Equations aux dérivées partielles d évolution

Equations aux d´ eriv´ ees partielles d’´ evolution

Master Analyse-EDP-Probabilit´ es Universit´ e de Bordeaux

Laurent Michel

Printemps 2021

Table des mati` eres

1 Introduction 3

2 Compl´ements sur la transform´ee de Fourier 4

2.1 L’espace de Schwartz . . . 4

2.2 Transform´ee de Fourier surS . . . 7

2.3 L’espace des distributions temp´er´ees . . . 10

2.4 Transform´ee de Fourier surS⁰ . . . 12

2.4.1 G´en´eralit´es . . . 12

2.4.2 Transform´ee de Fourier surL^p . . . 14

2.4.3 Transform´ee de Fourier surE⁰ . . . 14

3 Compl´ements sur les espaces de Sobolev 17 3.1 Espaces de Sobolev surR^d . . . 17

3.1.1 G´en´eralit´es . . . 17

3.1.2 Espace de Sobolev et changement de variable . . . 19

3.1.3 Espaces de Sobolev sur une hypersurface . . . 21

3.1.4 Th´eor`emes d’injection . . . 22

3.1.5 Op´erateurs de trace . . . 24

3.2 Espaces de Sobolev sur un ouvert deR^d . . . 26

3.2.1 G´en´eralit´es . . . 26

3.2.2 Op´erateurs de trace et de prolongement . . . 26

3.2.3 In´egalit´es fonctionnelles . . . 29

3.2.4 Application au probl`eme de Dirichlet . . . 30

4 R´esolution de probl`emes d’´evolution par transformation de Fourier 31 4.1 Probl´ematique g´en´erale . . . 31

4.2 Fonctions du temps `a valeurs dans des espaces de Sobolev . . . . 32

4.3 L’´equation de la chaleur . . . 35

4.3.1 Probl`eme homog`ene . . . 35

4.3.2 Probl`eme inhomog`ene . . . 37

4.4 L’´equation des ondes . . . 37

4.4.1 R´esolution en dimension 1 d’espace . . . 37

4.4.2 Le probl`eme de Cauchy . . . 38

4.4.3 Propagation des ondes . . . 39

5 Probl`emes aux limites 42

5.1 Le th´eor`eme de Hille-Yosida . . . 42

5.1.1 Rappels d’analyse fonctionnelle . . . 42

5.1.2 Op´erateurs accr´etifs . . . 42

5.1.3 Semi-groupes d’op´erateurs . . . 48

5.2 Applications . . . 49

5.2.1 EDP sur un domaine . . . 49

Chapitre 1

Introduction

Le but de ce cours est d’introduire des outils de r´esolution d’EDP d’´evolution intervenant en physique math´ematique (´equation de la chaleur, ´equation des ondes, ´equation de Schr¨odinger). Dans un premier temps on consid`erera des

´

equations `a coefficients constants sur l’espace Euclidien. Dans ce cas l’utilisation de la transformation de Fourier pour r´eduire l’´etude de l’EDP `a l’´etude d’une famille d’EDO est un outil tr`es puissant. On commencera donc ce cours par quelques rappels et compl´ements sur la transformation de Fourier et les espaces de Sobolev. On appliquera ensuite ces outils `a l’´etude l’´equation de la chaleur et de l’´equation des ondes surR^d.

Lorsque les EDP consid´er´ees ne sont pas `a coefficients constants (ou lorsque l’on consid`ere l’EDP sur un sous ensemble de R^d), on ne peut plus utiliser la transformation de Fourier pour r´esoudre de mani`ere exacte. On pr´esentera dans la seconde partie de ce cours des outils d’Analyse fonctionnelle permettant la r´esolution de tesl probl`emes. On appliquera ensuite ces outils `a des probl`emes lin´eaires et semi-lin´eaires.

Les notes de ce cours reposent en partie sur un cours donn´e par A. Bachelot.

Nous le remercions de nous avoir permis d’utiliser son materiel.

Chapitre 2

Compl´ ements sur la

transform´ ee de Fourier

2.1 L’espace de Schwartz

D´efinition 2.1 Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C. On dit qu’une application N : E → R+ est une seminorme si les propri´et´es suivantes sont satisfaites:

i) ∀x,y∈E,N(x+y)≤ N(x) +N(y) ii) ∀λ∈K,∀x∈E,N(λx) =|λ|N(x)

On remarque qu’une seminorme n’est pas n´ecessairement d´efinie-positive. C’est ce qui lui manque pour ˆetre une norme.

Nous allons d´efinir l’espace des fonctions `a d´ecroissance rapide surR^d. Dans la suite, on utilisera les notations suivantes:

∂_xj =∂/∂x_j, x^α=x^α₁¹. . . x^α_n^d, ∂_x^α=∂_x^α1

1 . . . ∂_x^αd

d

o`uα∈N^d est appel´e multi-indice. On noteraDx_j =¹_i∂x_j etDx= ¹_i∇x. Pour tout multi-indice α∈ N^d, on notera |α| =P

jαj, α! = α1!. . . αd! et pour toutu∈R^d, u^α=u^α₁¹. . . u^α_d^d. On dira queα≤β siαj ≤βj pour toutj.

Dans tout le cours, on noteraC^∞(R^d) =C^∞(R^d,C) l’espace des fonctions de R^d`a valeurs dansCqui sont ind´efiniment d´erivables. On noteraC<sub>c</sub><sup>∞</sup>(R<sup>d</sup>) le sous espace deC<sup>∞</sup>(R<sup>d</sup>) des fonctions `a support compact.

D´efinition 2.2 On note S = S(R^d) l’ensemble des fonctions ϕ ∈ C^∞(R^d) telles que pour tout p∈N

sup

|α|,|β|≤p

sup

x∈R^d

|x^α∂^β_xϕ(x)|<∞ Proposition 2.3 S(R^d)est une alg`ebre.

Preuve. Il est clair queS(R^d) est stable par addition et multiplication par un scalaire. C’est donc un sous espace vectoriel deC^∞(R^d). Par ailleurs, pour tout u,v∈ C^∞(R^d), on a la formule de Leibniz

∂^β(uv) =X

ν≤β

ν β

∂^νu∂^β−νv

Si u,v∈S(R^d) on d´eduit facilement de cette formule queuv∈S(R^d).

Proposition 2.4 Pour toutp∈Nl’applicationNp d´efinie sur C^∞(R^d)par Np(ϕ) := sup

|α|,|β|≤p

sup

x∈R^d

|x^α∂_x^βϕ(x)|

est une seminorme.

