus et pour renforcer vos acquis, établir la relation de Chasles et revisiter l’addition vectorielle, en utilisant la règle du parallélogramme. Re- présenter graphiquement un vecteur et son opposé.

Solution de l’exercice 2

Il s’agit d’établir qu’il existe λ

∈ R

tel qu’on puisse établir entre deux vecteurs quelconques

a r

et

b r

, la relation

a r

= λ

b r

, on obtient ainsi :

u r

=3

v r

;

r r

=-2

w ur

;

s r

= - 5

p ur

;

t r

= 4

q

r

. Les réponses correctes sont donc les cases A, D, G, H

Solution de l’exercice 3

1- Le produit scalaire de deux vecteurs donne une grandeur scalaire par défini- tion. Ici le vecteurs sont exprimés dans une base orthonormé, on donc intérêt à utiliser l’expression analytique du produit scalaire :

u r

•

v r

= xx’ +yy’ + zz’. On obtient alors :

a r

•

b r

= -8 ; ║

a r

║ = 7 ; ║

b r

║= 4,58 ; ║

a r

+

b r

║ = 7,35 Les cases correspondantes sont respectivement C, D, E et F.

2- En utilisant l’égalité des expressions analytique et géométrique du produit sca- laire, on peut calculer l’angle entre les deux vecteurs, soit θ, cet angle, on a :

cosθ = a r

• c r P a r

PP c r P

Soit cos θ = 0,64 d’où θ = 50,3° .La bonne réponse ici correspond à la case C.

3- Le vecteur unitaire

u r

porté par le vecteur (

a r

+

c r

) est tel que :

u r

= a r + c r P a r

+ c r P

Soit

u r

(0,35, 0,46, -0,81), réponse correspondant à la case B. Il faut bien vérifier que le module de ce vecteur est bien égal à l’unité :

(0,35)

²

+ (0,46)

²

+ (−0,81)

²

≅

1

4- La condition d’orthogonalité entre deux vecteurs non nuls est que le produit scalaire de ces deux vecteurs soit nul, soit ici :

a r

•

d ur

= 0 ;

b r

• d ur

= 6 et

c r

• d ur

= 5 La réponse correcte est A.

Solution de l’exercice 4

A- La relation proposée est correcte : la somme de deux vecteurs est une opé- ration commutative.

B- Compte tenu de l’égalité précédente et du fait que l’égalité des modules de deux vecteurs égaux, cette relation est également vraie.

C- Cette relation est incorrecte, puis qu’on ne peut pas addition un vecteur et une grandeur scalaire (le module d’un vecteur).

D- Cette relation n’est pas en général vraie, toute fois, une telle relation peut s’écrire si les vecteurs sont colinéaires.

E- Ces deux vecteurs ne sont pas égaux (revoir le cours) : le produit vectoriel n’est pas associatif.

F- La relation n’est pas exacte, le membre de droite n’a pas de sens : le produit vectoriel ne s’applique qu’au vecteur.

G- Le produit mixte s’interprète géométriquement comme le volume d’un pa- rallélépipède construit sur les trois vecteurs :

-

v r

∧ ur w

=

(aire du parallélogramme construit sur

v r

et

w ur

) x

n r

; où

n r

est le vecteur unitaire perpendiculaire à

v r

et

w ur

. - Par la suite

u r

• n r

donne la hauteur du parallélépipède. Ainsi, le volume du parallélépipède est donné par surface de base multipliée par la hauteur.

H- La relation est correcte, le produit vectoriel est distributif par rapport à l’ad- dition vectorielle et de plus il est anti-commutatif.

Solution de l’exercice 5 1- Le vecteur

w ur

est perpendiculaire en particulier au vecteur

u r

∧ v r

, et comme tout vecteur perpendiculaire au vecteur

u r

∧ v r

, il est situé dans la plan formé par les vecteurs

u r

et

v r

. L’affirmation est vraie.

