M. Duffaud. (http://www.math93.com/ )
Exemple et méthode de résolution d’une EDP.
(Equation aux Dérivées Partielles)
Exemple 1 : EDP d’ordre 1
En utilisant le changement de variable 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 et 𝑣 = 𝑥 − 𝑦, trouver toutes les fonctions 𝑓 de classe 𝐶1 sur ℝ² vérifiant pour tout point (𝑥, 𝑦) du plan :
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 ∶ 𝐸 1. On introduit la fonction de changement de variable notée Φ.
Ici on a : 𝛷 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 𝑦 ; 𝑥 − 𝑦) = (𝑢, 𝑣) La fonction Φ est une fonction de ℝ² dans ℝ².
On a alors : 𝑢 = 𝑥 + 𝑦
𝑣 = 𝑥 − 𝑦 et donc 𝑥 = 𝑢+𝑣
2
𝑦 =𝑢−𝑣
2
2. On procède au changement de variable.
Effectuer un changement de variable consiste à chercher une fonction 𝑔 : 𝑢, 𝑣 ⟼ 𝑔(𝑢, 𝑣) de classe 𝐶1 sur ℝ² telle que la fonction composée 𝑓 = 𝑔𝑜𝛷 vérifie la condition donnée (E).
Utilisation des matrices jacobiennes.
𝑓 = 𝑔𝑜𝛷 et donc
𝒥𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝒥𝑔 𝛷 𝑥, 𝑦 × 𝒥𝛷 𝑥, 𝑦 Soit puisque 𝛷 𝑥, 𝑦 = (𝑢, 𝑣)
𝒥𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝒥𝑔 𝑢, 𝑣 × 𝒥𝛷 𝑥, 𝑦 On obtient l’égalité :
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 ; 𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 ; 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 ×
𝜕𝛷1
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 𝜕𝛷1
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦
𝜕𝛷2
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 𝜕𝛷2
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 Ce qui donne :
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 ; 𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 ; 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 × 1 1 1 −1
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 ; 𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 + 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 ; 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 − 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣
M. Duffaud. (http://www.math93.com/ ) Et donc par identification :
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 + 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣
𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 − 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣
3. On remplace les dérivées partielles de 𝑓 par celles de 𝑔 dans l’expression de départ (E).
(E) devient alors : 𝜕𝑔𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 + 𝜕𝑔𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 = 𝜕𝑔𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 − 𝜕𝑔𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 et donc : 2𝜕𝑔𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 = 0
La fonction g ne dépend donc pas de u, elle est de la forme 𝑔(𝑢, 𝑣) = (𝑢) où est une fonction de classe 𝐶1
Donc, les solutions de l’EDP sont les fonctions 𝑪𝟏 de la forme : 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒉(𝒙 + 𝒚) puisque 𝒖 = 𝒙 + 𝒚 .
Exemple 2 : EDP ordre 2.
On cherche les fonctions C2 de ℝ² vérifiant : 𝜕²𝑓𝜕𝑥 ² 𝑥, 𝑦 = 𝜕²𝑓𝜕𝑦 ² 𝑥, 𝑦 ∶ 𝐸′
Pour cela on utilise le changement de variables affine : 𝛷 𝑥, 𝑦 = 𝑥+𝑦2 ;𝑥−𝑦2 = (𝑢, 𝑣) Effectuer un changement de variable consiste à chercher une fonction 𝑔 : 𝑢, 𝑣 ⟼ 𝑔(𝑢, 𝑣) de classe 𝐶2 sur ℝ² telle que la fonction composée 𝑓 = 𝑔𝑜𝛷 vérifie la condition donnée (E’).
𝑓 = 𝑔𝑜𝛷 et donc : 𝒥𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝒥𝑔 𝛷 𝑥, 𝑦 × 𝒥𝛷 𝑥, 𝑦 On obtient l’égalité :
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 ; 𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 ; 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 ×
𝜕𝛷1
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 𝜕𝛷1
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦
𝜕𝛷2
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 𝜕𝛷2
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 soit
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 ; 𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 ; 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 × 1 2
1 1 2 2 −1
2
M. Duffaud. (http://www.math93.com/ ) d’où
𝑆 :
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 =1 2
𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 +1 2
𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣
𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 =1 2
𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 −1 2
𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣
Il faut alors obtenir les dérivées partielles secondes de la fonction f (qui est C2) en fonction de celles de g. Pour cela on va utiliser une petite astuce.
On interprète les égalités (S) de la façon suivante : 𝑆′ :
𝜕
𝜕𝑥 = 12 𝜕𝑢𝜕 + 𝜕𝑣𝜕
𝜕
𝜕𝑦 =1
2
𝜕
𝜕𝑢 − 𝜕
𝜕𝑣
Alors en combinant (S) et (S’) :
𝜕²𝑓
𝜕𝑥² 𝑥, 𝑦 = 𝜕
𝜕𝑥 𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑥, 𝑦 =1 4
𝜕
𝜕𝑢 + 𝜕
𝜕𝑣 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 + 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣
𝜕²𝑓
𝜕𝑦² 𝑥, 𝑦 = 𝜕
𝜕𝑦 𝜕𝑓
𝜕𝑦 𝑥, 𝑦 =1 4
𝜕
𝜕𝑢 − 𝜕
𝜕𝑣 𝜕𝑔
𝜕𝑢 𝑢, 𝑣 − 𝜕𝑔
𝜕𝑣 𝑢, 𝑣
On développe en utilisant la linéarité de l’opérateur dérivée partielle et le fait que la fonction f étant de classe C2, on peut appliquer le théorème de Schwarz :
𝜕²𝑓
𝜕𝑥² 𝑥, 𝑦 =1 4 𝜕²𝑔
𝜕𝑢² 𝑢, 𝑣 + 2 𝜕²𝑔
𝜕𝑢𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 +𝜕²𝑔
𝜕𝑣² 𝑢, 𝑣
𝜕²𝑓
𝜕𝑦² 𝑥, 𝑦 =1 4 𝜕²𝑔
𝜕𝑢² 𝑢, 𝑣 − 2 𝜕²𝑔
𝜕𝑢𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 +𝜕²𝑔
𝜕𝑣² 𝑢, 𝑣
L’EDP (E’) devient alors :
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2 𝑥, 𝑦 = 𝜕2𝑓
𝜕𝑦2 𝑥, 𝑦 ∶ 𝐸′ 1
4 𝜕²𝑔
𝜕𝑢² 𝑢, 𝑣 + 2 𝜕²𝑔
𝜕𝑢𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 +𝜕²𝑔
𝜕𝑣² 𝑢, 𝑣 = 1 4 𝜕²𝑔
𝜕𝑢² 𝑢, 𝑣 − 2 𝜕²𝑔
𝜕𝑢𝜕𝑣 𝑢, 𝑣 +𝜕²𝑔
𝜕𝑣² 𝑢, 𝑣
soit
𝝏²𝒈
𝝏𝒖𝝏𝒗 𝒖, 𝒗 = 𝟎 (𝑬𝒈)
On sait que les fonctions 𝑔 de classe C2 vérifiant cette EDP 𝐸𝑔 sont de la forme : 𝑔(𝑢, 𝑢) = 𝐻(𝑣) + 𝑘(𝑢) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐻 𝑒𝑡 𝑘 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝐶²
Et donc les fonctions 𝑓 de classe C2 qui vérifient (E’) sont de la forme : 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝑯 𝒙 − 𝒚
𝟐 + 𝒌 𝒙 + 𝒚
𝟐 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐻 𝑒𝑡 𝑘 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝐶²
