A534. Elagage jusqu'à la racine
Trouver tous les couples d'entiers naturels (n,k) avec k >1 tels que la racine k-ième de n est obtenue en supprimant les k derniers chiffres de n.
La solution recherchée vérifie n = pk = p. 10k + q, (p,q) N2 et q<10k
D’où p.10k pk < (p+1).10k qui s’exprime encore sous la forme : log10(p)/( log10(p)-1) k < log10 (p+1)/( log10(p)-1)
Sachant que p>10, on essaie grâce à un tableur les différentes valeurs de p et on retient celles qui donnent un encadrement d’un entier naturel.
On trouve ainsi les couples
(p,k) {(11,26) ;(12,14) ;(13,10) ;(14,8) ;(16,6) ;(18,5) ;(32,3) ;(100,2)}
Puisque n = pk , les solutions sont :
(n,k) {(1126,26) ;(1214,14) ;(1310,10) ;(148,8) ;(16 777 216 ,6) ;(1 889 568,5) ;(32 768,3) ; (10 000,2)}
k min p k max k
25,158858 11 26,071786 26 13,629253 12 14,068273 14 9,776291 13 10,058753 10 7,843314 14 8,048362 8 6,678874 15 6,838045
5,899079 16 6,028067 6 5,339356 17 5,447075
4,917382 18 5,009367 5 4,587398 19 4,667312
4,321928 20 4,392317 4,103476 21 4,166177 3,920367 22 3,976745 3,764509 23 3,815607 3,630117 24 3,676746 3,512942 25 3,555745 3,409793 26 3,449291 3,318229 27 3,354844 3,236346 28 3,270428 3,162639 29 3,194480 3,095903 30 3,125750 3,035161 31 3,063222
2,979610 32 3,006066 3 2,928588 33 2,953593
2,881542 34 2,905229 2,004384 99 2,008768
2,000000 100 2,004321 2 1,995697 101 1,999958
