A461. Factorielles en Diophantie
La factorielle d'un entier x quelconque ≥ 1 est désignée par x ! = 1*2*....*(x ‒ 1)*x
Q1 Déterminer sept entiers strictement positifs a,b,c,d,e,f et n qui satisfont les cinq équations:
n! + a2 = b2, (n + 1)! + b2 = c2 , n! + c2 = d2, (n + 1)! + d2 = e2 et (n+1)! + e2 = f2.
Q2 Démontrer que pour tout entier n > 4, il existe un entier k indépendant de n tel que:
n!/(n - k)! + 1 est un carré parfait.
En déduire qu'il existe trois entiers a, b et c dont l'écriture utilise des chiffres tous distincts tels que a!/b! +1 = c2
Solution proposée par Gaston Parrour
Q1 Recherche d'une solution au système S suivant. (Les entiers a, b, c, d, e, f et n sont strictement positifs)
n ! + a² = b² (1)
(n+1) ! + b² = c² → (n+1) ! + n ! + a² = c² (2)
n ! + c² = d² → (n+1) ! + 2n ! + a² = d² (3)
(n+1) ! + d² = e² → 2(n+1) ! + 2n ! + a² = e² (4)
(n+1) ! + e² = f² → 3(n+1) ! + 2n ! + a² = f² (5) Remarques préliminaires :
1 – relation d'ordre
l'égalité (1) et la réécriture des égalités (2) → (5) où, après élimination, n'intervient plus que a², montrent que 0 < a < b < c < d < e < f (inégalités strictes)
2 - parités
Le cas n = 1 étant exclu (car 1 = b² – a² n'a pas de solution en a et b acceptable) : → n ! est toujours un nombre pair pour n > 1
Donc a et b sont de même parité. Cela est vrai aussi pour b et c de même parité , etc … ==> a, b, c, d, e, f sont de même parité
Et ainsi toute expression, telle que (a+b) ou (b – a) , … , est paire . → On peut procéder par étapes successives de la façon suivante :
A partir de n : définir des couples (a,b) solution acceptable de (1)
ALORS pour chaque couple, existe-t-il un entier c tel que le couple (b,c) est solution de (2) pour tout entier c solution de (2), poursuivre en vérifiant si un entier d est solution de (3) etc …
Le tableau suivant résume les premières solutions qui satisfont (1) ET (2) selon la valeur de n relation (1) → n ! = (b+a)(b-a)
relation (2) → (n+1) ! + b² = c²
N.B. La relation (1) conduit à envisager toutes les partitions possibles de n ! en produit de deux facteurs PAIRS → Cela exclut n = 2 et n = 3
n n ! (b+a) (b-a) b ? a ? c² = (n+1)! + b² c ?
4 2.3.4 12 2 7 5 120+49 13 (s1) 6 4 5 1 120+25 non entier
5 2.3.4.5 60 2 31 29 720+31² 41 (s2) 30 4 17 13 720+17² non entier
20 6 13 7 720+13² non entier
12 10 11 1 720+11² 29 (s3) …...
Avant de poursuivre éventuellement avec n > 5, examinons pour chacune des trois solutions (s1) (s2) (s3) ci- dessus leur compatibilité avec les égalités suivantes (3) (4) et (5)
Avec égalité (3) → n ! + c² = d² d est-il entier ? avec (s1) n = 4 a = 5 b = 7 c = 13
égalité (3) → 4 ! + 13² = 193 193 ≠ d² avec (s2) n = 5 a = 29 b = 31 c = 41
égalité (3) → 5 ! + 41² = 1801 1801 ≠ d² avec (s3) n = 5 a = 1 b = 11 c = 29
égalité (3) → 5 ! + 29² = 961 = 31² → d = 31 ==> La solution (s3) satisfait l'égalité (3) avec d = 31
Alors avec cela : n = 5 a = 1 b = 11 c = 29 d = 31 , a-t-on égalité (4) → (n+1) ! + d² = e² avec e entier ? 720 + 31² = 1681 = 41² → e = 41 L'égalité (5) exige alors
(n+1) ! + e² = f²
720 + 41² = 2401 = 49² → f = 49 Une solution au système proposé avec les contraintes de l'énoncé est
==> n = 5 et a = 1 b = 11 c = 29 d = 31 e = 41 f = 49
Q2 Pour tout entier n > 4, il existe un entier k, indépendant de n, tel que n!/(n - k)! + 1 est un carré parfait.
