A534. Elagage jusqu'à la racine
Trouver tous les couples d'entiers naturels (n,k) avec k >1 tels que la racine k-ième de n est obtenue en supprimant les k derniers chiffres de n.
Ce problème revient à trouver les couples (݊, ݇) tels que ݊= ݊. 10+ ܣ où ܣ < 10 Le nombre de chiffres du nombre ݊ est donné par ܾ݊(݊, ݇) = 1 +ቀ݇ ()
(ଵ)ቁ ou (ݔ) représente la partie entière de ݔ.
La condition ܾ݊(݊, ݇) − ݇ = ܾ݊(݊, 1) est une condition nécessaire
En recherchant les zéros de la fonction ݂(݊, ݇) = ܾ݊(݊, ݇) − ݇ − ܾ݊(݊, 1), on constate qu’on ne les trouve que pour 11 ≤ ݊ ≤ 316 ݁ݐ 2 ≤ ݇ ≤ 34
Ce qui permet à la calculatrice de trouver TOUS les couples demandés.
݊ ݇ ݊ ݊− ݇ chiffres
11 26 1 191 817 653 772 720 942 460 132 761 11
12 14 1 283 918 464 548 864 12
13 10 137 858 491 849 13
14 8 1 475 789 056 14
16 6 16 777 216 16
18 5 1 889 568 18
32 3 32 768 32
100 2 10 000 100