Enoncé A4930 (Diophante) Des écarts-types en Diophantie
Déterminer tous les entiers n, 1< n≤2021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite denentiers consécutifs positifs sont des entiers.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Lesnentiers a+ 1, a+ 2, . . . , a+nont pour moyenne
m = a+ (n+ 1)/2. C’est un entier seulement si n est un entier impair 2c+ 1.
Le carré de l’écart-typesest la moyenne des carrés des écarts à la moyenne qui sont ici−c,1−c, . . . ,−1,0,1,2. . . c−1, c.
Ainsi (2c+ 1)s2 =Pci=−ci2 = 2Pc1i2 =c(c+ 1)(2c+ 1)/3.
On doit donc avoirc(c+ 1)/3 =s2 carré parfait, d’où n2= (2c+ 1)2= 12s2+ 1.
nest impair, n2−1 est multiple de 8,sest pair, et on a n2= 48(s/2)2+ 1.
L’équation de Fermat X2 = 48Y2 + 1 en entiers positifs a pour solution fondamentale (X, Y) = (7,1) et pour solution générale X=Tm(7),Y =Um(7), oùTm(x) est le polynôme de Tchebychev de degrém, etUm(x) le polynôme associé (de degrém−1) tel que (Tm(x))2 = (x2−1)(Um(x))2+ 1.
Donc n = Tm(7), avec pour valeurs 7, 97, 1351, puis 18817 et au-delà ; la somme de trois termes consécutifs est 15 fois le terme médian. La suite peut se prolonger à gauche :
. . ., 97, 7, 1, 7, 97, . . .
Dans la limite 1 < n ≤ 2021, seulement trois entiers satisfont à l’énoncé : 7, 97 et 1351.
L’écart-type ests= 2Um(7), avec les valeurs 2, 28 et 390. Là aussi la somme de trois termes consécutifs est 15 fois le terme médian.