Preuve.C’est ´evident.

Proposition 2.5 Pour toutu,v∈S(R^d), on pose d_S(u,v) :=X

p∈N

2^−p Np(u−v)

1 +N_p(u−v) (2.1)

L’application d_S est une distance sur S(R^d). En outre, pour toute suite(ϕ_k) deS(R^d), on ad_S(ϕ_k,ϕ)→0quandk→ ∞si et seulement siN_p(ϕ_k−ϕ)→0 pour toutp∈N.

Preuve.Montrons d’abord qued_S est une distance. Il est clair qued_S ≥0 et que sid_S(u,v) = 0 alorsu=v. Pour ´etablir l’in´egalit´e triangulaire, on commen ce par remarquer que la fonction φ : t 7→ _1+t^t est croissante. Donnons nous u,v,w,∈S(R^d). Pour toutp∈N, on a

Np(u−v)≤ Np(u−w) +Np(w−v) et commeφest croissante, on en d´eduit

Np(u−v)

1 +Np(u−v) ≤ Np(u−w)

1 +Np(u−w) +Np(w−v)+ Np(w−v)

1 +Np(u−w) +Np(w−v)

≤ Np(u−w)

1 +Np(u−w)+ Np(w−v) 1 +Np(w−v) On en d´eduit ais´ement l’in´egalit´e triangulaire.

Supposons maintenant que (ϕk) est une suite de S(R^d) convergeant vers ϕ∈S(R^d) pourd_S. On remarque que pour toutp∈N, on aφ(Np(ϕk−ϕ))≤ 2^pd_S(ϕ_k−ϕ). Or, la fonction φest continue, strictement croissante, bijective de R sur ]−1,1[. On en d´eduit que si d_S(ϕ_k −ϕ) → 0 alors Np(ϕ_k −ϕ) ≤ φ⁻¹(2^pd_S(ϕ_k−ϕ))→0.

Supposons maintenant que (ϕ_k) est une suite deS(R^d) telle queN_p(ϕ_k− ϕ)→0 pour toutp. On fixe >0 arbitraire. Comme la s´erieP

p2^−p converge, il existeP ≥0 tel queP

p≥P2^−p < /2. On en d´eduit que X

p≥P

2^−p Np(ϕk−ϕ)

1 +Np(ϕk−ϕ) < /2

pour toutk∈N. Par ailleurs, puisque pour toutp= 1, . . . ,P−1, on aN_p(ϕ_k− ϕ)→0, il existeK∈Ntel que

∀k≥K,

P−1

X

p=1

2^−p Np(ϕ_k−ϕ)

1 +Np(ϕk−ϕ) < /2.

On conclut en sommant les deux derni`eres in´egalit´es.

Exercice 2.6 Soit χ ∈ C^∞_c (R^d) une fonction `a valeurs r´eelles, ´egale `a 1 sur B(0,1), nulle en dehors de B(0,2). On note χn(x) = χ(^x_n) pour tout n ≥ 1.

Montrer que pour tout ϕ ∈ S(R^d) la suite ϕn = χnϕ converge vers ϕ dans S(R^d).

Preuve.Supposons queϕ∈S(R^d) est fix´ee et consid´erons la suite de fonctions ϕn=χnϕ∈ C_c^∞(R^d). Pour toutp∈N, on d´eduit de la formule de Leibniz que

Np(ϕ−ϕn) =Np((1−χn)ϕ) = sup

|α|,|β|≤p

|x^α∂_x^β((1−χn)ϕ|

≤ sup

|β|≤p

X

ν≤β

ν β

sup

|α|≤p

|x^α∂_x^ν(1−χn)∂_x^β−νϕ|

≤ C

n sup

|α|≤p+1,|β|≤p

|x^α∂_x^βϕ| →0

quandn→ ∞.

Proposition 2.7 On a les inclusions suivantes (valables pour toutp∈[1,∞]) C_c^∞(R^d),→S(R^d),→L^p(R^d)

etC_c^∞(R^d) est dense dansS(R^d).

Preuve. Les inclusions sont ´evidentes. La densit´e de C_c^∞(R^d) dans S(R^d) est une cons´equence imm´ediate de l’exercice pr´ec´edent.

Proposition 2.8 Soientα∈N^d etP∈C[x]alors les applicationsf 7→∂_x^αf et f 7→P f sont lin´eaires continues sur(S(R^d),d_S)

Preuve.Il suffit de remarquer que pour tout p∈N, Np(∂_x^αϕ)≤ N_p+|α|(ϕ) et

Np(P ϕ)≤CNp+degP(ϕ).

pour une certaine constanteC >0.

Th´eor`eme 2.9 L’espace (S(R^d),d_S)est complet.

Preuve.Soit (ϕn) une suite deS(R^d) de Cauchy pourd_S. On a

∀ >0,∃N ∈N,∀n,m≥N, X

p∈N

2^−pφ(Np(ϕn−ϕm))< (2.2)

o`uφ(t) =t/(1 +t). De l’in´egalit´eNp ≤φ⁻¹(2^pd_S) et de la continuit´e de φ⁻¹ en 0, on d´eduit donc que pour toutp∈N, on a

∀ >0,∃N ∈N,∀n,m≥N,Np(ϕ_n−ϕ_m)< (2.3)

En particulier, pour toutα,β∈N^d, on a

∀ >0,∃N ∈N,∀n,m≥N, sup

x∈R^d

|x^α∂_x^β(ϕ_n−ϕ_m)|< (2.4) En prenantβ= 0, on en d´eduit que pour toutα∈N^d, on a

∀ >0,∃N ∈N,∀n,m≥N, sup

x∈R^d

|∂_x^α(ϕn−ϕm)|<

Par cons´equent pour tout compact K deR^d et pour toutk∈N, la suite (ϕn) est de Cauchy dans C^k(K). Elle admet donc une limite ϕ ∈ C^∞(R^d). Faisons m→ ∞dans (2.4). On obtient

∀ >0,∃N ∈N,∀n≥N, sup

x∈R^d

|x^α∂_x^β(ϕn−ϕ)|< (2.5) Comme cette estimation est valable pour tout α,β ∈ N^d, ceci montre que ϕ ∈ S(R^d) et que pour tout p ∈ N, Np(ϕn−ϕ) → 0 quand n → ∞. C’est exactement la convergence de (ϕn) versϕdansS(R^d).

