D1987 - Une variante olympique

Soit ABC un triangle de cercle circonscrit (Γ). Un cercle (γ) de centre A rencontre le côté BC aux points D et E de sorte que B,D,E et C sont distincts et dans cet ordre sur la droite (BC). On note F et G les points d’intersection de (γ) avec (Γ) de sorte que A,F,B,C et G sont dans cet ordre sur (Γ).

Soit K le second point d’intersection du cercle circonscrit au triangle BDF avec le côté AB. Soit L le second point d’intersection du cercle circonscrit au triangle CGE avec le côté CA. On suppose que les droites FK et GL ne sont pas confondues et qu’elles rencontrent respectivement le cercle (Γ) aux points S et T.

Prouver que :

Q1 : les angles GDK et FEL sont droits.

Q2: les segments AS et AT sont égaux.

Soient U et V les intersections respectives de FD et GE avec (Γ).

On a les égalités angulaires GAU=GFU et DFG=DAG/2 : AU est donc la bissectrice de DAG donc la médiatrice de DG.

Par ailleurs, par rapport aux sécantes BKA et FDU, BF et KD sont antiparallèles, ainsi que BF et AU : KD et AU sont donc parallèles, et KD est perpendiculaire à DG.

De même, AV est médiatrice de EF, EL est parallèle à AV, et l’angle FEL est droit.

On montre de la même façon que CS est parallèle à AU, BT à AV et DE (BC) à UV.

Donc AS=CU=BV=AT

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