De façon générale n !/(n-k) ! (où il est entendu que n > k) est un entier P PAIR P = n(n-1)(n-2) … (n-k+1)
Alors si P + 1 est un carré parfait c² → c est impair et
→ P = 4m(m+1) (1) A partir de cela :
puisque dans l'expression de P les entiers se succèdent à partir de n en ordre décroissant, et qu'un facteur ''4'' doit toujours être présent dans l'expression de P pour vérifier (1) ==> Il faut que P soit formé d'au moins QUATRE entiers successifs décroissants à partir de n En effet dans ce cas on est assuré que dans P il y a toujours au moins deux entiers pairs présents.
Cette condition nécessaire (k > 3) est-elle suffisante pour donner à P la forme (1) ci-dessus ? Avec k = 4
P = n(n-1)(n-2)(n-3)
Alors par exemple avec n impair n = 2K-1 P = 4(2K-1)K(2K+1)(K+1)
On peut regrouper dans ce quadruple produit de termes en K de la façon suivante : (2K-1)(K+1) = 2K² + K – 1
K(2K+1) = 2K² + K En posant m = 2K² + K – 1
→ P = 4m(m+1) (relation (1) souhaitée) N.B. Avec k = 4 et n pair (n = 2K) on obtient de la même façon
P = 4m(m+1) en posant ici m = 2K² + 3K DONC
==> quel que soit n > k = 4 le nombre entier n !/(n-k) ! + 1 est un carré parfait c² A.N. Recherche de a, b, c définis dans l'énoncé.
Avec ce qui précède, on identifie a = n b = n – 4 , ainsi
avec n = 5 a= 5 b = 1 et c² = 120/1 + 1 = 121 → c = 11 ne convient pas (chiffres identiques dans b et c) avec n = 6 a =6 b = 2 et c² = 720/2 + 1 = 361 → c = 19 convient
N.B. D'autres solutions existent par ex : n = 7 → a = 7 b = 3 et c² = 841 → c = 29 , etc …
Sachant qu'il y a dix chiffres distincts (0 → 9) , on peut se poser la question suivante : Quels sont les plus grands nombres a, b, c qui répondent à la question ?
→ A priori il est clair que ''a'' ne peut avoir 3 chiffres En effet, b = a – 4 et ainsi
soit b a 3 chiffres , et c² = a(a-1)(a-2)(a-3) +1 → c a plus de 4chiffres soit b a 2 chiffres, a = 102 b = 98 et c² = 102.101.100.99 + 1 → c = 10099
a = 103 b = 99 et c² = 103.102.101.100 + 1 → c = 10301 Aucun de ces ''c'' ne possède des chiffres distincts (et distincts de ceux de a et de b ) → Dans le cas où ''a'' a deux chiffres
Considérons le cas où ''a'' a 2 chiffres ET ''b'' a également 2 chiffres
Puisque b = a – 4 et que les chiffres composant ''b'' sont tous distincts de ceux de ''a'', cela entraîne a > 19
a = 20 donc b = 16 et P = 20.19.18.17 c² = P+ 1 c = 341 ''1'' est commun avec ''b'' a = 21 b = 17 refusé ''1'' en commun
a = 22 refusé
a = 23 b = 19 P = 23.22.21.20 c² = P + 1 c = 641 ''1'' est partagé avec ''b'' Pour 23 < a < 30 ''a'' partage avec ''b'' qui en découle, le ''2''
a = 30 b = 26 P = 30.29.28.27 → c = 811 ''c'' n'est pas formé de chiffres distincts a = 31 b = 27 P = 31.30.29.28 → c = 869
==> Tous les chiffres composant ''a'' ''b'' et ''c'' sont distincts a = 32 b = 28 ''2'' est en commun
a = 33 refusé
Il faut alors passer à a = 40 donc b = 36 → c = 1481 n'est pas formé de chiffres distincts En poursuivant, et en ne retenant que les ''a'' et ''b'' correspondants, formés de chiffres distincts :
→ ''c'' à 4 chiffres n'est pas formé de chiffres tous distincts, ou bien partage un chiffre avec ''a'' ou ''b'' Cela est vrai jusqu'à a = 90, 91 (pour a = 92, b = 88 et pour a = 93 b = 89)
Ensuite on retrouve les cas examinés ci-dessus : ''a'' a ou moins 3 chiffres (distincts) (pas de solution) Donc
Les plus grands nombres formés de chiffres tous distincts, qui vérifient la relation a !/b ! + 1 = c² sont ==> (a b c) = ( 31 27 869)