Proposition 2.10 Soientϕ,ψ∈S(R^d)alorsϕ∗ψ appartient `aS(R^d).

Preuve.Soient α,β∈N^d. On remarque qu’il existeCα>0 tel que

∀x,y∈R^d,|x|^|α|≤Cα(|y|^|α|+|x−y|^|α|) Par ailleurs, on a

|x^α∂_x^β(u∗v)| ≤ |x|^|α|

Z

R^d

|∂_x^βu(x−y)v(y)|dy

≤Cα

Z

R^d

(|y|^|α|+|x−y|^|α|)|∂_x^βu(x−y)||v(y)|dy

≤Cα k|x|^|α|∂_x^βuk_L2kvk_L2+k∂^β_xuk_L2k|y|^|α|vk_L2

qui est fini car u,v∈S(R^d).

2.2 Transform´ ee de Fourier sur S

Soituune fonction int´egrable sur R^d, on d´efinit sa transform´ee de Fourier par

Fu(ξ) = (2π)^−d/2 Z

R^d

e^−ixξu(x)dx. (2.6) Ici et dans dans toute la suite xξ d´esigne le produit scalaire entre les vecteurs x∈R^d etξ∈R^d. On utilisera parfois la notation ˆϕ(ξ) =Fϕ(ξ).

Pour tout x∈ Rⁿ, on notera |x| la norme euclidienne de xet hxi = (1 +

|x|²)^1/2.

CommeS ⊂L¹, la transform´ee de Fourier est bien d´efinie surS.

Th´eor`eme 2.11 L’applicationF est lin´eaire continue de S(R^d)dans S(R^d) et pour tout α∈N^d, on a

i) ∀ϕ∈S(R^d),F(D^α_xϕ)(ξ) =ξ^αFϕ(ξ)

ii) ∀ϕ∈S(R^d), D^α_ξ(Fϕ)(ξ) = (−1)^|α|F(x^αϕ)(ξ)

Preuve.Laiss´ee en exercice.

Exercice 2.12 SoitAune matrice r´eelle sym´etrique d´efinie positive etgA(x) = e^−12hAx,xi. Montrer que

F(gA)(ξ) = 1

(detA)^1/2e^{−12hA−1ξ,ξi}.

Th´eor`eme 2.13 L’applicationF:S →S est un isomorphisme et son inverse est donn´e par

F^∗ϕ(x) = (2π)^−d/2 Z

R^d

e^ixξu(ξ)dξ.

Remarque 2.14 1) L’identit´eF^∗F= Id peut s’´ecrire f(x) =

Z

e^ixξ 1

(2π)^d2Ff(ξ)dξ

pour tout f ∈S. La fonctionf peut ˆetre vue comme une superposition d’ondes planes de fr´equenceξ.

2) Pour toutϕ∈S(R^d), notons ϕ(x) =ˇ ϕ(−x). On a alors les identit´es F^∗ϕ(x) =Fϕ(−x), Fϕ(ξ) =ˇ F^∗ϕ(x), F Fϕ= ˇϕ

Preuve du th´eor`eme: Soientϕ∈S(R^dx) etψ∈S(R^dξ). Alors la fonction (x,ξ)7→e^i(x−y)ξϕ(x)ψ(ξ)

est dansL¹(R^dx×R^dξ). On peut donc appliquer le th´eor`eme de Fubini, `a I(ψ) := (2π)^−d2

Z

R^dx×R^dξ

e^i(x−y)ξϕ(y)ψ(ξ)dydξ.

Il vient

I(ψ) = Z

R^d_ξ

e^ixξψ(ξ) ˆϕ(ξ)dξ= Z

R^dx

ϕ(y)Fψ(y−x)dy. (2.7) On introduit la famille de fonctions ψa ∈ S(R^d), a > 0 d´efinie par ψa(ξ) = e^−a2|ξ|2. En appliquant le th´eor`eme de convergence domin´ee au premier terme de (2.7), on obtient

lim

a→0⁺I(ψ_a) = Z

R^d_ξ

e^ixξϕ(ξ)dξˆ = (2π)^d2F^∗Fϕ(x). (2.8) D’autre part, on a

Fψ(y−x) = (2a²)^−d2e^{−|x−y|2/(4a)2}.

Par suite,

I(ψ_a) = (2a²)^−d2 Z

R^dx

ϕ(y)e^{−|x−y|2/(4a)2}dy

= 2^d2 Z

R^dx

ϕ(x+ 2ay)e^−y2dy

(2.9)

En appliquant `a nouveau le th´eor`eme de convergence domin´ee, il vient lim

a→0⁺I(ψa) = 2^d2ϕ(x) Z

R^dx

e^−y2dy= (2π)^d2ϕ(x) (2.10) En combinant (2.8) et (2.10) on obtient le r´esultat annonc´e.

Remarque 2.15 Comme sous produit de la d´emonstration, on a l’identit´e ci dessous valable pour tout ϕ,ψ∈S:

I(ψ) = Z

R^d_ξ

e^ixξψ(ξ)F_x→ξϕ(ξ)dξ= Z

R^dx

ϕ(y)F_ξ→xψ(y−x)dy. (2.11) Proposition 2.16 Pour tout ϕ,ψ∈S(R^d), on a

F(ϕψ) = (2π)^−d2F(ϕ)∗ F(ψ) et

F(ϕ∗ψ) = (2π)^d2FϕFψ Preuve.Appliquons (2.11) avecϕ=F^∗f,f ∈S. Il vient

Z

R^d

F^∗f(y)F^∗ψ(x−y)dy= Z

R^d

e^ixξψ(ξ)f(ξ)dξ

c’est `a direF<sup>∗</sup>f ∗ F<sup>∗</sup>ψ= (2π)<sup>d2</sup>F<sup>∗</sup>(f ψ). En rempla¸cantf par ˇf et ψ par ˇψet en utilisant l’identit´eF<sup>∗</sup>fˇ=Ff, il vientFf∗ Fψ= (2π)<sup>d2</sup>F(f ψ). Cela prouve la premi`ere identit´e.

Pour d´emontrer la second identit´e, on remplace ϕ,ψ parF^∗ϕ,F^∗ψdans la premi`ere identit´e. Il vient

F(F^∗ϕF^∗ψ) = (2π)^−d2ϕ∗ψ et en appliquantF, on obtient

(2π)^−d2F(ϕ∗ψ)(ξ) =F F(F^∗ϕF^∗ψ) =F^∗ϕ(−ξ)F^∗ψ(−ξ) =Fϕ(ξ)Fψ(ξ)

ce qui prouve la seconde identit´e.

