A4930 – Des écarts-types en Diophantie [*** à la main]
Déterminer tous les entiers n, 1 < n ≤ 2020, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite de n entiers consécutifs positifs sont des entiers.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Pour que la suite de p nombres consécutifs n1, n2…, np aient une moyenne entière il faut que p soit impair soit 2k+1. La moyenne est alors égale à nk+1.
L’écart type de ces 2k+1 nombres consécutifs est égal à √(2.(∑i=1àk i²) /(2k+1)), soit √(k.(k+1)/3).
Les seules valeurs de k qui satisfont la condition demandée sont 3 ; 48 et 675, donc pour des suites de longueurs respectives de 7, 97 et 1351.
