Enonc´e noA527 (Diophante) Les p´enulti`emes et ant´ep´enulti`emes
Il est bien connu que les carr´es des nombres entiers naturels se terminent par les seuls chiffres 0, 1, 4, 5, 6 et 9. A l’inverse, le p´enulti`eme chiffre d’un carr´e peut prendre n’importe quelle valeur de 0 `a 9 (ex. : 100, 16, 25, 36, 49, 256, 64, 576, 81, 196). En passant au crible les p´enulti`emes, ant´ep´enulti`emes, ant´e-ant´ep´enulti`emes . . .chiffres des carr´es on peut trouver les entiers en ordre croissant 10, 11, 12, . . .jusqu’`a un certain entier N pour lequel il n’y a aucun carr´e de la formeab . . . mN xavecx= 0, 1, 4, 5, 6 et 9. TrouverN. Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) SiN existe, il a plus de deux chiffres. En effet, si on se donne C, chiffre des centaines etD, chiffre des dizaines d’un carr´e, on peut obtenir la racine d’un carr´e pr´esentant ces chiffres `a partir du tableau suivant.
D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
C (nb pair) z02 z04 z32 z06 z38 z16 z08 z26 z22 z36 C (nb impair) z48 z46 z18 z44 z12 z34 z42 z24 z28 z14 Le nombrezde ce tableau est un entier qui est d´efini modulo 5 par la donn´ee du chiffre des centaines.
2) Restent `a examiner les nombres de plus de 2 chiffres.
100 n’est pas le nombre cherch´e, car 5012= 251001.
Nous allons voir queN = 101.
CommeN est impair, le carr´e a 6 comme chiffre des unit´es : il est bien connu que modulo 100, les carr´es ont l’un des 22 restes 00, p1,p4, 25, i6,p9, o`up d´esigne un chiffre pair (0 `a 8), etiun chiffre impair (1 `a 9).
Avec 1 comme chiffre des dizaines du carr´e, et 0 comme chiffre des centaines, le tableau du paragraphe 1 propose 4 + 100z comme racine du carr´e, d’o`u un reste modulo 10000 qui vaut 800z+ 16.
Nous voudrions obtenir 1016 pour ce reste, soit 10 pour le reste modulo 100 de 8z. Mais l’´equation 8z= 10 mod 100 n’a pas de solution enti`ere.
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