On a les identit´es int´egrales suivantes:

Th´eor`eme 2.17 Pour toutϕ,ψ∈S, on a Z

R^d

F(ϕ)(ξ)ψ(ξ)dξ= Z

R^d

ϕ(x)F(ψ)(x)dx,

Z

R^d

F(ϕ)(ξ)ψ(ξ)dx= Z

R^d

ϕ(x)F(ψ)(−x)dx,

hFϕ,Fψi_L2(R^d)=hϕ,ψi_L2(R^d)

En particulier, l’application F : S → S s’´etend de mani`ere unique en une isom´etrie surjective de L²(R^d) sur lui mˆeme. De plus F^∗ est l’adjoint de F pour le produit scalaire usuel sur L².

Preuve.Les deux premi`eres identit´es d´ecoulent imm´ediatement du Th´eor`eme de Fubini.

Rempla¸consψparFψdans la seconde identit´e. Il vient hϕ,ˆψiˆ L² =

Z

R^d

ϕ(x)F Fψ(−x)dx=hϕ,ψiL²

ce qui prouve la derni`ere identit´e. On en d´eduit que l’applicationF :S →L<sup>2</sup> est une isom´etrie. Comme S est dense dans L<sup>2</sup>, cette application se prolonge de mani`ere unique en une isom´etrie deL²dansL². De plus la seconde identit´e montre queF^∗ est l’adjoint deF .

Un raisonnement identique montrer queF^∗ s’´etend en une isom´etrie de L² dansL². Enfin, les identit´esF F^∗= Id (etF F^∗= Id) valable surS s’´etendent par densit´e `aL² ce qui montre queF etF^∗ sont surjectives surL². Exercice 2.18 (Principe d’incertitude)Soitf ∈S. Montrer que pour tout j= 1, . . . ,n, on a

kxjfk_L2kξjFfk_L2≥ 1

2kfk_L2kFfk_L2.

2.3 L’espace des distributions temp´ er´ ees

D´efinition 2.19 Une distribution temp´er´ee est une forme lin´eaire continue sur S(R^d). Leur ensemble est not´e S⁰(R^d). On dit qu’une suite (Tn) deS⁰(R^d) converge versT ∈S⁰(R^d)si

∀ϕ∈S(R^d),hT_n,ϕi_S⁰_,S → hT,ϕi_S⁰_,S. quandn→ ∞.

Exemple 2.20 On a les injections continues suivantes:

i) pour tout p∈[1,∞],L^p(R^d),→S⁰(R^d) ii) E⁰(R^d),→S⁰(R^d).

Exercice 2.21 Montrer que E⁰(R^d)est dense dans S⁰(R^d).

Proposition 2.22 Soit T : S(R^d)→ C une forme lin´eaire. Alors T est une distribution temp´er´ee si et seulement si il existeK∈N etC >0 tels que

∀ϕ∈S(R^d),|hT,ϕi| ≤CNK(ϕ) (2.12) Preuve.Il est clair que siT v´erifie (2.12) alorsT ∈S⁰.

R´eciproquement, supposons par l’absurde queT ∈S⁰ ne v´erifie (2.12) pour aucunes constantes K,C. Alors, il existe une suite (ϕ_j) deS⁰ telle que

∀j≥1,|hT,ϕji| ≥jNj(ϕj). (2.13)

avecN_j(ϕ_j)6= 0 pour toutj. On consid`ere alors les fonctionsψ_j =ϕ_j/(jN_j(ϕ_j)).

On a

|hT,ψji| ≥1,∀j≥1 et pour toutp∈N, on a

Np(ψj) =1 j

Np(ψj) Nj(ψj).

Comme on a Np ≤ Nj pour tout j ≥p, on en d´eduit que Np(ψj)→0 quand j→ ∞pour toutp. Par cons´equent, (ψj) tend vers 0 dans S⁰ et commeT est continue on en d´eduit (hT,ψji)→0, ce qui contredit (2.13).

Proposition 2.23 L’application de restrictionT ∈S⁰(R^d)7→T_|C∞

c (R^d)est une injection lin´eaire continue de S⁰ dansD⁰.

Preuve. La lin´earit´e est ´evidente. Pour montrer l’injectivit´e, on suppose que T_|C^∞

c (R^d)= 0. AlorsT ϕ= 0 pour toutϕ∈ C^∞_c (R^d). CommeC_c^∞(R^d) est dense dans S(R^d) et que T est continue sur S. On en d´eduit T ϕ = 0 pour tout ϕ∈S(R^d). Cela prouve l’injectivit´e.

Supposons maintenant queTn→TdansS⁰. Soitϕ∈ C_c^∞(R^d). Alorsϕ∈S. Par suite,

hTn,ϕi_D⁰,D=hTn,ϕi_S⁰,S → hT,ϕi_S⁰,S =hT,ϕi_D⁰,D

quandn→ ∞. Ceci prouve queT_n→T dansD⁰.

Th´eor`eme 2.24 (Principe de bornitude uniforme)Soit(Tn)une suite de S⁰(R^d). On suppose que pour tout ϕ ∈ S(R^d) la suite (hTn,ϕi_S⁰,S)_n∈N est born´ee. Alors, il existep∈NetC >0 tels que

∀ϕ∈S(R^d), sup

n∈N

|hTn,ϕi_S⁰,S| ≤CNp(ϕ)

Preuve. La d´emonstration de ce r´esultat est une variante de la preuve du th´eor`eme de Banach-Steinhaus. Elle repose sur le Lemme de Baire que nous rappelons sans d´emonstration:

Lemme 2.25 Soit(E,d) un espace m´etrique complet et soit (Fn)une suite de ferm´es d’interieurs vides. Alors∪_n∈NFn est d’interieur vide.

Utilisons ce lemme pour d´emontrer le th´eor`eme. On introduit les ensembles F_j ={ϕ∈S(R^d),∀n∈N,|hT_n,ϕi| ≤j}

Comme les Tn sont continues sur S⁰, les Fj sont ferm´es comme intersection de ferm´es. De plus, puisque pour tout ϕ ∈ S(R^d) la suite (hTn,ϕi_S⁰,S)_n∈N est born´ee, on a ∪_j∈NFj = S(R^d) qui est bien sur d’interieur non vide. Par cons´equent, il existeK∈Ntel que ˚FK6=∅. Par suite, il existeϕ0∈S et >0 tels que

{ϕ∈S, d_S(ϕ,ϕ0)<2} ⊂FK

On en d´eduit qu’il existep∈N, tel que

{ϕ∈S,Np(ϕ−ϕ0)< } ⊂FK

PosonsM =K+ sup_n∈N|hT,ϕ₀i|. Alors, pour tout ϕ∈S⁰ tel queN_p(ϕ)≤1, on a

|hTn,ϕi|=1

|hTn,ϕi| ≤ 1

|hTn,ϕ−ϕ0i|+|hTn,ϕ0i|

≤M

ce qui montre la borne annonc´ee.