2- Les deux vecteurs sont égaux, il suffit de se rappeler la relation établie dans le cours :

(a r

∧ b r ) ∧ c r

= (c r

• a r )b r

− (c r

• b r )a r

, en appliquant cette relation à notre cas, on obtient :

w ur

=

P u r P

²

v r

− ( u r

• v r ) u r

. L’affirmation est donc vraie

Auto évaluation

Les apprenant(e)s consigneront les difficultés rencontrées et les erreurs commises pendant la recherche de solution des exercices afin de pouvoir les éviter plus tard.

Ils/elles pourront revoir les parties du cours qu’ils/elles n’ont pas bien comprises et préparer l’évaluation sommative.

Guide de l’enseignant

Le Professeur corrigera les productions des groupes. Il /elle déposera les dif- férentes corrections des exercices dans un espace de travail accessible aux apprenant(e)s. La correction devra être accompagnée d’un feedback adéquat centré sur les erreurs commises dans les comptes rendus. Les notes obtenues pour chaque groupe sont attribuées aux membres du groupe et vont compter pour 20%

de l’évaluation finale du module.

Activité d’apprentissage 2

Titre de l’activité : Les fonctions vectorielles

Temps d’apprentissage : 30 heures

Consigne : Pour cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du très bon travail, vous pouvez continuer.

Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez relire les lectures pro- posées et refaire l’activité.

Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon travail, mais vous devez faire des efforts pour la suite.

Objectifs spécifiques

A l’issue de cette activité, vous devez être capable de :

• Rappeler les définitions des fonctions à valeurs vectorielles (à une ou deux variables) et les extensions des notions de limite et de continuité à ces fonctions.

• Calculer les dérivées et les intégrales des fonctions vectorielles.

• Appliquer les régles de dérivation des fonctions vectorielles, en particulier les formules de dérivation des produits de fonctions vectorielles d’une seule variable.

• Interpréter géométriquement les notions de dérivation et d’intégration des fonctions vectorielles.

• Associer une interprétation géométrique aux fonctions vectorielles à travers les notions de courbes et surfaces paramétrées.

• Rappeler la définition du vecteur normal à une surface.

• Rappeler la définition de la courbure, et de la torsion d’une courbe spa- tiale.

• Calculer les vecteurs vitesse et accélération, la trajectoire dans le repère de Frénet

Résumé de l’activité

Cette activité est consacrée à l’étude des fonctions vectorielles. Plusieurs gran- deurs vectorielles en physique sont fonction d’un paramètre : par exemple, lors- qu’un mobile est en mouvement dans l’espace, son vecteur position est fonction

du paramètre temps t : le vecteur

r

r (t)

repérant la position de ce mobile est une fonction vectorielle. Au cours de cette activité, vous apprendrez à vous familiariser avec la notion de fonction vectorielle, ainsi que la dérivation et l’intégration de ces fonctions.

Lectures obligatoires

YOUM, I. (2006). Fonctions vectorielles. Courbes spatiales et surfaces.. Uni- versité Cheikh Anta DIOP de Dakar. Sénégal. Cours inédit.

Ressources pertinentes

- HULIN, M. et QUINTON, M-F. (1986). «Outils mathématiques pour la physique» Edition Armand Colin - collection U, Paris.

- BAUMY, A et BONNAUD, M. (1989). «Mathématiques pour le physicien»

Edition McGraw Hill,Paris.

- SPIEGEL, M-R. (1977). «Analyse vectorielle» Edition McGraw Hill,Paris.

Liens utiles

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e http://perso.orange.fr/godzatswing/sommairemath.html http://assocampus.ifrance.com/pages/rapso.htm

Descriptions de l’activité

Elle comporte plusieurs phases qui sont destinées à vous aider à maîtriser les thèmes d’étude : fonction vectorielle – dérivation d’une fonction vectorielle – intégration d’une fonction vectorielle. Pour une plus grande efficacité, il vous est conseillé de les aborder une à une, selon leur ordre de présentation :

Évaluation formative

Les apprenant(e)s font obligatoirement tous les sept exercices en travail colla- boratif.

Les exercices 1 à 4 comptent chacun pour 10% des points, les exercices 5 à 7 comptent chacun pour 20%.

Exercice 1

Soit la fonction vectorielle

r

r (t) = (a + bt

²

)i r + ct j r

+ (t

³

+ 1)k r

où a,b, c sont des constantes positives. Choisir parmi les réponses proposées celles qui correspon- dent à la dérivée première et à la dérivée seconde du vecteur

r

r (t)

.

