H152. Signatures sur un polyèdre ***
Zig et Puce ont devant eux un polyèdre convexe qui a au moins cinq faces et dans lequel trois arêtes partent exactement de chaque sommet. A tour de rôle, Zig pour commencer puis Puce apposent en alternance leur signature sur l’une quelconque des faces vierges. Le gagnant est celui qui parvient à obtenir sa signature sur trois faces partageant le même sommet.
En supposant que les deux joueurs adoptent l’un et l’autre des stratégies optimales, déterminer le joueur qui a une stratégie gagnante.
Solution proposée par jean Nicot
Il existe beaucoup de polyèdres convexes ayant exactement trois arêtes aboutissant à chaque sommet : tétraèdre, cube, dodécaèdre, pyramide tronquée à base polygonale, etc…
Par contre, parmi ces polyèdres, seul le tétraèdre a toutes ses faces triangulaires, mais seulement 4 faces.
Le polyèdre des joueurs possède donc au moins une face ayant plus de 3 cotés.
Zig a une stratégie gagnante en 3 coups : il signe sur cette face. Puce signe n’importe où. Il reste au moins 3 faces libres adjacentes à la première et Zig signe sur la face adjacente située au milieu des trois. Puce ne pourra alors occuper qu’une seule voisine et Zig gagnera à son troisième coup.