Du principe de bornitude uniforme on d´eduit le r´esultat suivant:

Th´eor`eme 2.26 Soit (Tn) une suite de S⁰(R^d). On suppose que pour tout ϕ ∈ S(R^d) la suite (hTn,ϕi_S⁰,S)_n∈N converge dans C. Alors, la suite (T_n) converge dans S⁰.

Preuve.

Supposons donc que pour toutϕ∈S, (hTn,ϕi_S⁰,S)_n∈Nconverge dansCet notons T ϕ sa limite. Un argument classique montre queϕ7→ T ϕest lin´eaire.

La continuit´e deT est une cons´equence du th´eor`eme de bornitude uniforme.

Exercice 2.27 Pour tout n∈N, on consid`ere la distribution temp´er´ee T_n =

n

X

k=0

1 k!x^2k

Montrer que la suite (T_n) converge dans D⁰(R) mais ne converge pas dans S⁰(R).

On d´efinit maintenant par dualit´e des op´erations naturelle sur les ´el´ements de S⁰.

D´efinition 2.28 Soitχ∈ C^∞ une fonction telle que pour toutα∈N^d, il existe C_α>0 et N_α∈Ntels que |∂^αχ(x)| ≤C_αhxi^Nα. Pour tout T ∈S⁰ on d´efinit χT ∈S⁰ par

hχT,ϕi_S⁰_,S =hT,χϕi_S⁰_,S SoitT ∈S⁰. Les d´eriv´ees deT sont d´efinies par

h∂_x^αT,ϕi_S⁰,S = (−1)^|α|hT,∂_x^αϕi_S⁰,S. Il est clair que pour toutα∈N^d,∂_x^αT ∈S⁰.

Exercice 2.29 Soit P ∈ C[X] un polynˆome. Montrer que ∂^α_xP est la d´eriv´ee deP au sens usuel.

2.4 Transform´ ee de Fourier sur S

2.4.1 G´ en´ eralit´ es

D´efinition 2.30 Soit T ∈S⁰(R^d), on d´efinit la transform´ee de Fourier de T par

hF(T),ϕi_S⁰_,S =hT,F(ϕ)i_S⁰_,S (2.14) Proposition 2.31 L’application F :S⁰(R^d)→S⁰(R^d) est lin´eaire, continue et prolonge la transform´ee de Fourier usuelle surS(R^d).

Preuve.On montre d’abord queF(S⁰)⊂S⁰. Il est clair que pour toutT∈S⁰, la formule (2.14) d´efinit une forme lin´eaire sur S. Montrons que F(T) est continue. Supposons que (ϕn) est une suite de S qui converge versϕdansS. CommeF:S →S est continue, alors

F(ϕn)→ F(ϕ), n→ ∞.

CommeT ∈S⁰, on en d´eduit que

hF(T),ϕni_S⁰,S =hTF(ϕn)i_S⁰,S → hT,F(ϕ)i_S⁰,S =hF(T),ϕi_S⁰,S

ce qui prouve que F(T) est continue surS⁰.

La lin´earit´e de F sur S⁰ est une cons´equence imm´ediate de la d´efinition ci-dessus et de la lin´earit´e deF surS.

Supposons que (T_n) est une suite deS⁰qui converge versT dansS⁰. Alors, pour toutϕ∈S, on aF(ϕ)∈S. Par suite

hF(Tn),ϕi_S⁰,S =hTnF(ϕ)i_S⁰,S → hT,F(ϕ)i_S⁰,S =hF(T),ϕi_S⁰,S

ce qui montre queF(Tn) tend versF(T) dansS⁰. Ceci prouve queF:S⁰ →S⁰ est continue.

Le fait queF prolonge la transformation de fourier usuelle sur S est une

simple application du th´eor`eme de Fubini.

Th´eor`eme 2.32 La transform´ee de FourierFr´ealise un isomorphisme continu deS⁰ sur S⁰. Son inverse est l’op´erateur F^∗ d´efini par

hF^∗T,ϕi_S⁰,S =hT,F^∗ϕi_S⁰,S

De plus, on a les identit´es

i) ∀T ∈S⁰(R^d),F(D^α_xT) =ξ^αF T

ii) ∀T ∈S(R^d), D^α_ξ(FT) = (−1)^|α|F(x^αT) Preuve.On a clairement

hF^∗FT,ϕi_S⁰,S =hFT,F^∗Ti_S⁰,S =hT,F F^∗ϕi_S⁰,S =hT,ϕi_S⁰,S

qui prouve queF^∗FT =T. De mˆeme on aF F^∗T =T et par suiteF r´ealise un isomorphisme continu deS⁰ surS⁰ dont l’inverse estF^∗.

Les identit´es i) et ii) sont obtenues par dualit´e `a partir des identit´es simi-

laires surS.

Exemple 2.33 On a

F(δx=x₀) = (2π)^−d2e^−ix0ξ et

F(e^iηx) = (2π)^d2δ_ξ=η

Exercice 2.34 Calculer les transform´ees de Fourier des distributions temp´er´ees suivantes: cos(x),e^−|x|,x^k, _1+x^x2.

Exercice 2.35 SoitAune matrice r´eelle sym´etrique r´eguli`ere (i.e.kerA= 0).

Alors

F(e^i2hAx,xi) = e^iπ4sgn(A)

|det(A)|^1/2e^{−i2hA−1ξ,ξi},

avec sgn(A) = 2r−n o`ur d´esigne le nombre de valeurs propres positives de A.