A - □

2 bti r + ct j r

+ 3 t

²

k r

B - □

2 bi r

+ 6 tk r

C - □

2bti r

+ c j r + 3 t

²

k r

D - □

2bti r

+ ct j r + 3t

²

k r

E - □

bi

r + c j r + 6tk r

F - □

2 bi r

+ c j r

Exercice 2

Soit dans le plan Oxy, un vecteur unitaire

u

r = cos θ r i

+ sin θ r j

où

θ

est l’angle orienté

(i r

,u r

)

. On désigne par

v

r = −sinθ r i

+ cosθ r j

, le vecteur unitaire qui lui est directement perpendiculaire. En supposant que l’angle

θ

est une fonction

θ (t)

du paramètre t. Parmi les réponses suivantes, indiquer celles qui correspondent

à

dv r dt

^{et à}

d

²

v r dt

²

A - □

u r

B - □

−u r

C - □

−u r dθ

dt

^{D - □}

−v r

( d θ

dt )

²

− u r d

²

θ dt

²

E - □

v r ( d θ

dt )

²

+ u r d

²

θ

dt

^{2 F- □}

u r d θ

dt

Exercice 3

Soit une particule matérielle M décrivant un mouvement circulaire dans le plan Oxy avec une vitesse angulaire

ω ur

= ω

₀

k r

où

ω

₀ est une constante. Le vecteur vitesse de la particule est donné par le champ vectoriel :

v

r (t) = ω ur

∧ r r

(t)

. La- quelle des expressions données ci dessous correspond au vecteur accélération de la particule ?

A - □

dω ur dt ∧ r r

+ ω ur

∧ dr r dt

B - □

ω ur

∧ dr r dt

C - □

ω ur

∧ d

²

r r dt

² D - □ Autre réponse

Exercice 4

Soit un mobile M qui se déplace dans le plan Oxy avec une accélération

a

r = αt

²

r i

+ ( β − γ t) r j

m/s² où

t

est le temps et

α , β , γ

sont des constantes po- sitives dimensionnées. À l’instant initial

t = 0

, le mobile est en O avec une vitesse initiale nulle. Parmi les réponses suivantes, indiquer celles qui correspondent aux vecteurs vitesse et position du mobile.

A - □

1 3 α t

³

r i

+ ( βt − 1 2 γ t

²

) r j

B - □

1

3 α t

²

r i

+ (βt − 1 2 γ t

²

) r j

C - □

1

12 α t

⁴

r i + ( 1

2 βt

²

− 1 6 γ t

³

) r j

D - □

αt

⁴

r i

+ ( 1

2 βt

²

− 1

4 γ t

³

) r j

Exercice 5

Dans l’espace orthonormé, on donne la courbe (C) d’ équations paramétriques :

x = a cost

y = a sint z = ht

où

a

et h sont des constantes positives.

a) Parmi les réponses proposées ci-dessous, indiquer celles qui correspondent au vecteur unitaire de la tangente à la courbe, au rayon de courbure et au vecteur normale principale.

A - □

costi r

+ sint j r

B - □

− cos ti r

− sin t j r

C - □

− a cos t a

²

+ h

²

r i

− a sin t a

²

+ h

²

r j

D - □

−a sin ti r

+ a cos t j r + hk r

E - □

− a sint a

²

+ h

²

r i

+ a cost a

²

+ h

²

r j

+ h

a

²

+ h

²

k r

F - □

a

a

²

+ h

² G - □

a + h

²

a

H - □

a

²

+ h

²

h

b) La tangente à la courbe fait un angle constant avec l’axe Oz. Cette affirmation est-elle exacte ?

