e((b+c)e−bc), de même E est sur Γ5 : d'où

(1)

D194. Des cercles en cascade On trace successivement:

- un triangle ABC,

- le cercle (Γ₁) de centre O qui est circonscrit à ce triangle et sur lequel se trouve un point courant P,

- le cercle (Γ₂) circonscrit au triangle BOC,

- la droite AP qui coupe la droite BC en un point D, - le cercle (Γ₃) circonscrit au triangle ABD,

- le cercle (Γ₄) circonscrit au triangle CDP qui coupe le cercle (Γ₃) en un deuxième point Q, - le cercle (Γ₅) circonscrit au triangle AOP qui coupe le cercle (Γ₂) en un deuxième point E, - le cercle (Γ₆) circonscrit au triangle CEP,

- le cercle (Γ₇) circonscrit au triangle ABE qui coupe le cercle (Γ₆) en un deuxième point R.

Déterminer les lieux des points Q et R quand le point P parcourt le cercle (Γ₁).

Point Q :

(QA,QC)=(QA,QD)+(QD,QC)=(BA,BD)+(PD,PC) car QADB cocycliques et QDCP cocycliques.

Mais (BA,BD)=(BA,BC) car BDC alignés et (PD,PC)=(PA,PC)=(BA,BC) car PDA alignés et PABC cocycliques. Finalement on a (QA,QC) = 2.(BA,BC).

De plus l'angle au centre (OA,OC) vaut deux fois l'angle inscrit (BA,BC).

Il en résulte (QA,QC) = (OA,OC) et Q est sur le cercle (AOC).

Quand le point P décrit le cercle ABC, le point D décrit la droite BC, le cercle (ABD) = (Γ₃) décrit tout le faisceau de cercles à points de base A et B, le point Q où ce cercle recoupe le cercle (AOC) décrit bien ce cercle (AOC) en entier.

Point R :

Le cercle Γ1 est pris comme cercle unité, les affixes de A,B,C,P,E, sont a,b,c,p,e.

Calcul de e : E est sur Γ2 : ((e−b)c)

((e−c)b) est réel : ((e−b)c)

((e−c)b) = (b(e)−1) (c(e)−1)

d'où e = e

((b+c)e−bc) , de même E est sur Γ5 : d'où e = e

((a+p)e−ap) , on résoud (b+c)e – bc = (a+p)e – ap, e = (ap−bc)

(a+p−b−c) ,

e – a = (c-a)(a-b)/(a+b-p-c) et e – b = (p-b)(a-b)/(a+b-p-c)), (e-a)/(e-b) = (c-a)/(p-b), il en résulte que (EB,EA) = (PB,CA) et que le point T d'intersection des droites BP et AC est sur le cercle Γ7.

En échangeant A et P d'une part, B et C d'autre part, on démontre de même que T est sur Γ6.

(2)

T et R sont donc confondus, BRP sont alignés, ARC sont alignés.

R est sur la droite AC qui est fixe. Quand P décrit le cercle Γ1, la droite BRP tourne autour de B et le point R décrit entièrement la droite AC.

Le lieu de Q est le cercle (AOC), et le lieu de R est la droite AC.