2.4.2 Transform´ ee de Fourier sur L

Pour toutp∈[1,∞], on a L^p(R^d)⊂S⁰(R^d) doncF est bien d´efini sur L^p. Pour p= 1, on a pour tout f ∈L¹(R^d),F(f)∈L^∞ et

F(f)(ξ) = (2π)^−d2 Z

e^−ixξf(x)dx

Pour p > 1, on n’a pas de formule analogue. Par contre pour p = 2, on a le r´esultat fondamental suivant:

Th´eor`eme 2.36 La transform´ee de fourier est un isomorphisme isom´etrique sur L²(R^d). Pour tout f ∈L²(R^d), on a

kF(f)k_L2 =kfk_L2

Preuve.On a d´ej`a vu que l’applicationF:S →S s’´etendait de mani`ere unique en une isom´etrie de L². Il s’agit donc de v´erifier que F : S⁰ → S⁰ prolonge

F :S →S, ce qui a d´ej`a ´et´e vu.

2.4.3 Transform´ ee de Fourier sur E

On commence par rappeler les deux r´esultats sur la d´erivation et l’int´egration de crochets de distribution.

Th´eor`eme 2.37 (Th´eor`eme de d´erivation sous le crochet) Soient T ∈ D⁰(R^d)une distribution et soitϕ∈D(R^d×R^p)une fonction test support´ee dans K×R^p avec K compact. Alors la fonction

y7→ hT,ϕ(.,y)i_D⁰,D

est de classeC^∞ sur R^p et on a

∂_y^α(hT,ϕ(.,y)i_D⁰,D) =hT,∂^α_yϕ(.,y)i_D⁰,D

Preuve.Soity0∈R^d. D’apr`es la formule de Taylor, pour touth∈R^p on a ϕ(x,y0+h) =φ(x,y0) +

d

X

j=1

∂y_jφ(x,,y0)hj+r(x,y0,h) avec

r(x,y0,h) = 2 X

|α|=2

h^α α!

Z 1 0

(1−t)∂^α_yϕ(x,y0+th)dt

Par th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral, la fonction r est C<sup>∞</sup> par rapport `axet on a pour toutα∈N^d et pour|h| ≤1

sup

x∈K

|∂_x^αr(x,y₀,h)| ≤C|h|² sup

x∈K,y∈B(y0,1)

sup

|β|≤2

|∂^α_x∂_y^βϕ(x,y)|. (2.15) En particulier,x7→r(x,y0,h) appartient `aD pour touthet on a

hT,ϕ(.,y0+h)i_D⁰,D =hT,ϕ(.,y0)i_D⁰,D+

d

X

j=1

h^jhT,∂yjϕ(.,y₀)i_D⁰,D

+hT,r(.,y0,h)i_D⁰,D

CommeT ∈D⁰, il existe C >0 andm∈Ntels que hT,,r(.,y0,h)i_D⁰,D≤Csup

x∈K

sup

|α|≤m

|∂_x^αr(x,y0,h)|

et combin´e avec (2.15), il vient

hT,,r(.,y0,h)i_D⁰,D ≤C(ϕ)h² pour une certaine constanteϕ. On en d´eduit que

hT,ϕ(.,y0+h)i_D⁰,D =hT,ϕ(.,y0)i_D⁰,D+

d

X

j=1

h^jhT,∂yjϕ(.,y0)i_D⁰,D

+O(|h|²)

Ceci prouve que l’applicationy7→ hT,ϕ(.,y)i_D⁰,Dest d´erivable de d´eriv´eehT,∂yϕ(.,y)i_D⁰,D. En it´erant l’argument on obtient le r´esultat annonc´e.

Th´eor`eme 2.38 (Th´eor`eme d’int´egration sous le crochet) Soient T ∈ D(R^d)une distribution et ϕ∈ C_c^∞(R^d×R^p). Alors

Z

R^d

hT,ϕ(.,y)i_D⁰,Ddy=

T, Z

ϕ(.,y)dy

D⁰,D

Preuve.On fait la d´emonstration dans le casp= 1. On a suppϕ⊂K×[−R,R]

pour un certainR >0. On introduit une fonctionχ∈ C_c^∞(]−R,R[) telle que Z

R

χ(t)dt= 1.

Alors, la fonction

ψ(x,y) =ϕ(x,y)−χ(y) Z

R

ϕ(x,z)dz

est C^∞ `a support compact et on voit facilement que Z

R

ψ(x,y)dy= 0,∀x∈R^d Par suite, la fonction (x,y)7→Ψ(x,y) d´efinie par

Ψ(x,y) = Z y

−∞

ψ(x,z)dz

est aussiC^∞ `a support compact et on a bien sur ∂<sub>y</sub>Ψ(x,y) = ψ(x,y). On peut donc appliquer le th´eor`eme de d´erivation sous le signe crochet. Il vient

∂yhT,Ψ(.,y)i=hT,ψ(.,y)i On int`egre cette indentit´e entre sur R. Il vient

Z

R

hT,ψ(.,y)idy= Z R

−R

hT,ψ(.,y)idy=hT,Ψ(.,R)i − hT,Ψ(.,−R)i= 0

Or, on a

hT,ψ(.,y)i=hT,ϕ(.,y)−χ(y) Z

R

ϕ(.,z)dzi=hT,ϕ(.,y)i −χ(y)hT, Z

R

ϕ(.,z)dzi

En int´egrant par rapport `ay, il vient 0 =

Z

R

hT,ψ(.,y)idy= Z

R

hT,ϕ(.,y)idy− hT, Z

R

ϕ(.,z)dzi Z

R

χ(y)dy

= Z

R

hT,ϕ(.,y)idy− hT, Z

R

ϕ(.,z)dzi

ce qui prouve le r´esultat.

On peut maintenant d´emontrer le r´esultat principal de cette section.

Th´eor`eme 2.39 SoitT ∈ E⁰(R^d), alors F(T)∈S⁰∩ C^∞ et on a F(T)(ξ) = (2π)^−d2hT,e^−ixξiE⁰,C^∞

Preuve.SoitT ∈ E⁰(R^d) et soit

v(ξ) := (2π)^−d2hT,e^−ixξi_E⁰_,C^∞

Le th´eor`eme de d´erivation sous le crochet montre quev est C^∞ surR^d et qu’il existem∈Net C >0 tels que

|v(ξ)| ≤Chξi^m,∀ξ∈R^d

Par suitev∈S⁰(R^d) et en appliquant le th´eor`eme d’int´egration sous le crochet, pour toutϕ∈S⁰, on a

hv,ϕi_S⁰,S = (2π)^d2 Z

hT,e^−ixξi_D⁰,Dϕ(ξ)dξ

=hT,(2π)^d2 Z

e^−ixξϕ(ξ)dξi_D⁰_,D =hT,ϕiˆ _S⁰_,S

ce qui prouve que T =v.