A - □ VRAIE B - □ FAUX

Exercice 6

a)Soit

r

^,

θ

^et

ϕ

les coordonnées sphériques d’un point M de l’espace définies par :

r = OM u r uuu

,

θ = ( Oz , OM u r uuu

)

et

ϕ = ( Ox , Om u r uu

)

où m est la projection de M dans le plan Oxy. On désigne par

e r

r,

e r

θ et

e r

ϕ les vecteurs unitaires de la base des coordonnées sphériques. Exprimer les composantes des vecteurs de la base en fonction des coordonnées sphériques, puis les dérivées partielles premières des vecteurs de la base. Conclusion ?

b) On considére dans le référentiel terrestre une masse fluide en mouvement dont le champ des vitesses est donné par

v

r = x

²

r i

− 2xy j r + 2t

²

k r

ms

⁻¹. Déterminer le vecteur accélération de la masse fluide au point de coordonnées en mètres (2,1,- 4) à l’instant t = 2s.

Exercice 7

Dans l’espace orthonormé, on donne la surface (S) d’équation cartésienne :

z = x

²

+ y

².

a) Parmi les réponses suivantes, indiquer celle qui correspond à la représentation paramétrique de la surface (S).

A - □

r

r (u,v) = (u + v)i r + uv j r

+ (u

²

+ v

²

)k r

B - □

r

r ( u , v ) = ui r + v j r

+ ( u

²

+ v

²

) k r

C - □

r

r (u,v) = (u

²

+ v

²

)i r + uv j r

+ (u

²

+ v

²

)k r

D - □

r

r (u,v) = u

²

r i + v

²

r j

+ (uv)k r

b) Parmi les réponses suivantes, indiquer celle qui correspond à l’équation du plan tangent à la surface (S) en un point

M

distinct de l’origine.

A - □

2(u + v) X − 2(u + v)Y + Z + (u + v)

²

= 0

B - □

− 2( x + y ) X + 2 Y + Z + ( x + y )

²

= 0

C - □

−2xX + x

²

Y + Z = 0

D - □

2xX + 2 yY − Z − z = 0

Activités d’apprentissage

• Il est demandé à l’apprenant(e) de suivre scrupuleusement les étapes sui- vantes :

Etape 1 : Acquisition des objectifs à atteindre (durée : 10 mn)

• Lisez d’abord attentivement les objectifs à atteindre.

• Prenez votre cahier et écrivez ces objectifs en soulignant les points essentiels sur lesquels vous devrez porter votre attention.

Etape 2 : Mise en situation par le biais de lectures obligatoires et de visite de sites internet : il s’agit d’un apprentissage personnel permettant à l’apprenant(e) d’acquérir les connaissances relatives à ces objectifs (durée :15 h, il vous appar- tient d’organiser votre temps)

• Lisez attentivement le chapitre du cours correspondant à ces objectifs (lec- tures obligatoires).

• Prenez votre cahier et écrivez les points essentiels du cours sur lesquels vous devrez porter votre attention.

• Consultez les parties correspondantes dans les ressources bibliographiques proposées et visitez les sites indiqués par les liens utiles (voire ci des- sous).

Etape 3 : Compréhension du cours (apprentissage collectif - durée : 5 h)

• Faites des échanges en chat pour vous assurer de la compréhension du cours sous la direction d’un tuteur.

• Suivez le travail collaboratif en groupe organisé par votre tuteur.

• Respectez l’ordre et la durée de résolution des exercices indiqués par votre tuteur.

Etape 4 : Evaluation (durée :10 h)

• Chaque groupe choisit en son sein un rapporteur qui transmet par email en fichier attaché le compte rendu, portant les noms de tous les membres du groupe, de la solution de chaque exercice au professeur titulaire du cours (le rapporteur peut changer d’un exercice à un autre).

Réponses clés

Solution de l’exercice 1

La dérivée première de la fonction vectorielle est donnée par :

dr r

dt = 2bti r + c j r

+ 3t

²

k r

, ce qui correspond à la case C

Et sa dérivée seconde par :

d

²

r r dt

²

= 2bi r

+ 6tk r

, ce qui correspond à la case B.

Pour en savoir plus et pour renforcer vos acquis : revoir la définition de la dérivation des fonctions vectorielles et les propriétés de cette dérivation.