Chapitre 3

Compl´ ements sur les espaces de Sobolev

3.1 Espaces de Sobolev sur R

3.1.1 G´ en´ eralit´ es

Dans toute la suite, on noterahξi= (1 +|ξ|²)¹².

D´efinition 3.1 Pour touts∈R, on d´efinit l’espace de Sobolev d’indices par H^s(R^d) ={u∈S⁰(R^d),hξi^sF(u)∈L²(R^d)}

et

kukH^s =khξi^sF(u)k_L2

Exercice 3.2 (In´egalit´e de Peetre) Montrer que pour tout ν ∈ R il existe C_ν>0 tel que

hx+yi^ν≤C_νhxi^νhyi^|ν|

pour toutx,y∈R^d.

Th´eor`eme 3.3 Soitm∈N, alors

H^m(R^d) ={u∈L²(R^d), ∂^αu∈L²,∀|α| ≤m}.

De plus kukH^m est ´equivalente `aP

|α|≤mk∂^αukL².

Preuve.Laiss´ee en exercice.

Exercice 3.4 SoitT ∈ E⁰(R^d). Montrer qu’il existe s∈Rtel queT ∈H^s(R^d).

Attention l’indice sd´epend deT!

Proposition 3.5 Soients,t∈Retα∈R^d. On a les propri´et´es suivantes:

1. l’injectionS(R^d),→H^s(R^d)est dense.

2. H^s(R^d)est un espace de Hilbert pour le produit scalaire hu,viH^s=

Z

R^d

hξi^2sF(u)(ξ)F(v)(ξ)dξ

3. H⁰=L²

4. s≤t→H^s⊂H^t

5. ∂^α:H^s→H^s−|α|est continue.

Preuve. 1) Soitu∈ H^s(R^d) et soit v(ξ) =hξi^su(ξ). Alorsˆ v ∈ L²(R^d). Or, on sait queS est dense dansL². Par suite, il existe une suite (ψn) deS telle que ψn→v dansL². On d´efinit

ϕn =F^∗(hξi^−sψn) On a ϕn ∈S et

kϕn−uk_HS =khξi^sF(ϕn−u)kL² =kψn− hξi^sFukL² →0 quandn→0.

2) Il est clair queh.,.iH^s est un produit scalaire. De plus, on a hu,vi_Hs=hFu,Fvi_L2(hξi^2sdξ)

Supposons que (un) est une suite de Cauchy dansH^s. Alors (ˆun) est de Cauchy dansL²(hξi^2sdξ) qui est complet. Par suite, (ˆun) admet une limitev∈L²(hξi^2sdξ).

On pose u=F^∗v ∈ S⁰. Puisque Fu=v ∈L²(hξi^2sdξ) alors v ∈H^s et on a bien un→udansH^s.

3) est ´evident.

4) est une cons´equence imm´ediate de l’in´egalit´ehξi^s≤ hξi^tvalable pour tout s≤t.

5) Pour toutu∈H^s⊂S⁰, on a F∂^αu= (iξ)^αFu. Par suite, hξi^s−|α||F∂^αu| ≤ hξi^s−|α||ξ|^|α||Fu| ≤ξ^s|Fu|.

On en d´eduit que∂^αu∈H^s−|α| et que

khξi^s−|α|F∂^αuk_L2≤ kuk_Hs

ce qui prouve le r´esultat.

Th´eor`eme 3.6 Soits∈Ret soit T ∈(H^s(R^d))⁰. Alors J(T) :S(R^d)→C

ϕ7→T(ϕ)

d´efinit un ´el´ement de S⁰(R^d). De plus J(T) ∈ H^−s(R^d) et l’application J : (H^s)⁰→H^−s est une isom´etrie bijective.

Preuve.SoitT une forme lin´eaire continue surH^s. Pour toutu∈H^s, on a

|T(u)| ≤Ckuk_Hs. (3.1)

Par ailleurs, pour toutu∈S(R^d), on au∈H^set kuk²_Hs≤ kuk²_H|s| ≤

Z

hξi^−d−1hξi^2|s|+d+1|ˆu(ξ)|²dξ≤C sup

|α|≤|s|+d+1

sup

x∈R^d

|∂^αu|

En combinant cette estimation avec (3.1), on obtient la continuit´e deT en tant qu’op´erateur de S dansR. Ceci montre queJ(T)∈S⁰. Montrons maintenant queJ(T)∈H^−s. D’apr`es le th´eor`eme de Riesz, il existe w∈H^s(R^d) tel que

T(u) =hu,wiH^s,∀u∈H^s (3.2) et kTk_(Hs)⁰ =kwkH^s. Autrement dit

T(u) = Z

R^d

u(ξ)hξiˆ ^2sw(ξ)dξˆ Pour u∈S(R^d), cette identit´e se r´e´ecrit

T(u) =hF^∗(hξi^2sw),uiˆ _S⁰,S

On a doncT =F^∗(hξi^2sw) et par cons´ˆ equent hξi^−sF(T) =hξi^sw.ˆ

Par d´efinition, le membre de droite appartient `a L² et par suite T ∈H^−s. De plus on d´eduit imm´ediatement de l’identit´e ci-dessus que

kTk_H^−s =kwkH^s

ce qui fournit la conclusion.

3.1.2 Espace de Sobolev et changement de variable

Th´eor`eme 3.7 Soit 0 < s <1. Il existe une constante As >0 telle que pour toutu∈S(R^d)

k(1 +|ξ|^2s)¹²ukˆ ²_L2(R^d)=kuk²_L2(R^d)+As

Z Z

|u(x)−u(y)|²|x−y|^−d−2sdxdy De plus, cette quantit´e est ´equivalent `akuk²_Hs.

Preuve.Soitu∈S(R^d), on a I:=

Z Z

|u(x)−u(y)|²|x−y|^−d−2sdxdy= Z Z

|u(x+y)−u(y)|²|x|^−d−2sdxdy Par ailleurs, on voit facilement que pour toutx∈R^d, la transform´ee de Fourier dey7→u(x+y)−u(y) estξ7→(e^ixξ−1)ˆu(ξ). En appliquant l’´egalit´e de Parseval, il vient

Z

|u(x+y)−u(y)|²dy= Z

|e^ixξ−1|²|ˆu(ξ)|²dξ et par suite

I= Z Z

|e^ixξ−1|²|ˆu(ξ)|²|x|^−d−2sdxdξ (3.3) Remarquons maintenant que la fonction

Gs(ξ) = Z

|e^ixξ−1|²|x|^−d−2sdx

est bien d´efinie car 0< s <1 etx7→e^ixξ−1 s’annule enx= 0. De plus, il est clair que pour toute rotation Ω, on aG(Ωξ) =G(ξ). Donc G(ξ) = Γ(|ξ|) pour une certaine fonction Γ. De plus, on voit facilement par changement de variable que

Γ(λt) =|λ|^2sΓ(t).

et par cons´equent Γ(|ξ|) =|ξ|^2sΓ1 avecAs= Γ(1). En injectant cette informa- tion dans (3.3), il vient

I=A_s Z

|ˆu(ξ)|²|ξ|^2sdξ

En ajoutant kuk²_L2 = kˆuk²_L2 `a cette identit´e, on obtient le r´esultat annonc´e.

L’´equivalence aveckuk²_Hs est laiss´ee au lecteur.

Th´eor`eme 3.8 Soit s ≥ 0 et soit m ∈ N tel que m ≥ s. On suppose que θ:R^d→R^d est unC^m diff´eomorphisme tel que

∃C >0, sup

1≤|α|≤m

sup

x∈R^d

|∂_x^αθ| ≤C et sup

|β|=1

sup

x∈R^d

|∂_x^βθ⁻¹| ≤C Alors, pour toutu∈H^s(R^d),u◦θ∈H^s(R^d)

ku◦θkH^s ≤C⁰kukH^s (3.4)

pour une certaine constante C⁰ >0 ind´ependante de u.

Preuve. Il suffit de d´emontrer que l’estimation (3.4) est satisfaite pour tout u∈ Cc(R^d). Supposons en effet que c’est le cas et soitu∈H^s(R^d) quelconque.

Il existe une suite (un) d’´el´ements de C_c^∞(R^d) telle que un → udans H^s. En particulier, (un) est de Cauchy dansH^set grace `a (3.4), la suitevn=un◦θest de Cauchy dansH<sup>s</sup>. Elle admet donc une limite v ∈H<sup>s</sup>. Par ailleurs, au sens des distributions, on av<sub>n</sub>=u<sub>n</sub>◦θ→u◦θ. On en d´eduit que v=u◦θ. Donc u◦θ∈H<sup>s</sup> et en passant `a la limite dans l’in´egalit´e

ku_n◦θk_Hs ≤C⁰ku_nk_Hs

on obtient (3.4) pour toutu∈H^s.

On montre maintenant (3.4) pour toutu∈ C^∞_c (R^d) dans le cas 0≤s <1.

Sis= 0, le r´esultat d´ecoule directement d’un changement de variable.

On se place donc dans le cas 0< s <1.

D’apr`es le th´eor`eme 3.7, on a ku◦θk²_Hs(R^d0)=ku◦θk²_L2(R^d0)+As

Z Z

|u(θ(x))−u(θ(y))|²|x−y|^−d0−2sdxdy (3.5) Il est clair que

ku◦θk²_L2(R^d0)=kuj_θ¹²k²_L2(R^d0)

o`uj<sub>θ</sub>d´esigne le jacobien du changement de variablex7→θ<sup>−1</sup>(x). Par hypoth`ese, il existeC >0 tel que sup_Rdj_θ(x)≤C. Par suite

ku₂◦θk²_L2(

R^d0)≤Cku₂k²_L2(

R^d0) (3.6)

Il reste donc `a examiner le second terme du membre de droite de (3.5). A nouveau, on effectue le changement de variables (x,y) = (θ(x⁰),θ(y⁰)). Il vient

I: = Z Z

|u(θ(x))−u(θ(y))|²|x−y|^−d0−2sdxdy

= Z Z

|u(x⁰)−u(y⁰)|²|θ(x⁰)−θ(y⁰)|^−d0−2sjθ(x⁰)jθ(y⁰)dx⁰dy⁰

Or, il existe des constantesC₁,C₂>0 telles que pour toutx,y∈supp(u₂) on a j_θ(x)≤C₁et |θ(x)−θ(y)| ≥C₂|x−y|

o`u la seconde estimation vient du th´eor`eme des accroissements finis pourθ⁻¹. On en d´eduit que

I≤C Z Z

|u2(x⁰)−u2(y⁰)|²|x⁰−y⁰|^−d0−2sdx⁰dy⁰ En combinant cette estimation avec (3.5) et (3.6), on obtient

ku◦θk²_Hs(

R^d0)≤Ckuk²_Hs(

R^d0) (3.7)

Cela montre queu◦θ∈H^s ainsi que l’estimation souhait´ee.

3.1.3 Espaces de Sobolev sur une hypersurface

D´efinition 3.9 Soit Σun sous ensemble de R^d. On dit que Σ est une hyper- surface r´eguli`ere siΣest partout localement diff´eomorphe `aR^d−1, i.e. pour tout x₀ ∈ R^d, il existe un voisinage ouvert V de x₀ et un C^∞- diff´eomorphisme κ: V →V⁰ tel queκ(V ∩Σ) =V⁰∩ {x₁ = 0}. Le couple (V,κ) s’appelle une carte de l’hypersurface Σ.

Proposition 3.10 SoitΣ⊂R^d une hypersurface r´eguli`ere et compacte. Alors, il existe une famille finie de cartes (Vj,κj)j=1,...,J telle que lesVj recouvrentΣ.

Une telle famille s’appelle un atlas de Σ.

Preuve.C’est une cons´equence imm´ediate du Th´eor`eme de Borel-Lebesgue.

D´efinition 3.11 Soit s≥0. L’espace de Sobolev H^s(Σ) est l’espace des fonc- tions u∈ L²(Σ) telles que pour toute carte (V,κ) et pour tout χ ∈ C_c^∞(R^d) la fonction (χu)◦κ⁻¹ appartient `aH^s(R^d−1).

Proposition 3.12 La d´efinition pr´ec´edente ne d´epend pas du choix de l’atlas pourΣ.

On fait la preuve dans le cas 0≤s <1.

Supposons que (V₁,κ₁) et (V₂,κ₂) sont deux cartes telles que V₁∩V₂ 6= ∅ et soit χ ∈ C_c^∞(V₁∩V₂). Pour j = 1,2, on note u_j = (χu)◦κ⁻¹_j . On a donc u₁=u₂◦θavecθ=κ₂◦κ⁻¹₁ . On doit montrer que

u2∈H^s(R^d−1) =⇒u1∈H^s(R^d−1)