Solution de l’exercice 2

Il s’agit d’utiliser la propriété de dérivation de la fonction composée

v r

⎡⎣ θ(t) ⎤⎦

^qui

s’écrit :

dv r dt = dv r

dθ d θ

dt

, puis qu’on a

dv r d θ = −u r

, on obtient immédiatement :

dv r

dt = −u r d θ dt

Ce qui correspond à la case C

Et sa dérivée seconde est donnée par :

d

²

v r dt

²

= d

dt ( −u r dθ

dt ) = − du r dt

d θ

dt − u r d

²

θ dt

²

avec

du r dt = du r

dθ d θ

dt = v r dθ dt

et finalement

d

²

v r dt

²

= −v r

( dθ

dt )

²

− u r d

²

θ

dt

² , ce qui correspond à la case D.

Pour en savoir plus et pour renforcer vos acquis : revoir la définition de la dérivation d’un vecteur unitaire tournant.

Solution de l’exercice 3

Par définition la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps t donne le vec- teur accélération, soit :

a r

= dv r dt = d

dt (ω ur

∧ r r

) = dω ur dt ∧ r r

+ ω ur

∧ dr r dt = ω ur

∧ dr r dt

Puis que

ω ur

est un vecteur constant. Donc la bonne réponse est la case B.

Vous pouvez vérifier le résultat en calculant le produit vectoriel et comparer directement avec la dérivée seconde du vecteur position, dont les composantes cartésiennes sont(Rcosω₀t,Rsinω₀t), on en déduit que

drr

dt = −Rω₀sinω₀tir

+Rω₀cosω₀t jr Finalement

ar

=

ri

rj

kr

0 0 ω₀

−Rω₀sinω₀t Rω₀cosω₀t 0

= −Rω₀²cosω₀tir

−Rω₀²sinω₀t jr

Solution de l’exercice 4

Le vecteur vitesse et le vecteur accélération sont reliés par la relation :

a r

= dv r dt ⇒ dv r

= a ur dt

Et

v r

= a ur

∫ dt ^{+ cte u r u}

, cette intégration conduit en tenant compte des conditions initiales à :

v r

= 1 3 α t

³

r i

+ ( βt − 1 2 γ t

²

) r j

Une seconde intégration conduit au vecteur position :

v r

= dr r dt ⇒ dr r

= v r dt

et par suite

r r

= v r

∫ dt ^{+ cte u r u}

,soit en tenant compte de la position initiale du mobile,

on obtient :

r r

= 1 12 αt

⁴

r i

+ ( 1

2 βt

²

− 1 6 γ t

³

) r j

La case A correspond à la vitesse et la case C au vecteur position.

Solution de l’exercice 5

a) En tout point de la courbe, le vecteur directeur de la tangente est donné par :

dr r

dt = −a sin ti r

+ a cos t j r + hk r

Le module de ce vecteur est :

dr r

dt = a

²

+ h

²

= ds

dt

où s est l’abscisse curviligne mesurée à partir d’un point fixe.

Le vecteur unitaire de la tangente est donné par :

T ur

= dr r ds = dr r

/ dt

ds / dt = − a sint a

²

+ h

²

r i

+ a cost a

²

+ h

²

r j

+ h

a

²

+ h

²

k r

,

ce qui correspond à la case E.

Le vecteur unitaire de la normale principale et le rayon de courbure sont reliés

par la formule de Serret-Frenet :

dT ur ds = 1

ρ uru N

.

Alors, on a :

dT ur ds = 1

ρ

^avec

dT ur

ds = dT ur

/ dt

ds / dt

La dérivée du vecteur unitaire tangent par rapport au paramètre t est donné par :

dT ur

dt = − acos t a

²

+ h

²

r i

− asin t a

²

+ h

²

r j

d’où :

dT ur

ds = − a cost a

²

+ h

²

r i

− a sint a

²

+ h

²

r j

et par suite

1

ρ = a a

²

+ h

^{2 ,} soit

ρ = a + h

²

a

, ce qui correspond à la case G Finalement, on a :

N

uru = − costi r

− sint j r

, ce qui correspond à la case B.

b) D’après ce qui précède, on a :

k r

• T ur

= cosθ = h

a

²

+ h

^{2 où}

θ

est l’angle entre la tangente et l’axe Oz.

La valeur du cosinus étant constant, cet angle est aussi constante. L’affirmation est donc vraie (case A).